Operaciones con polinomios
Yariela vende pulseras artesanales en una feria en la Cinta Costera. Lo que gana por la venta, en balboas, es $I(x) = 300x - 2x^2$ y lo que le cuesta producirlas es $C(x) = 50x + 200$, con $x$ la cantidad de pulseras. Su ganancia $B(x) = I(x) - C(x)$ es otro polinomio. Operar con polinomios (sumarlos, multiplicarlos, dividirlos) permite reunir varias fórmulas en una sola, lista para evaluar o factorizar. Al final volvemos a Yariela.
Suma, resta y producto de polinomios
Sumar o restar polinomios es reducir los términos semejantes. El signo menos de una resta afecta a todos los términos del segundo polinomio.
El valor numérico de un polinomio para $x=a$ se obtiene sustituyendo $x$ por $a$ y calculando, respetando los paréntesis.
Para multiplicar, cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo. Un rectángulo de áreas lo muestra bien.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ para $x = -2$ y para $x = 1$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ para $x = -2$ y para $x = 1$.
Dados los polinomios $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula la expresión resultante de realizar la operación $2 \times A(x) - B(x)$.
Dados los polinomios $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula la expresión resultante de realizar la operación $2 \times A(x) - B(x)$.
Multiplica los polinomios $P(x) = x^2 - 3x + 2$ y $Q(x) = 2x - 5$. Expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
Multiplica los polinomios $P(x) = x^2 - 3x + 2$ y $Q(x) = 2x - 5$. Expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
La altura en metros de una pelota lanzada verticalmente en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segunda pelota,…
La altura en metros de una pelota lanzada verticalmente en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segunda pelota, lanzada desde otro punto, sigue una trayectoria descrita por $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.
Encuentra el polinomio $D(t)$ que representa la diferencia de altura entre la primera y la segunda pelota ($D(t) = H(t) - G(t)$). ¿En qué instante $t$ se encuentran ambas pelotas a la misma altura?
Productos notables
Hay productos tan frecuentes que conviene reconocerlos sin desarrollar paso a paso. Ahorran tiempo al operar y, leídos al revés, son la primera herramienta para factorizar.
El cuadrado de lado $a+b$ se parte en un cuadrado $a^2$, otro $b^2$ y dos rectángulos $ab$: de ahí sale el doble producto.
El cubo sale de multiplicar una vez más: $(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$, y al reducir quedan los coeficientes $1, 3, 3, 1$. En el cubo de una resta los signos se alternan: $+,-,+,-$.
Desarrolla las siguientes expresiones aplicando los productos notables correspondientes: a) $(3x + 4)^2$ b) $(2x - 5)^2$
Desarrolla las siguientes expresiones aplicando los productos notables correspondientes:
- a) $(3x + 4)^2$
- b) $(2x - 5)^2$
Expresa los siguientes binomios como un producto de dos factores utilizando la identidad notable de suma por diferencia: a) $16x^2 - 25$ b) $9x^4 - 49$
Expresa los siguientes binomios como un producto de dos factores utilizando la identidad notable de suma por diferencia:
- a) $16x^2 - 25$
- b) $9x^4 - 49$
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, prestando especial atención a los signos y los productos notables:…
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, prestando especial atención a los signos y los productos notables:
$3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1) + (x + 3)^2$
División de polinomios
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ da un cociente $C(x)$ y un resto $R(x)$ con
$$D(x) = d(x)\cdot C(x) + R(x),$$igual que en la división entera de números. El resto tiene grado menor que el divisor (o es $0$).
Realiza la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el…
Realiza la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$.
Comprueba si el polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ es divisible por el binomio $(x^2 + 1)$ realizando la división correspondiente. En caso afirmativo, escribe…
Comprueba si el polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ es divisible por el binomio $(x^2 + 1)$ realizando la división correspondiente. En caso afirmativo, escribe la factorización de $P(x)$ como producto de dos polinomios.
Determina los valores de los coeficientes $m$ y $n$ para que la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ entre el divisor $d(x) = 2x^2 - x + 3$ sea…
Determina los valores de los coeficientes $m$ y $n$ para que la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ entre el divisor $d(x) = 2x^2 - x + 3$ sea exacta.
La regla de Ruffini
Cuando el divisor es de la forma $x - a$ hay un atajo: la regla de Ruffini. Se trabaja solo con los coeficientes del dividendo y el número $a$.
Funciona porque en la división común se restaría $-a$ veces el término anterior; usando $a$ en lugar de $-a$ se suma en vertical y hay menos errores de signo.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escribe el cociente y el residuo obtenidos.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escribe el cociente y el residuo obtenidos.
Sabiendo que al dividir un polinomio $P(x)$ entre $(x - 3)$ se obtiene como cociente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ y como resto $R = -7$, reconstruye el polinomio $P(x)$ y…
Sabiendo que al dividir un polinomio $P(x)$ entre $(x - 3)$ se obtiene como cociente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ y como resto $R = -7$, reconstruye el polinomio $P(x)$ y exprésalo en su forma desarrollada.
El teorema del resto
¿Por qué? Si $P(x) = (x-a)\,C(x) + R$, con $R$ un número, al sustituir $x=a$ el primer término se anula y queda $P(a)=R$.
Teorema del factor
Si $P(a)=0$, el resto de dividir entre $x-a$ es $0$ y entonces $P(x)=(x-a)\,C(x)$: $x-a$ es un factor de $P$. Vale también al revés: si $x-a$ es factor, $a$ es raíz.
Si un polinomio tiene varias raíces $a$, $b$, $c$, tiene como factores a $(x-a)$, $(x-b)$ y $(x-c)$. Un polinomio de grado $3$ con esas tres raíces es entonces
$$P(x)=k\,(x-a)(x-b)(x-c),$$con $k$ un número (el coeficiente principal) que se determina con otro dato del polinomio, como su valor en un punto.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomio $(x + 2)$ tenga un resto igual a $10$. Utiliza el…
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomio $(x + 2)$ tenga un resto igual a $10$. Utiliza el teorema del resto para justificar tu respuesta.
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sea divisible exactamente por $(x - 2)$ y, al mismo tiempo, deje un…
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sea divisible exactamente por $(x - 2)$ y, al mismo tiempo, deje un resto de $-12$ al dividirlo entre $(x + 1)$.
Un polinomio $P(x)$ de grado 3 tiene como raíces $x = 1$, $x = -2$ y $x = 4$. Sabiendo además que el valor numérico del polinomio para $x = 0$ es igual a $16$, encuentra…
Un polinomio $P(x)$ de grado 3 tiene como raíces $x = 1$, $x = -2$ y $x = 4$. Sabiendo además que el valor numérico del polinomio para $x = 0$ es igual a $16$, encuentra la expresión desarrollada de $P(x)$ (es decir, en la forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$).
Operaciones combinadas y aplicaciones
Los problemas encadenan varias operaciones: se arma un polinomio con los datos, se simplifica y, si hace falta, se evalúa, se factoriza o se divide. En geometría, áreas y volúmenes se arman sumando, restando y multiplicando expresiones de lados.
Esa es la situación de Yariela: sus ganancias quedan resumidas en un solo polinomio, $B(x)=-2x^2+250x-200$, y con él se calcula cuánto gana para cualquier cantidad de pulseras.
Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $(2x + 5)$ metros de largo y $(2x - 5)$ metros de ancho. En su interior se va a construir una fuente cuadrada de lado…
Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $(2x + 5)$ metros de largo y $(2x - 5)$ metros de ancho. En su interior se va a construir una fuente cuadrada de lado $(x - 1)$ metros, y el resto se cubrirá de césped. Expresa el área de la zona de césped como un polinomio en $x$ simplificado.
Se quiere construir una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Para ello, se recortan…
Se quiere construir una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Para ello, se recortan cuatro cuadrados idénticos de lado $x \text{ cm}$ en cada una de las esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. Encuentra el polinomio $V(x)$ que expresa el volumen de la caja resultante en función de $x$.
El costo de producción de $x$ unidades de un dispositivo electrónico viene dado por el polinomio $C(x) = 50x + 200$. El precio de venta al público de cada unidad depende…
El costo de producción de $x$ unidades de un dispositivo electrónico viene dado por el polinomio $C(x) = 50x + 200$. El precio de venta al público de cada unidad depende de la cantidad fabricada y sigue la expresión $p(x) = 300 - 2x$.
Halla el polinomio beneficio $B(x)$, sabiendo que el beneficio es igual a los ingresos totales (cantidad por precio) menos los costos totales. ¿Cuál será el beneficio si se fabrican y venden $40$ unidades?
La altura en metros de una pelota lanzada verticalmente en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segunda pelota,…
La altura en metros de una pelota lanzada verticalmente en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segunda pelota, lanzada desde otro punto, sigue una trayectoria descrita por $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.
Encuentra el polinomio $D(t)$ que representa la diferencia de altura entre la primera y la segunda pelota ($D(t) = H(t) - G(t)$). ¿En qué instante $t$ se encuentran ambas pelotas a la misma altura?
Una pista de atletismo está formada por una región rectangular central de largo $3x$ y ancho $2x$, rematada por dos semicírculos en sus extremos de diámetro $2x$.…
Una pista de atletismo está formada por una región rectangular central de largo $3x$ y ancho $2x$, rematada por dos semicírculos en sus extremos de diámetro $2x$. Expresa el área total y el perímetro exterior de la pista como polinomios dependientes de $x$ (deja el número $\pi$ indicado en los coeficientes).
Demuestra algebraicamente que, para cualquier número real $x > 1$, las expresiones $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ y $c = x^2 + 1$ forman siempre los lados de un triángulo…
Demuestra algebraicamente que, para cualquier número real $x > 1$, las expresiones $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ y $c = x^2 + 1$ forman siempre los lados de un triángulo rectángulo (es decir, cumplen el Teorema de Pitágoras). Comprueba tu resultado evaluando los polinomios para $x = 4$.
Una empresa emergente estima que sus ingresos mensuales siguen el polinomio $I(x) = -2x^3 + 60x^2$ y sus costos de operación son $C(x) = 15x^2 + 400x$, donde $x$ es el…
Una empresa emergente estima que sus ingresos mensuales siguen el polinomio $I(x) = -2x^3 + 60x^2$ y sus costos de operación son $C(x) = 15x^2 + 400x$, donde $x$ es el número de meses transcurridos desde su creación.
Encuentra el polinomio de beneficio $B(x)$. Sabiendo que en el mes $x = 10$ el beneficio es exactamente cero (punto de equilibrio), factoriza el polinomio $B(x)$ para determinar en qué otro mes el beneficio vuelve a ser cero.
Opera y simplifica la siguiente expresión algebraica, factorizando el resultado final si es posible: $\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$ A continuación, evalúa el…
Opera y simplifica la siguiente expresión algebraica, factorizando el resultado final si es posible:
$\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$
A continuación, evalúa el polinomio resultante para $x = 2$ e $y = -1$.
Un depósito de agua tiene forma cilíndrica con un radio base de $(x + 2)$ metros y una altura de $(2x - 1)$ metros. En su interior se sumerge un bloque cúbico sólido de…
Un depósito de agua tiene forma cilíndrica con un radio base de $(x + 2)$ metros y una altura de $(2x - 1)$ metros. En su interior se sumerge un bloque cúbico sólido de arista $x$ metros. Expresa mediante un polinomio ordenado el volumen de agua necesario para llenar el espacio libre del depósito. Deja la constante $\pi$ indicada en los coeficientes que la requieran.