Secciones cónicas y lugares geométricos
Josué vive en Masaya y Valeria en Granada. Quieren encontrarse en un punto que quede igual de lejos para los dos. ¿Cuántos puntos sirven y qué forma dibujan en el mapa? Y si Josué camina el doble de rápido que Valeria, ¿dónde deben verse para llegar a la misma hora? Ese tipo de preguntas se resuelve con lugares geométricos: conjuntos de puntos que cumplen una condición de distancias. De ahí salen la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola, las cuatro curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano.
Cortar un cono: de dónde salen las cónicas
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene?…
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifica tu respuesta basándote en la definición geométrica de las secciones cónicas.
Lugar geométrico: puntos que equidistan de dos puntos
La circunferencia es el lugar de los puntos cuya distancia a un punto fijo (el centro) vale siempre lo mismo ($r$). La mediatriz de $AB$ es el lugar de los puntos que cumplen $d(P,A)=d(P,B)$. Arrastra $P$ y comprueba las dos ideas.
Para hallar la ecuación de un lugar geométrico siempre se hace lo mismo: llamas $P(x,y)$ al punto genérico, escribes la condición con la fórmula de la distancia $d(P,A)=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}$ y simplificas. Si la condición compara dos distancias, elevas al cuadrado para quitar las raíces. Elevar al cuadrado es válido aquí porque las dos distancias son positivas.
Un caso aparte es la circunferencia de centro el origen. Si $d(P,O)=r$, al elevar al cuadrado queda $x^2+y^2=r^2$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se…
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se toman tres puntos de su contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ y $C(4, 1)$. Utilizando el concepto de lugar geométrico (intersección de mediatrices), calcula las coordenadas del centro original del plato y su radio.
Puntos a una distancia dada de una recta
La distancia de un punto $P(x_0, y_0)$ a la recta $Ax+By+C=0$ es
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$Es la longitud del segmento perpendicular desde el punto hasta la recta. El valor absoluto hace que $d$ nunca sea negativa.
Si pides que $d(P, r)=k$ para una recta fija $r$, el valor absoluto da dos posibilidades: $Ax+By+C=\pm k\sqrt{A^2+B^2}$. Aparecen dos rectas paralelas a $r$, una a cada lado.
Si te piden los puntos que equidistan de dos rectas paralelas, el lugar es otra recta paralela situada a mitad de camino entre ambas. Se halla igualando las distancias a las dos rectas, o simplemente tomando el promedio de los términos independientes cuando los coeficientes de $x$ e $y$ son iguales.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Puntos que equidistan de dos rectas secantes
Si dos rectas se cortan, los puntos que equidistan de ambas forman las bisectrices de los ángulos que determinan: son dos rectas perpendiculares entre sí. Se igualan las distancias a las dos rectas:
$$\frac{|A_1x+B_1y+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\frac{|A_2x+B_2y+C_2|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}.$$Por el valor absoluto se obtienen dos ecuaciones: una con el signo $+$ y otra con el signo $-$.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de…
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de ambas avenidas y que, por restricciones urbanísticas, esté situado sobre la calle peatonal $x + y = 5$. Calcula las coordenadas de las posibles ubicaciones para la plaza.
Una distancia el doble de otra
Vuelve a Josué y Valeria: si Josué camina el doble de rápido, el punto de encuentro cumple $d(P,V)=2\,d(P,J)$. Ya no es una mediatriz: la razón entre las distancias no vale $1$.
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3.0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de…
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3.0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halla la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifica de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.
Suma y diferencia de cuadrados de distancias
Algunas condiciones ya vienen sin raíces: piden la suma o la diferencia de los cuadrados de dos distancias. Son más rápidas de trabajar.
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1.0)$ es igual a $8$, es decir,…
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1.0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los…
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres sensores se mantiene constante e igual a $50$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y describe la figura resultante.
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es…
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del velero y demuestra analíticamente que dicha trayectoria es una recta perpendicular al segmento que une las dos boyas.
Un punto y una recta: la excentricidad
Ahora la condición compara la distancia a un punto fijo $F$ (el foco) con la distancia a una recta fija $r$ (la directriz).
Con la directriz $x=d$ y el foco en el origen, elevando al cuadrado $x^2+y^2=e^2(x-d)^2$ se obtiene
$$(1-e^2)x^2+2e^2d\,x+y^2-e^2d^2=0.$$El coeficiente de $x^2$ es positivo si $e<1$ (queda $x^2$ e $y^2$ con el mismo signo, como la elipse), cero si $e=1$ (desaparece $x^2$: parábola) y negativo si $e>1$ (signos opuestos: hipérbola). Eso es lo que clasifica la curva.
Una aplicación útil: una circunferencia que debe ser tangente al eje $x$ y pasar por un punto fijo $P$ tiene su centro $C(x,y)$ a una distancia $|y|$ del eje y a la misma distancia $|CP|$ de $P$ (el radio). Es decir, $C$ equidista del punto $P$ y del eje $x$: los centros forman una parábola de foco $P$.
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es…
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determina la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su…
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su distancia al punto de anclaje $F(-1.0)$. Determina la ecuación de la trayectoria que describe el extremo del brazo e identifica qué tipo de cónica representa.
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de…
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de abscisas y pasar obligatoriamente por un sensor fijo situado en $P(0,2)$. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describen los posibles centros $C(x,y)$ de dicha sección transversal e identifica la cónica.
Suma o diferencia de distancias a dos puntos
Un jardinero clava dos estacas, ata una cuerda a ambas y la mantiene tensa con un punzón mientras traza el borde de un parterre. La suma de las distancias del punzón a las dos estacas es siempre la longitud de la cuerda. Así se traza una elipse.
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3.0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos…
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3.0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos de una cuerda de $10\text{ m}$ de longitud a ambas estacas y, manteniendo la cuerda tensa con un punzón, traza el contorno sobre la tierra. Halla la ecuación del lugar geométrico del borde del parterre.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5.0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km).…
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5.0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km). El retardo en la recepción de la señal indica que el barco se encuentra siempre $60\text{ km}$ más cerca de la estación $B$ que de la estación $A$. Obtén la ecuación del lugar geométrico sobre el cual navega el barco.
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la…
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la distancia total recorrida por el rayo de luz es de $10$ unidades y la distancia focal es de $6$ unidades, deduce la ecuación reducida del lugar geométrico de la elipse utilizando su definición basada en distancias.
Pendientes, ángulos y productos de distancias
Otras condiciones usan pendientes, ángulos o productos. Se tratan igual: planteas la condición con $P(x,y)$ y simplificas.
Ángulo recto. Si $\angle APB=90^\circ$, las rectas $PA$ y $PB$ son perpendiculares y el producto de sus pendientes es $-1$. Cuidado con $P$ sobre el eje $x$: ahí las pendientes valen $0$ y no hay triángulo; se excluyen los puntos $A$ y $B$.
Producto de pendientes. Con $A(-a,0)$, $B(a,0)$, $P(x,y)$, el producto de pendientes es $\dfrac{y}{x+a}\cdot\dfrac{y}{x-a}=\dfrac{y^2}{x^2-a^2}$.
Producto de distancias a los ejes. Es $|x|\cdot|y|=k$, es decir, $xy=\pm k$.
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el…
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el producto de las distancias a ambos ejes es constante e igual a $16$ define unas curvas isofónicas. Halla la ecuación del lugar geométrico y demuestra que está formado por dos hipérbolas equiláteras, calculando la distancia exacta entre los vértices de cada una de ellas.
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4.0)$ y $B(4,0)$. Para que…
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4.0)$ y $B(4,0)$. Para que los sensores de la cámara funcionen de manera óptima, el ángulo de visión $\angle APB$ debe ser exactamente de $90^\circ$. Halla analíticamente el lugar geométrico de las posibles posiciones de la cámara, excluyendo los puntos $A$ y $B$. Describe la figura resultante.
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes…
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes de ambas varillas en su punto de intersección $P(x,y)$ es siempre una constante negativa $-k^2$ (con $k > 0$). Demuestra que el lugar geométrico del punto $P$ es una elipse y determina la longitud de sus semiejes en función de $a$ y $k$.
Resumen
Vuelve al principio: Josué y Valeria pueden encontrarse en cualquier punto de la mediatriz del segmento que une Masaya con Granada. Si él camina el doble de rápido, el punto de encuentro está sobre una circunferencia que rodea a Granada.