Aplicación de la derivada al cálculo de límites. Regla de l'Hôpital

Observa la siguiente gráfica que representa dos funciones $f(x)$ (en blanco) y $g(x)$ (en gris oscuro) que se anulan en el punto $x = a$. Sabiendo que $f'(a) = 6$ y $g'(a) = 2$, calcula el valor del límite:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Calcula el siguiente límite utilizando la Regla de l'Hôpital, comprobando primero que se verifica la indeterminación necesaria:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 5x + 2}{x^2 - 4}$$

Determina el valor del siguiente límite de una función logarítmica. Recuerda derivar correctamente el numerador y el denominador de forma independiente:

$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 + 2x - 3}$$

Dadas las funciones $f(x) = e^x - x - 1$ y $g(x) = x^2$, calcula razonadamente el límite del cociente de ambas cuando $x$ tiende a $0$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Nota: Es posible que necesites aplicar la Regla de l'Hôpital más de una vez.

En un modelo matemático de difracción de luz a través de una rendija microscópica, aparece el siguiente límite:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2} $$

Aplica la regla de L'Hôpital sucesivamente para determinar su valor exacto.

En el estudio de la propagación de una señal wifi en un entorno con interferencias, se ha modelado la pérdida de intensidad mediante la siguiente función de la distancia $x$ (en metros):

$$f(x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x} - 4x}{x - \sin(x)}$$

Calcula el límite de esta función cuando la distancia $x$ tiende a $0$, es decir, $\lim_{x \to 0} f(x)$, para determinar el comportamiento de la señal en el punto de emisión.

Calcula el límite de la siguiente función racional en el infinito. Aunque podrías resolverlo por comparación de grados, utiliza la Regla de l'Hôpital para demostrar el resultado:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 7}$$

Se desea estudiar la convergencia de un algoritmo de inteligencia artificial. La tasa de error en función del número de iteraciones $x$ se define como:

$$E(x) = \frac{\ln(x^4 + 1)}{x}$$

Demuestra, utilizando la Regla de l'Hôpital, que cuando el número de iteraciones tiende a infinito ($x \to \infty$), la tasa de error tiende a $0$. ¿Qué nos dice esto sobre la eficiencia del algoritmo a largo plazo?

Se desea calcular el siguiente límite en el infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{\sqrt{4x^2 + 3}}$$

1. a) Comprueba que presenta una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ e intenta resolverlo aplicando directamente la regla de l'Hôpital derivando numerador y denominador. ¿Qué ocurre al derivar sucesivamente? Explica por qué este método no permite resolver el límite.
2. b) Propón y desarrolla un método algebraico alternativo que permita calcular el límite de forma inmediata y rigurosa.
3. c) A partir de los resultados anteriores, establece un criterio general para decidir cuándo conviene priorizar la simplificación algebraica frente al uso mecánico de la regla de l'Hôpital ante cocientes con radicales en el infinito.

Halla el valor del parámetro $k$ para que el siguiente límite sea igual a $4$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 4$$

Dada la función dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{e^x - kx - 1}{x^2}$$

Calcula el valor de $k$ para que el límite $\lim_{x \to 0} f(x)$ sea un número real finito y determina dicho valor. Explica por qué es necesario que la expresión del numerador se anule en $x=0$ para poder aplicar la regla.

En el diseño de una nueva montaña rusa, la curvatura de un tramo inicial viene determinada por la existencia del límite de una función de transición. Para que el diseño sea viable, se requiere que el siguiente límite sea un número real finito:

$$\lim_{x \to 0} \frac{a \times \cos(x) + b \times e^x - 3 + x}{x^2}$$

Calcula razonadamente los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que dicho límite exista y sea finito. Una vez obtenidos, calcula el valor de dicho límite.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$, se sabe que presenta una discontinuidad evitable en $x = 1$.

1. Calcula el valor de la constante $k$.

2. Para dicho valor de $k$, calcula el valor que debería tomar la función en $f(1)$ para que fuese continua en ese punto, resolviendo el límite:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$$

1. ¿Existe alguna asíntota oblicua para esta función? Justifica tu respuesta utilizando límites.

Determina, si existen, los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(ax^2)}{x^2} & \text{si } x < 0 \\ b + 2 & \text{si } x = 0 \\ \dfrac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Para resolver el límite por la derecha, será necesario aplicar la Regla de l'Hôpital de forma reiterada. Justifica cada paso del proceso.

Calcula el valor del siguiente límite transformando previamente la indeterminación de tipo $\infty - \infty$ en un cociente para poder aplicar la Regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)$$

Calcula el límite de la siguiente función cuando $x$ tiende a $\frac{\pi}{2}$. Ten en cuenta que deberás realizar una transformación previa para convertir la indeterminación $0 \times \infty$ en una forma apta para l'Hôpital:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin(x) - 1 \right) \times \tan(x)$$

Un ingeniero de telecomunicaciones analiza la pérdida de potencia de una señal en una fibra óptica. La potencia relativa $P$ respecto a la distancia $d$ se modela mediante una función que requiere resolver la siguiente indeterminación cuando la señal se aproxima a un nodo crítico ($d \to 1$):

$$\lim_{d \to 1} \left( \frac{d}{\ln(d)} - \frac{1}{d-1} \right)$$

Calcula el valor del límite indicando el tipo de indeterminación inicial y las transformaciones algebraicas realizadas para aplicar l'Hôpital.

En una red social, el número de "shares" de un video viral durante los primeros segundos se ha modelado mediante la función $S(t) = (1+2t)^{1/t}$, donde $t$ es el tiempo en segundos.

¿A qué valor tiende el número de compartidos en el instante inicial? Calcule para ello:

$$\lim_{t \to 0} (1+2t)^{\frac{1}{t}}$$

Determina el valor del siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$. Para resolverlo, utiliza las propiedades de los logaritmos y la Regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$$

Calcula el valor del límite de la siguiente función cuando $x$ tiende a cero por la derecha ($x \to 0^+$). Identifica el tipo de indeterminación y utiliza la relación entre potencias y exponenciales ($u^v = e^{v \times \ln(u)}$):

$$\lim_{x \to 0^+} (\tan(x))^x$$

El factor de depreciación de un activo financiero a largo plazo se modeliza evaluando el siguiente límite:

$$ L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3x}{x^2 - x} \right)^x $$

Transforma esta indeterminación del tipo $1^\infty$ utilizando logaritmos y aplica la regla de L'Hôpital para calcular el valor exacto del factor de depreciación $L$.

Se considera la función $g(x) = x^2 \times e^{-1/x^2}$ para $x \neq 0$.

1. Estudia si es posible asignar un valor a $g(0)$ para que la función sea continua en $x = 0$.

2. Utilizando la definición de derivada mediante un límite y aplicando la Regla de l'Hôpital, demuestra si la función es derivable en $x = 0$.

Nota: Ten especial cuidado con el cambio de variable necesario para resolver el límite en el infinito si fuera preciso.

En un laboratorio de biotecnología, el crecimiento de una población de bacterias en un entorno controlado sigue una ley cuya tasa de acumulación acumulada se expresa mediante una integral. Se desea estudiar el comportamiento de la densidad poblacional en el instante inicial mediante el cálculo del siguiente límite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \ln(1 + t^2) \, dt}{x^3}$$

Utiliza la Regla de l'Hôpital y el Teorema Fundamental del Cálculo para determinar el valor de este límite.