Integrales definidas. Regla de Barrow

Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow, la cual representa el área bajo la parábola $f(x) = x^2 + 2$ en el intervalo $[0, 3]$:

Una empresa de mensajería ha comprobado que el costo marginal de procesar sus paquetes (en lempiras por paquete) viene dado por la función $C'(x) = 1.50x + 50$, donde $x$ es el número de paquetes. Calcule el incremento del costo total si el número de paquetes procesados pasa de 10 a 20 mediante la integral:

Javier y Lucía están calculando en clase la integral definida $\int_1^3 (4x - 1)\,dx$. Javier elige como primitiva $F(x) = 2x^2 - x$ y obtiene un resultado numérico. Lucía, en cambio, decide utilizar la primitiva $G(x) = 2x^2 - x + 5$ y sostiene convencida: «A mí me tiene que dar un resultado 5 unidades mayor que a ti, porque mi primitiva vale exactamente 5 unidades más en cualquier punto». a) Explica razonadamente el error conceptual de Lucía demostrando, mediante la expresión teórica de la regla de Barrow con una constante $+C$ cualquiera, por qué la constante siempre se anula. b) Calcula el valor de la integral definida evaluando primero la primitiva de Javier y después la de Lucía, comprobando que ambos caminos conducen de forma obligada al mismo valor numérico.

Halla el valor de la integral definida de la función exponencial básica entre los valores 0 y 1:

Nota: Expresa el resultado en función del número $e$.

Calcula el valor de la siguiente integral definida de una función racional sencilla:

Recuerda que $\ln(e) = 1$ y $\ln(1) = 0$.

Halla el área del recinto finito limitado por la curva $y = \frac{1}{x}$, el eje de abscisas y las rectas $x = 1$ y $x = e^2$. Expresa el resultado en unidades cuadradas de forma exacta utilizando logaritmos.

La tasa de variación de la ganancia neta de una startup tecnológica (en miles de lempiras por mes) viene dada por la función $B'(t) = 500 - 250e^{-0.2t}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde el lanzamiento de su producto estrella.

1. a) Si en el momento del lanzamiento ($t=0$) la ganancia acumulada era de $0$ lempiras, obtenga la expresión de la función de ganancia acumulada $B(t)$.
2. b) Calcule, mediante la regla de Barrow, la ganancia neta total obtenida por la empresa entre el mes 5 y el mes 10. Exprese el resultado en lempiras redondeando a la unidad.

Dada una función continua $f(x)$, se conocen los siguientes valores de sus integrales definidas:

• $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$

• $\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4$

Utilizando las propiedades de la integral definida, calcula el valor de $\int_{3}^{5} f(x) \, dx$.

Considera la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calcula el valor de la integral definida $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ aplicando la propiedad de aditividad de la integral respecto al intervalo de integración.

El centro de clasificación de una empresa de comercio electrónico en Honduras monitorea el ritmo de salida de pedidos a lo largo de un turno de 8 horas mediante la siguiente función $r(t)$ (expresada en cientos de paquetes por hora, con $t \in [0, 8]$): $$r(t) = \begin{cases} a t^2 + b & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ 10 - (t - 4)^2 & \text{si } 2 < t \le 8 \end{cases}$$ Para que los cambios de ritmo no provoquen colapsos operativos y sea lícito aplicar la regla de Barrow en tramos sobre el intervalo completo, la función $r(t)$ debe ser continua. a) Plantea y deduce la condición algebraica exacta que deben verificar las constantes $a$ y $b$ para asegurar la continuidad de $r(t)$ en el instante de cambio de tramo $t = 2$. b) Se ha comprobado que durante las dos primeras horas del turno ($t \in [0, 2]$) se clasificó un total acumulado de $800$ paquetes ($8$ cientos). Plantea la integral definida correspondiente a dicho tramo, resuélvela con la regla de Barrow y calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$. c) Con los valores hallados, calcule el número total de paquetes clasificados al término del turno completo de 8 horas empleando la propiedad de aditividad del intervalo, y determine en qué hora concreta del turno se alcanzó el ritmo máximo de clasificación.

El flujo de clientes que entra en un centro comercial un sábado por la mañana se puede modelizar mediante la función $f(t) = 100 + 20t$ (clientes por hora), donde $t$ es el tiempo en horas desde la apertura ($t=0$). Calcula el número total de clientes que han entrado desde la segunda hasta la cuarta hora tras la apertura:

Una empresa de mensajería ha estimado que su tasa de variación de ingresos diarios (en cientos de lempiras) está dada por la función $I'(t) = 7.50t^2 - 50t + 250$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la apertura ($0 \le t \le 8$). Utilice la regla de Barrow para calcular el incremento total de los ingresos entre la tercera hora ($t=3$) y la sexta hora ($t=6$) de su jornada.

Debido a la sequía de verano en una cuenca hidrográfica del sur de Honduras, el ritmo de variación del volumen de agua embalsada en una represa (medido en hectómetros cúbicos por semana, $\text{hm}^3\text{/semana}$) a lo largo de las 6 semanas centrales del verano ($t \in [0, 6]$) responde al modelo: $$v(t) = 0.3t^2 - 1.8t$$ a) Justifica analíticamente, estudiando el signo de $v(t)$ en el intervalo $(0, 6)$ sin calcular ninguna integral, por qué el embalse pierde agua de manera ininterrumpida durante esas seis semanas. b) Aplica la regla de Barrow para calcular $\int_0^6 v(t)\,dt$ e interpreta tanto el signo algebraico como el valor numérico obtenido en relación con el agua embalsada. c) Si al inicio del periodo ($t=0$) el embalse contaba con $45\text{ hm}^3$, determine el volumen de agua restante al final de la sexta semana y averigüe en qué semana concreta el ritmo de pérdida fue más severo.

Calcula el área de la región plana limitada por la recta $f(x) = 2x - 4$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 5$. Ten en cuenta que en este intervalo la función es siempre positiva o nula.

Calcula el área encerrada por la curva $f(x) = 4 - x^2$ y el eje de abscisas ($OX$).

Un diseñador gráfico está creando un nuevo logo cuya silueta superior está definida por la función $f(x) = 4 - \frac{x^2}{4}$ y su base inferior por el eje $OX$. Si el logo se sitúa entre $x = -2$ y $x = 2$, calcula el área total de la superficie del logo utilizando la integral definida.

Considera la función $f(x) = x^2 + 1$ en el intervalo $[1, 3]$. Como la función es continua y estrictamente creciente en este intervalo, el área bajo su curva (dada por la integral $\int_1^3 (x^2 + 1)\,dx$) debe quedar acotada entre el área de un rectángulo menor (de base la longitud del intervalo y altura el valor mínimo $f(1)$) y el área de un rectángulo mayor (de misma base y altura el valor máximo $f(3)$). a) Calcula las áreas de ambos rectángulos para dar una estimación previa: ¿entre qué dos valores enteros tiene que situarse el resultado de la integral? b) Aplica la regla de Barrow para calcular el valor exacto de la integral definida. c) Comprueba que el valor exacto obtenido cumple la cota estimada y calcula qué porcentaje del área del rectángulo mayor representa el valor exacto acumulado bajo la curva.

Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$. Ten en cuenta la posición de la curva respecto al eje en el intervalo dado para realizar el cálculo correctamente.

Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - x$ y el eje $OX$. Nota que la función cambia de signo en el intervalo natural definido por sus raíces, por lo que deberás identificar dichas raíces para plantear las integrales necesarias.

Una empresa de logística ha modelizado el flujo de entrada de paquetes a su almacén central mediante la función $f(x) = |x^2 - 4x|$, donde $x$ representa las horas transcurridas desde la apertura ($x=0$) hasta el cierre ($x=5$).

1. a) Expresa la función $f(x)$ como una función definida a trozos.

1. b) Calcula el volumen total de paquetes recibidos durante las 5 horas, sabiendo que este valor coincide con la integral definida de $f(x)$ en el intervalo $[0, 5]$.

1. c) Representa gráficamente la función $f(x)$ en el intervalo $[0, 5]$ y sombrea el área asociada al cálculo del apartado b).

Debido a la sequía de verano en una cuenca hidrográfica del sur de Honduras, el ritmo de variación del volumen de agua embalsada en una represa (medido en hectómetros cúbicos por semana, $\text{hm}^3\text{/semana}$) a lo largo de las 6 semanas centrales del verano ($t \in [0, 6]$) responde al modelo: $$v(t) = 0.3t^2 - 1.8t$$ a) Justifica analíticamente, estudiando el signo de $v(t)$ en el intervalo $(0, 6)$ sin calcular ninguna integral, por qué el embalse pierde agua de manera ininterrumpida durante esas seis semanas. b) Aplica la regla de Barrow para calcular $\int_0^6 v(t)\,dt$ e interpreta tanto el signo algebraico como el valor numérico obtenido en relación con el agua embalsada. c) Si al inicio del periodo ($t=0$) el embalse contaba con $45\text{ hm}^3$, determine el volumen de agua restante al final de la sexta semana y averigüe en qué semana concreta el ritmo de pérdida fue más severo.

Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 4x$ y $g(x) = x$. Para ello, determina primero los puntos de intersección de ambas curvas y esboza el recinto para identificar cuál de las funciones queda por encima en el intervalo de integración.

Considera las funciones $f(x) = x^3 - 3x$ y $g(x) = x$. En la figura se muestran sus gráficas.

1. a) Halla todos los puntos de corte entre ambas funciones.

1. b) Calcula el área total de los recintos finitos limitados por las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$. Ten en cuenta que las funciones pueden cambiar su posición relativa (cuál está por encima) en los diferentes intervalos encontrados.

Calcula el área del recinto sombreado de la figura, que representa el logotipo de una nueva marca de moda. El logotipo está delimitado por la función $f(x) = \sqrt{x+4}$, el eje de ordenadas $OY$ y la recta $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Nota: Debes encontrar primero el punto de intersección de ambas funciones en el primer cuadrante para establecer los límites de integración correctamente.

Determina el valor del parámetro positivo $k$ para que el área encerrada por la función $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre las rectas $x = 0$ y $x = 3$ sea exactamente de $18$ unidades cuadradas.

Sea la función $f(x) = \frac{k}{x^2}$ definida para $x > 0$. Se sabe que el área del recinto limitado por la gráfica de esta función, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 1$ y $x = k$ (con $k > 1$) es igual a $0.75$ unidades cuadradas.

1. a) Calcula razonadamente el valor del parámetro positivo $k$.
2. b) Para el valor de $k$ hallado, determina la ecuación de la recta tangente a la curva en $x = 2$.

Sea la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sabe que tiene un extremo relativo en el punto $P(1, -4)$ y que la integral definida de la función en el intervalo $[0, 3]$ es igual a $0$.

1. a) Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.
2. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje de abscisas $OX$.

Se desea diseñar el perfil de una rampa para un skatepark. El borde superior sigue la curva $f(x) = e^{x/2}$ y el borde inferior está delimitado por la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x = 0$. El recinto se cierra con la recta vertical $x = 2$.

1. a) Halla la ecuación de la recta tangente mencionada.
2. b) Calcula el área de la sección transversal de la rampa (el recinto limitado por la curva, la tangente y la recta vertical).

El departamento de fidelización de una compañía de telecomunicaciones en España analiza el ritmo de bajas de contratos tras una modificación de tarifas. El ritmo al que se producen las cancelaciones (en cientos de clientes por mes) se modela mediante la función $f(t) = 6 - 0.5t$, donde $t \ge 0$ indica el tiempo transcurrido en meses. Se sabe que, transcurridos $k$ meses desde el inicio ($t=0$), el volumen acumulado de bajas alcanzó un total de $3200$ clientes (es decir, $32$ cientos de clientes). a) Plantee la ecuación que relaciona la integral definida $\int_0^k (6 - 0.5t)\,dt$ con el total acumulado y calcule la expresión integrada en función del límite superior $k$ aplicando la regla de Barrow. b) Resuelva la ecuación algebraica de segundo grado resultante para encontrar los dos posibles valores matemáticos de $k$. c) Razone cuál de los dos valores debe descartarse atendiendo al significado económico del problema y al dominio en el que el ritmo de bajas tiene sentido físico ($f(t) \ge 0$).