Probabilidad condicional y eventos dependientes

En una clase de $30$ alumnos, $18$ estudian francés, $12$ estudian alemán y $5$ estudian ambos idiomas. Si se elige un alumno al azar y resulta que estudia francés, ¿cuál es la probabilidad de que también estudie alemán?

Lanzamos dos dados normales de seis caras. Sabiendo que la suma de las puntuaciones obtenidas es $8$, ¿cuál es la probabilidad de que en uno de los dados haya salido un $3$?

Se consideran dos eventos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio. Sabemos que $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$ y $P(A \cap B) = 0.2$. Comprueba matemáticamente si los eventos $A$ y $B$ son independientes.

En un pueblo, el $45\%$ de los habitantes lee el periódico X, el $35\%$ lee el periódico Y, y un $15\%$ lee ambos periódicos. Si elegimos un habitante al azar y sabemos que lee el periódico X, ¿cuál es la probabilidad de que también lea el periódico Y? A la vista de los resultados, razona si los eventos "leer el periódico X" y "leer el periódico Y" son independientes.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ y $P(A \cup B) = 0.7$. Utilizando las propiedades de la probabilidad, halla el valor de la intersección y calcula $P(A|B)$ y $P(B|A)$. ¿Son $A$ y $B$ eventos independientes? Razona tu respuesta.

En una urna hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda sea azul.

De una baraja española de $40$ cartas, se extraen dos cartas al azar una tras otra y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean reyes?

Se saca una carta de una baraja española y, a continuación, se lanza una moneda al aire. ¿Son estos dos eventos dependientes o independientes? Calcula la probabilidad de obtener un "As" en la baraja y "Cara" en la moneda.

De una caja que contiene $10$ bombillas, se sabe que $3$ de ellas están fundidas. Se extraen $3$ bombillas sucesivamente y sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las bombillas extraídas esté fundida?

En una urna hay $x$ bolas rojas y $5$ bolas negras. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean rojas es exactamente $\frac{1}{6}$, plantea una ecuación y determina el número de bolas rojas $x$ que hay en la urna.

Un jugador extrae cartas de una baraja española de $40$ cartas, una a una y sin reemplazo, hasta que sale una figura (sota, caballo o rey). ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que extraer exactamente $3$ cartas para conseguir su objetivo?

Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de obtener Cara es $0.7$. Se lanza la moneda dos veces consecutivas. Calcula la probabilidad de obtener exactamente una Cara y una Cruz (en cualquier orden).

Dos arqueros disparan una flecha al mismo blanco. El arquero A acierta con una probabilidad de $0.7$ y el arquero B acierta con una probabilidad de $0.8$. Sus disparos son totalmente independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado por al menos una flecha?

Un sistema de seguridad informático tiene dos cortafuegos independientes. La probabilidad de que el cortafuegos A falle ante un ataque es $0.15$ y la probabilidad de que falle el cortafuegos B es $0.10$. El sistema se ve comprometido solo si ambos cortafuegos fallan. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema resista un ataque? Si se añade un tercer cortafuegos C idéntico al B e independiente de los anteriores, ¿cuánto aumenta la probabilidad de que el sistema resista el ataque?

Observa el siguiente diagrama de árbol que representa un experimento compuesto en dos etapas. Calcula la probabilidad de obtener el resultado final $C$ pasando por la rama $A$.

En una fábrica, la máquina A produce el $60\%$ de las piezas y la máquina B produce el $40\%$ restante. Se sabe que el $2\%$ de las piezas producidas por A son defectuosas, mientras que en la máquina B el porcentaje de defectuosas es del $5\%$. Si se elige una pieza al azar del almacén, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina B y sea defectuosa?

Un jugador de baloncesto tiene un porcentaje de acierto del $80\%$ en el primer tiro libre. Si acierta el primero, su confianza aumenta y la probabilidad de acertar el segundo tiro libre sube al $90\%$. Sin embargo, si falla el primero, se pone nervioso y la probabilidad de acertar el segundo baja al $60\%$. Calcula la probabilidad de que el jugador enceste exactamente un tiro libre en una serie de dos lanzamientos.

Tenemos dos cajas. La CAJA I contiene $4$ bolas verdes y $2$ amarillas. La CAJA II contiene $3$ bolas verdes y $5$ amarillas. Sacamos una bola al azar de la CAJA I y la introducimos en la CAJA II. A continuación, mezclamos bien y sacamos una bola de la CAJA II. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas extraídas sean verdes?

En una clínica se realiza una prueba rápida de alergia. Se sabe que el $8\%$ de los pacientes son alérgicos a una sustancia determinada. La prueba da un resultado positivo en el $90\%$ de los pacientes que realmente son alérgicos. Sin embargo, también da un falso positivo en el $5\%$ de los pacientes que no son alérgicos. Se elige un paciente al azar y se le realiza la prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea positivo?

Tenemos tres cofres idénticos por fuera. El COFRE A contiene $2$ monedas de oro y $1$ de plata. El COFRE B contiene $1$ moneda de oro y $3$ de plata. El COFRE C contiene $4$ monedas de oro. Lanzamos un dado equilibrado: si sale $1$ o $2$, elegimos el cofre A; si sale $3$, elegimos el cofre B; si sale $4$, $5$ o $6$, elegimos el cofre C. A continuación, extraemos una moneda al azar del cofre elegido. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de oro?

En una estantería hay $5$ novelas y $3$ libros de poesía. Se eligen dos libros al azar uno tras otro y sin reemplazamiento. Si el segundo libro elegido resultó ser de poesía, ¿cuál es la probabilidad de que el primer libro elegido también lo fuera?

En un instituto, el $55\%$ del alumnado son mujeres. Se sabe que el $20\%$ de las mujeres y el $25\%$ de los varones participan activamente en el club de teatro. Si se elige al azar a un estudiante que participa en el club de teatro, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Una bolsa opaca contiene $10$ papeletas idénticas al tacto: $2$ de ellas tienen premio y $8$ están en blanco. Tres amigos, Fátima, Bruno y Ionut, extraen consecutivamente y sin reemplazamiento una papeleta cada uno en ese mismo orden. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer premio que salga lo saque Ionut?

Tenemos dos dados cúbicos en un cubilete. El primero es un dado normal con las caras numeradas del $1$ al $6$. El segundo es un dado trucado que tiene tres caras con un $2$, dos caras con un $3$ y una cara con un $5$. Se elige un dado al azar (con probabilidad $\frac{1}{2}$ para cada uno) y se lanza. Si el resultado obtenido es un número par, ¿cuál es la probabilidad de que se haya lanzado el dado trucado?