Proporcionalidad inversa
Cuatro personas limpian la cancha del barrio en 30 minutos. Si se suman más cipotes a ayudar, tardarán menos. Pero ¿cuánto menos? ¿Tardarán la mitad con el doble de gente? En estos problemas, cuando una magnitud se multiplica por un número, la otra se divide por ese mismo número. Eso es la proporcionalidad inversa.
¿Qué es la proporcionalidad inversa?
En la proporcionalidad directa, al doble le corresponde el doble. Aquí es al revés: al doble de personas le corresponde la mitad del tiempo. Fíjese cómo se ve en una gráfica: la curva baja, pero nunca toca los ejes.
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa: a) El número de personas que pintan una valla y el tiempo…
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa:
- a) El número de personas que pintan una valla y el tiempo que tardan en terminarla.
- b) El número de kilos de manzanas que compras y el precio total que pagas.
- c) La velocidad a la que circula un tren y el tiempo que emplea en recorrer la distancia entre dos ciudades.
- d) El número de páginas de un libro y su peso.
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que…
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que trabajen al mismo ritmo, ¿cuántas horas tardarán en montar el mismo escenario?
El producto constante
Es una ecuación de primer grado: despeja la incógnita y verifica que el producto vuelva a dar la constante.
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$. |…
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$.
| Magnitud $A$ | $2$ | $4$ | $8$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|
| Magnitud $B$ | $12$ | $6$ | ... | ... |
Un grupo de amigos quiere alquilar un microbús para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $375$ lempiras. Calcule cuánto tendría que pagar cada uno si…
Un grupo de amigos quiere alquilar un microbús para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $375$ lempiras. Calcule cuánto tendría que pagar cada uno si finalmente se suman $10$ personas al viaje.
Para montar el escenario de un festival de música, $8$ operarios han trabajado durante $15$ horas. Si la alcaldía necesita que el montaje esté terminado en solo $10$…
Para montar el escenario de un festival de música, $8$ operarios han trabajado durante $15$ horas. Si la alcaldía necesita que el montaje esté terminado en solo $10$ horas, ¿cuántos operarios adicionales deberán contratar, suponiendo que todos trabajan al mismo ritmo?
Regla de tres inversa
Un tanque de agua se llena en $6$ horas utilizando una llave con un caudal de $10$ litros por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el mismo tanque si el caudal de…
Un tanque de agua se llena en $6$ horas utilizando una llave con un caudal de $10$ litros por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el mismo tanque si el caudal de la llave aumenta a $15$ litros por minuto?
Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar a sus $20$ vacas durante $30$ días. Si vende $5$ vacas y se queda con $15$, ¿cuántos días podrá alimentar a las vacas…
Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar a sus $20$ vacas durante $30$ días. Si vende $5$ vacas y se queda con $15$, ¿cuántos días podrá alimentar a las vacas restantes con la misma cantidad de pienso?
Una asociación protectora de animales tiene raciones de pienso para alimentar a sus $45$ perros durante $20$ días. Si mañana llegan $15$ perros más rescatados de una…
Una asociación protectora de animales tiene raciones de pienso para alimentar a sus $45$ perros durante $20$ días. Si mañana llegan $15$ perros más rescatados de una camada, ¿cuántos días durarán las existencias de pienso si no se varía la ración diaria por perro?
Distintos contextos de la proporcionalidad inversa
Los mismos pasos sirven siempre. Lo importante es reconocer cuándo el producto tiene sentido y qué significa.
| Situación | Producto constante |
|---|---|
| Personas × tiempo de trabajo | trabajo total |
| Caudal × tiempo de llenado | volumen del depósito |
| Velocidad × tiempo | distancia recorrida |
| Cantidad de personas × cuota | gasto total a repartir |
| Base × altura (rectángulos) | área |
| Dientes × vueltas por minuto (engranajes) | $k$ de la transmisión |
En los engranajes conectados, la rueda con más dientes gira más despacio: dientes × vueltas es constante. Si una rueda de 12 dientes gira a 20 vueltas por minuto, $12 \cdot 20 = 240$, y una de 24 dientes gira a $240 : 24 = 10$ vueltas por minuto.
Dos engranajes están conectados. El primero tiene $12$ dientes y da $20$ vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará el segundo engranaje si tiene $24$ dientes?
Dos engranajes están conectados. El primero tiene $12$ dientes y da $20$ vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará el segundo engranaje si tiene $24$ dientes?
Un dron de reparto tarda $12$ minutos en entregar un paquete desplazándose a una velocidad de $40$ km/h. Si el centro de control decide aumentar su velocidad a $60$ km/h…
Un dron de reparto tarda $12$ minutos en entregar un paquete desplazándose a una velocidad de $40$ km/h. Si el centro de control decide aumentar su velocidad a $60$ km/h para el siguiente envío al mismo lugar, ¿cuánto tiempo tardará en llegar?
En una bicicleta de montaña, la relación entre el número de dientes del plato y el del piñón determina el avance. Si con un plato de $48$ dientes y un piñón de $24$…
En una bicicleta de montaña, la relación entre el número de dientes del plato y el del piñón determina el avance. Si con un plato de $48$ dientes y un piñón de $24$ dientes la rueda trasera da exactamente $200$ vueltas en un tramo, ¿cuántas vueltas daría la rueda si cambiáramos a un piñón de $16$ dientes manteniendo el mismo pedaleo (mismas vueltas de plato)? Justifica el tipo de proporcionalidad.
Como función: $y = k/x$
Podemos escribir la relación como fórmula: si $x \cdot y = k$, entonces
$$y = \frac{k}{x}$$Es una función donde $x$ es la variable independiente e $y$ la dependiente. Como no se puede dividir entre 0, $x \neq 0$. En los problemas, además, $x$ suele ser positivo.
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $300$ lempiras en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para…
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $300$ lempiras en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para averiguar cuánto dinero recibiría cada uno dependiendo del número de personas que formen el grupo. Indica también cuál es la constante de proporcionalidad inversa.
| Número de amigos ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Dinero por persona ($y$) | $150$ | ? | ? | ? | ? |
En la gráfica puedes ver marcado el caso de $2$ amigos.
Un aula de tecnología tiene varias placas de contrachapado rectangulares que ocupan todas la misma superficie: $1200$ cm². Completa la tabla de las posibles dimensiones…
Un aula de tecnología tiene varias placas de contrachapado rectangulares que ocupan todas la misma superficie: $1200$ cm². Completa la tabla de las posibles dimensiones (base y altura) para estas placas y explica qué relación existe entre ellas.
| Base ($cm$) | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | $60$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Altura ($cm$) | ? | $60$ | ? | ? | ? |
Observa la siguiente tabla que representa la relación entre dos magnitudes $M$ y $N$. Determina si se trata de una relación de proporcionalidad inversa calculando su…
Observa la siguiente tabla que representa la relación entre dos magnitudes $M$ y $N$. Determina si se trata de una relación de proporcionalidad inversa calculando su constante $k$. Una vez hallada, completa los valores que faltan, expresándolos como números enteros o decimales exactos.
| Magnitud $M$ | $2$ | $4.5$ | $x$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Magnitud $N$ | $18$ | $y$ | $12$ | $z$ |
Repartos inversamente proporcionales
A veces hay que repartir una cantidad de modo que reciba más quien tiene menos de algo: por ejemplo, más dinero para quien tardó menos tiempo. Eso es un reparto inversamente proporcional.
¿Por qué? Que sea inversa significa que parte × valor da siempre lo mismo, o sea $p = k/t$. Y todas las partes juntas tienen que dar el total.
Tres amigos deciden repartirse los $282$ lempiras obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en…
Tres amigos deciden repartirse los $282$ lempiras obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en resolver su prueba final. Si el primer amigo tardó $12$ minutos, el segundo $15$ minutos y el tercero $20$ minutos, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno?
Problemas de varios pasos
Algunos problemas cambian las condiciones a mitad de camino o combinan inversa con porcentajes. La clave es calcular primero la constante y después trabajar con lo que queda.
Seis impresoras de alta velocidad tardan $4$ horas y $30$ minutos en imprimir $5000$ folletos publicitarios. Si dos de las impresoras sufren una avería antes de empezar…
Seis impresoras de alta velocidad tardan $4$ horas y $30$ minutos en imprimir $5000$ folletos publicitarios. Si dos de las impresoras sufren una avería antes de empezar el trabajo, ¿cuántas horas y minutos tardarán las impresoras restantes en realizar el mismo encargo?
Para llenar una piscina olímpica, se utilizan $4$ llaves que arrojan un caudal de $12$ litros por minuto cada una, tardando un total de $30$ horas. Si se quiere que la…
Para llenar una piscina olímpica, se utilizan $4$ llaves que arrojan un caudal de $12$ litros por minuto cada una, tardando un total de $30$ horas. Si se quiere que la piscina se llene en tan solo $18$ horas usando llaves con un caudal superior, de $16$ litros por minuto, ¿cuántas llaves de este nuevo modelo se necesitará abrir?
Un tren de mercancías realiza el trayecto entre dos ciudades a una velocidad media de $80$ km/h, tardando $3$ horas y $45$ minutos. En el viaje de vuelta, debido a una…
Un tren de mercancías realiza el trayecto entre dos ciudades a una velocidad media de $80$ km/h, tardando $3$ horas y $45$ minutos. En el viaje de vuelta, debido a una avería en la vía, debe reducir su velocidad media hasta los $60$ km/h.
-
a) ¿Cuánto tiempo tardará en completar el viaje de regreso?
-
b) Expresa el resultado en horas, minutos y segundos.
Vuelva al principio: si 4 personas tardan 30 minutos, la constante es $4 \cdot 30 = 120$ personas·minuto. No siempre «el doble de gente, la mitad de tiempo» se cumple de a ojo, pero con el producto constante sí: 6 personas tardan $120 : 6 = 20$ minutos.