Operaciones con vectores

Calcula las coordenadas de un punto $P$ que divide al segmento de extremos $A(-2, 5)$ y $B(7, -1)$ de modo que la distancia de $A$ a $P$ sea el doble que la distancia de $P$ a $B$. Es decir, se cumple la relación vectorial $\vec{AP} = 2\vec{PB}$.

Halla las coordenadas de un punto $P$ situado sobre el eje de ordenadas de forma que el triángulo formado por los puntos $A(-3, 2)$, $B(1, 4)$ y $P$ sea isósceles, siendo los lados $AP$ y $BP$ de igual longitud. Es decir, debe cumplirse que $|\vec{AP}| = |\vec{BP}|$.

Dados los puntos $A(3, -2)$ y $B(5, 4)$, calcula las coordenadas del vector $\vec{AB}$ y del vector $\vec{BA}$.

Calcula el módulo del vector $\vec{v} = (-6, 8)$.

El vector $\vec{v} = (5, 2)$ tiene su origen en el punto $A(-3, 1)$. Determina las coordenadas de su extremo $B$.

Dados los vectores $\vec{u} = (4, -1)$ y $\vec{v} = (-2, 5)$, calcula las coordenadas del vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ y del vector diferencia $\vec{u} - \vec{v}$.

Dado el vector $\vec{w} = (3, -7)$, calcula las coordenadas de los vectores $2\vec{w}$ y $-\frac{1}{2}\vec{w}$.

Un robot de almacén realiza el siguiente recorrido desde su base en el origen de coordenadas: primero se desplaza según el vector $\vec{d_1} = (4.5; 2.1)$ m, luego sigue el vector $\vec{d_2} = (-1.2; 3.4)$ m y finalmente avanza según $\vec{d_3} = (0; -1.5)$ m. Determina el vector de posición final del robot y a qué distancia en línea recta se encuentra de la base.

Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas representadas por los vectores $\vec{F_1} = (15, -8)$ N y $\vec{F_2} = (-5, 12)$ N. Calcula el vector fuerza resultante $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ y determina la magnitud (módulo) de dicha fuerza resultante.

Comprueba si los vectores $\vec{a} = (2, -5)$ y $\vec{b} = (-6, 15)$ tienen la misma dirección, es decir, si son paralelos.

En el diseño de un videojuego, el movimiento de un personaje viene dado por el vector $\vec{u} = (x, 12)$, y el de un proyectil por el vector $\vec{v} = (5, -4)$. Calcula el valor de $x$ para que ambos vectores tengan la misma dirección y averigua si tienen el mismo sentido.

En una obra de ingeniería civil, se deben alinear tres pilares. En el plano, sus posiciones son $P(1, -2)$, $Q(4, 2)$ y $R(10, k)$. Averigua el valor de $k$ para que los tres pilares estén perfectamente alineados.

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $P(-4, 7)$ y $Q(8, -1)$.

Dos ciudades están situadas en un mapa en las coordenadas $A(-15, 20)$ y $B(35, -4)$ (en kilómetros). Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones exactamente en el punto medio entre ambas. Calcula las coordenadas donde debe situarse la antena y la longitud del cable de fibra óptica necesario para conectarla en línea recta con la ciudad $A$.

Los vértices de una parcela triangular son $A(0, 0)$, $B(8, 6)$ y $C(12, -3)$ (medidos en decámetros). Calcula el perímetro de la parcela.

Tres de los vértices de un panel solar con forma de paralelogramo $ABCD$ están situados en los puntos $A(-1, 3)$, $B(5, 1)$ y $C(6, 4)$. Calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$ sabiendo que los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{DC}$ son equipolentes. Comprueba tu resultado calculando el punto medio de ambas diagonales.

Demuestra analíticamente que el cuadrilátero de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$, $C(6, -1)$ y $D(0, -3)$ es un paralelogramo. Para ello, comprueba que los lados opuestos son vectores equipolentes.

Expresa el vector $\vec{w} = (1, 11)$ como combinación lineal de los vectores $\vec{u} = (2, 3)$ y $\vec{v} = (-1, 5)$. Es decir, halla los valores de $a$ y $b$ tales que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

Un robot explorador en Marte parte del punto $A(-3, 2)$ y realiza un desplazamiento descrito por el vector $\vec{u} = (5, 4)$ hasta llegar a un punto $B$. Desde $B$, se mueve hacia un punto $C$ tal que $\vec{BC} = -2\vec{u} + \vec{w}$, siendo $\vec{w} = (1, -6)$. Determina las coordenadas de los puntos $B$ y $C$, y calcula el módulo del vector desplazamiento total $\vec{AC}$.

Dados los puntos $A(1, 2)$, $B(3, -1)$ y $C(0, 4)$, halla las coordenadas de un punto $D$ que cumpla la ecuación vectorial $2\vec{AB} - 3\vec{CD} = \vec{v}$, sabiendo que el vector $\vec{v}$ tiene coordenadas $(-5, 2)$.

Un avión vuela con una velocidad propia representada por el vector $\vec{v_m} = (250, 150)$ km/h. El viento sopla con una velocidad $\vec{v_v} = (-30, 40)$ km/h. La velocidad real del avión respecto al suelo es la suma de ambos vectores. Se quiere modificar la velocidad de los motores sumando un vector de corrección $\vec{c} = a\vec{u} + b\vec{w}$, donde $\vec{u} = (1, 0)$ y $\vec{w} = (0, 1)$, para que la velocidad real final del avión sea exactamente $\vec{v_r} = (300, 0)$ km/h. Plantea la ecuación vectorial y halla los valores de $a$ y $b$.

En física de partículas, un haz de protones sigue una trayectoria rectilínea con vector director $\vec{v} = (3, -4)$. Encuentra un vector unitario (de módulo 1) que tenga la misma dirección y sentido que $\vec{v}$, y otro vector que tenga la misma dirección, sentido opuesto y módulo 10.

El centro de un hexágono regular se encuentra en el origen de coordenadas $O(0,0)$ y uno de sus vértices es el punto $A(4, 0)$. Utilizando las propiedades de los vectores y sabiendo que el hexágono se puede dividir en 6 triángulos equiláteros idénticos, determina las coordenadas de los otros cinco vértices.

Halla las coordenadas del punto simétrico de $A(1, 4)$ respecto del punto $M(3, -2)$.