Medida del volumen
Doña Marta compra un tanque de agua de $2\ \text{m}^3$ para su casa en Choluteca y el vendedor le dice: «Le caben dos mil litros». Ella pensaba que eran apenas dos litros. ¿Quién tiene razón? Para saberlo hay que conocer las unidades de volumen y cómo se relacionan con los litros.
La escalera de las unidades de volumen
El volumen se mide en unidades cúbicas: $1\ \text{cm}^3$ es el espacio que ocupa un cubito de 1 cm de arista. En la longitud cada escalón vale $\times 10$, pero en volumen cada unidad es 1,000 veces la siguiente, porque $10 \times 10 \times 10 = 1{,}000$.
Observa la escalera de unidades de volumen de la figura. a) ¿Por qué número se multiplica al bajar un peldaño? ¿Y por cuál se divide al subirlo? b) Usando la escalera,…
Observa la escalera de unidades de volumen de la figura.
a) ¿Por qué número se multiplica al bajar un peldaño? ¿Y por cuál se divide al subirlo?
b) Usando la escalera, expresa $2.4\ \text{m}^3$ en decímetros cúbicos y en centímetros cúbicos.
Convierte a las unidades indicadas: a) $3\ \text{m}^3$ a decímetros cúbicos. b) $4\,500\ \text{dm}^3$ a metros cúbicos. c) $0.75\ \text{dm}^3$ a centímetros cúbicos.
Convierte a las unidades indicadas:
a) $3\ \text{m}^3$ a decímetros cúbicos.
b) $4\,500\ \text{dm}^3$ a metros cúbicos.
c) $0.75\ \text{dm}^3$ a centímetros cúbicos.
Al convertir $2.5\ \text{m}^3$ a centímetros cúbicos, Mihai escribe en su cuaderno: $2.5\ \text{m}^3 = 2.5 \times 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$. a) Explica el error que…
Al convertir $2.5\ \text{m}^3$ a centímetros cúbicos, Mihai escribe en su cuaderno: $2.5\ \text{m}^3 = 2.5 \times 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$.
a) Explica el error que ha cometido.
b) Realiza la conversión correcta.
c) ¿Cuántos litros son $2.5\ \text{m}^3$?
Elegir la unidad adecuada
Cada unidad sirve para objetos de cierto tamaño. Para decidir, imagine cuántos cubitos de ese tamaño cabrían en el objeto.
| Unidad | Sirve para medir | Ejemplo |
|---|---|---|
| $\text{cm}^3$ | objetos pequeños | un terrón de azúcar, una cucharada |
| $\text{dm}^3$ | objetos medianos | una mochila, una caja de zapatos |
| $\text{m}^3$ | objetos grandes | una piscina, un cuarto |
| $\text{hm}^3$ | volúmenes enormes | el agua de una represa |
Para comprobar si un valor es razonable, compárelo con algo conocido: un refresco de lata tiene unos $330\ \text{cm}^3$ y un litro de leche ocupa $1\ \text{dm}^3$.
¿En qué unidad expresaría el volumen de cada uno de estos objetos? Elija entre $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ y $\text{hm}^3$, y justifique su elección: a)…
¿En qué unidad expresaría el volumen de cada uno de estos objetos? Elija entre $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ y $\text{hm}^3$, y justifique su elección:
a) Un terrón de azúcar.
b) Una mochila.
c) El agua de una represa.
d) Una piscina pública.
De los tres valores propuestos para cada volumen, solo uno es razonable. Elígelo y justifica tu respuesta: a) Una lata de refresco: $3.3\ \text{cm}^3$,…
De los tres valores propuestos para cada volumen, solo uno es razonable. Elígelo y justifica tu respuesta:
a) Una lata de refresco: $3.3\ \text{cm}^3$, $330\ \text{cm}^3$ o $3.3\ \text{dm}^3$.
b) Una lavadora: $55\ \text{dm}^3$, $250\ \text{dm}^3$ o $2.5\ \text{m}^3$.
c) Un vaso de agua: $25$ ml, $250$ ml o $2.5$ l.
Volumen y capacidad
La capacidad mide cuánto líquido cabe dentro de un recipiente y se expresa en litros. Volumen y capacidad son la misma idea con distintas unidades.
Completa en tu cuaderno: a) $75\ \text{l} =$ $\text{dm}^3$ b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ litros c) $0.5\ \text{m}^3 =$ litros
Completa en tu cuaderno:
a) $75\ \text{l} =$ ____ $\text{dm}^3$
b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ ____ litros
c) $0.5\ \text{m}^3 =$ ____ litros
Un depósito de agua tiene un volumen de $2.5\ \text{m}^3$. ¿Cuántos litros de agua caben en él? ¿Cuántas garrafas de $5$ litros se podrían llenar?
Un depósito de agua tiene un volumen de $2.5\ \text{m}^3$. ¿Cuántos litros de agua caben en él? ¿Cuántas garrafas de $5$ litros se podrían llenar?
Un depósito contiene $1.2\ \text{m}^3$ de agua. ¿Cuántas botellas de $750$ ml se pueden llenar con ella?
Un depósito contiene $1.2\ \text{m}^3$ de agua. ¿Cuántas botellas de $750$ ml se pueden llenar con ella?
Una piscina desmontable mide $3\ \text{m}$ de largo, $2\ \text{m}$ de ancho y $0.75\ \text{m}$ de profundidad. a) ¿Cuántos litros de agua caben en la piscina? b) Si se…
Una piscina desmontable mide $3\ \text{m}$ de largo, $2\ \text{m}$ de ancho y $0.75\ \text{m}$ de profundidad.
a) ¿Cuántos litros de agua caben en la piscina?
b) Si se llena con una manguera que vierte $15$ litros por minuto, ¿cuántas horas tarda en llenarse?
Lluvia y grandes volúmenes
Una lluvia de $1$ litro por metro cuadrado forma una capa de agua de $1\ \text{mm}$ de altura. Se comprueba así: $1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm} \times 100\ \text{dm}$ y $1\ \text{mm} = 0.01\ \text{dm}$, así que el volumen es $100 \times 100 \times 0.01 = 100\ \text{dm}^3$. Como $1\ \text{dm}^3 = 1$ litro, la capa de $1\ \text{mm}$ sobre un metro cuadrado contiene $100$ litros...
Comprobación: $1\ \text{m}^2$ con una capa de $1\ \text{mm} = 0.001\ \text{m}$ da $1 \times 0.001 = 0.001\ \text{m}^3 = 1\ \text{dm}^3 = 1$ litro.
Para volúmenes de agua en represas se usan $\text{hm}^3$ y $\text{km}^3$, y para trabajar con números enormes conviene la notación científica, por ejemplo $3 \times 10^{8}$ litros.
Durante una tormenta han caído $45$ litros por metro cuadrado. a) ¿A cuántos milímetros de altura de agua equivale esa lluvia? b) ¿Cuántos litros han caído sobre un…
Durante una tormenta han caído $45$ litros por metro cuadrado.
a) ¿A cuántos milímetros de altura de agua equivale esa lluvia?
b) ¿Cuántos litros han caído sobre un jardín de $60\ \text{m}^2$?
c) ¿Cuántos metros cúbicos son?
Un embalse tiene una capacidad de $0.45\ \text{km}^3$. Tras un año de sequía está al $62\%$ de su capacidad. a) ¿Cuántos hectómetros cúbicos de agua contiene? b)…
Un embalse tiene una capacidad de $0.45\ \text{km}^3$. Tras un año de sequía está al $62\%$ de su capacidad.
a) ¿Cuántos hectómetros cúbicos de agua contiene?
b) ¿Cuántos litros son? Expresa el resultado en notación científica.
c) ¿Cuántos hectómetros cúbicos faltan para llenarlo por completo?
Un garaje de $45\ \text{m}^2$ de superficie se ha inundado y el agua alcanza $0.6\ \text{m}$ de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca $45$ litros por minuto.…
Un garaje de $45\ \text{m}^2$ de superficie se ha inundado y el agua alcanza $0.6\ \text{m}$ de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca $45$ litros por minuto.
a) ¿Cuántos litros de agua hay en el garaje?
b) ¿Cuánto tiempo tardará la bomba en vaciarlo? Expresa el resultado en horas.
Forma compleja
A veces un volumen se escribe repartido en varias unidades, como $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3$. Es la forma compleja: cada parte debe quedar entre 0 y 999 (excepto la unidad mayor).
Expresa en decímetros cúbicos: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.
Expresa en decímetros cúbicos: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.
Expresa en forma compleja: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.
Expresa en forma compleja: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.
Expresa en metros cúbicos y calcula: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Expresa el resultado también en hectolitros.
Expresa en metros cúbicos y calcula: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Expresa el resultado también en hectolitros.
Una comunidad de regantes consume en una semana $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ de agua. a) Expresa esa cantidad en litros. b) Si el consumo se reparte por igual…
Una comunidad de regantes consume en una semana $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ de agua.
a) Expresa esa cantidad en litros.
b) Si el consumo se reparte por igual entre los $7$ días de la semana, ¿cuántos litros se consumen al día?
c) Expresa el consumo diario en metros cúbicos.
Volumen, capacidad y masa
El agua tiene una propiedad muy útil: 1 litro de agua pesa 1 kg (y $1\ \text{cm}^3$ pesa 1 g). Para otras sustancias se usa la densidad, que dice cuánta masa hay en cada unidad de volumen:
Hace más de 2,000 años Arquímedes descubrió que un objeto sumergido desplaza un volumen de agua igual al suyo. Así se mide el volumen de un objeto irregular, como una piedra.
Para medir el volumen de una piedra, la sumergimos en un vaso cilíndrico con agua, como se muestra en la figura. El diámetro interior del vaso es $8$ cm y el nivel del…
Para medir el volumen de una piedra, la sumergimos en un vaso cilíndrico con agua, como se muestra en la figura. El diámetro interior del vaso es $8$ cm y el nivel del agua sube de $5$ cm a $8$ cm.
a) ¿Cuánto ha subido el nivel del agua?
b) Calcula el volumen de la piedra en centímetros cúbicos (toma $\pi \approx 3.14$).
Un depósito vacío pesa $12$ kg y, lleno de gasoil, pesa $522$ kg. Si la densidad del gasoil es $0.85\ \text{kg/dm}^3$, ¿cuántos litros de gasoil contiene el depósito?
Un depósito vacío pesa $12$ kg y, lleno de gasoil, pesa $522$ kg. Si la densidad del gasoil es $0.85\ \text{kg/dm}^3$, ¿cuántos litros de gasoil contiene el depósito?
Una bañera está llena de agua hasta el borde. Marta se introduce en ella y se desbordan $35$ litros de agua. a) ¿Cuál es el volumen, en decímetros cúbicos, de la parte…
Una bañera está llena de agua hasta el borde. Marta se introduce en ella y se desbordan $35$ litros de agua.
a) ¿Cuál es el volumen, en decímetros cúbicos, de la parte del cuerpo de Marta que queda sumergida?
b) Si Marta pesa $32$ kg, ¿cuál es la densidad media de su cuerpo en $\text{kg/dm}^3$? Compárala con la densidad del agua ($1\ \text{kg/dm}^3$) y explica por qué puede flotar.
Un bloque de corcho tiene un volumen de $25\ \text{dm}^3$ y una densidad de $0.24\ \text{kg/dm}^3$. a) ¿Cuál es su masa? b) ¿Flotará en agua? Razona la respuesta…
Un bloque de corcho tiene un volumen de $25\ \text{dm}^3$ y una densidad de $0.24\ \text{kg/dm}^3$.
a) ¿Cuál es su masa?
b) ¿Flotará en agua? Razona la respuesta comparando las densidades.
c) ¿Qué volumen de corcho se necesitaría para tener una masa de $30$ kg?
Un bloque de hormigón de $1.5\ \text{m} \times 0.8\ \text{m} \times 0.4\ \text{m}$ tiene una densidad de $2\,400\ \text{kg/m}^3$. a) Calcula su volumen y su masa. b) Una…
Un bloque de hormigón de $1.5\ \text{m} \times 0.8\ \text{m} \times 0.4\ \text{m}$ tiene una densidad de $2\,400\ \text{kg/m}^3$.
a) Calcula su volumen y su masa.
b) Una grúa puede levantar hasta $1.5$ toneladas. ¿Puede mover el bloque?
c) ¿Podría mover dos bloques a la vez? Justifica la respuesta.
Cuenta la leyenda que Arquímedes descubrió cómo comprobar si la corona del rey era de oro puro midiendo el agua que desplazaba al sumergirla. En la figura, una corona de…
Cuenta la leyenda que Arquímedes descubrió cómo comprobar si la corona del rey era de oro puro midiendo el agua que desplazaba al sumergirla. En la figura, una corona de $750$ g se sumerge en una probeta con agua.
a) ¿Cuál es el volumen de la corona?
b) Calcula su densidad en $\text{g/cm}^3$.
c) Sabiendo que la densidad del oro es $19.3\ \text{g/cm}^3$ y la de la plata es $10.5\ \text{g/cm}^3$, ¿podría la corona ser de oro macizo? Razona la respuesta.
Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones: a) $1\ \text{dm}^3$ equivale a $1$ litro. b) $1\ \text{m}^3$ equivale a $100$ litros. c) $1\ \text{cm}^3$ de agua…
Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones:
a) $1\ \text{dm}^3$ equivale a $1$ litro.
b) $1\ \text{m}^3$ equivale a $100$ litros.
c) $1\ \text{cm}^3$ de agua tiene una masa de $1$ gramo.
d) Para pasar de $\text{m}^3$ a $\text{cm}^3$ se multiplica por $1\,000$.
Un bloque de hielo de $25\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$ tiene una densidad de $0.92\ \text{kg/dm}^3$. a) Calcula su volumen en decímetros cúbicos.…
Un bloque de hielo de $25\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$ tiene una densidad de $0.92\ \text{kg/dm}^3$.
a) Calcula su volumen en decímetros cúbicos.
b) ¿Cuál es su masa?
c) Al derretirse, el agua resultante tiene una densidad de $1\ \text{kg/dm}^3$. ¿Qué volumen ocupará? ¿Ocupa más o menos que el hielo? ¿A qué crees que se debe?
Vuelva al principio: doña Marta se confundía de unidad: como $1\ \text{m}^3 = 1{,}000\ \text{dm}^3 = 1{,}000$ litros, su tanque de $2\ \text{m}^3$ guarda $2{,}000$ litros, mil veces más de lo que ella pensaba.