Ejercicios: Aplicación al cálculo de límite. Regla de l'Hôpital

Calcula el siguiente límite utilizando la Regla de l'Hôpital, comprobando primero que se verifica la indeterminación necesaria:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 5x + 2}{x^2 - 4}$$

En el estudio de la propagación de una señal electromagnética, aparece la siguiente expresión para calcular la intensidad en un punto crítico. Halla el valor del límite cuando el tiempo $t$ tiende a $0$:

$$\lim_{t \to 0} \frac{e^{3t} - 1}{\sin(2t)}$$

Determina el valor del siguiente límite de una función logarítmica. Recuerda derivar correctamente el numerador y el denominador de forma independiente:

$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 + 2x - 3}$$

Calcula el límite de la siguiente función racional en el infinito. Aunque podrías resolverlo por comparación de grados, utiliza la Regla de l'Hôpital para demostrar el resultado:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 7}$$

Halla el valor del parámetro $k$ para que el siguiente límite sea igual a $4$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 4$$

Se sabe que la concentración de un reactivo químico en una mezcla sigue la función $C(t)$. Calcula la concentración límite cuando el tiempo $t$ se acerca a $0$ por la derecha:

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \cos(t)}{t^2}$$

Dadas las funciones $f(x) = e^x - x - 1$ y $g(x) = x^2$, calcula razonadamente el límite del cociente de ambas cuando $x$ tiende a $0$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Nota: Es posible que necesites aplicar la Regla de l'Hôpital más de una vez.

Observa la siguiente gráfica que representa dos funciones $f(x)$ (en blanco) y $g(x)$ (en gris oscuro) que se anulan en el punto $x = a$. Sabiendo que $f'(a) = 6$ y $g'(a) = 2$, calcula el valor del límite:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Mateo está calculando el siguiente límite en un examen de Matemáticas II:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2 + 2x}$$

En su hoja escribe los siguientes pasos:

1) «Al sustituir $x = 0$, obtenemos $\frac{e^0 - 0 - 1}{0^2 + 0} = \frac{0}{0}$. Como es una indeterminación, aplico la regla de l'Hôpital derivando numerador y denominador: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x + 2}$».

2) «Como en el denominador todavía queda la variable $x$, vuelvo a aplicar la regla de l'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$».

Identifica el error conceptual que ha cometido Mateo en el paso 2, explica detalladamente por qué no es lícito aplicar la regla en ese punto y calcula el valor correcto del límite justificando cada paso.

Considera el límite:

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{2x}$$

1. a) Antes de calcularlo formalmente, estima su valor numérico: sabiendo que $e^{0.03} \approx 1.03045$ y que $e^{-0.03} \approx 0.97045$, evalúa el cociente en $x = 0.01$ y en $x = -0.01$. A partir de estas aproximaciones, conjetura qué número decimal exacto representa $L$.
2. b) Comprueba tu conjetura resolviendo el límite mediante la regla de l'Hôpital, verificando de forma explícita que se cumplen las hipótesis necesarias para su aplicación.
3. c) Compara el valor teórico obtenido con tus estimaciones numéricas y explica por qué la media de los valores evaluados a izquierda y derecha se aproxima tanto al límite exacto.

En el estudio de la propagación de una señal wifi en un entorno con interferencias, se ha modelado la pérdida de intensidad mediante la siguiente función de la distancia $x$ (en metros):

$$f(x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x} - 4x}{x - \sin(x)}$$

Calcula el límite de esta función cuando la distancia $x$ tiende a $0$, es decir, $\lim_{x \to 0} f(x)$, para determinar el comportamiento de la señal en el punto de emisión.

Calcula el valor del siguiente límite transformando previamente la indeterminación de tipo $\infty - \infty$ en un cociente para poder aplicar la Regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)$$

Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la respuesta de un filtro de audio. La ganancia del filtro en función de la frecuencia $x$ viene dada por la expresión:

$$G(x) = \frac{a \times \cos(x) + b \times e^x - 2}{x^2}$$

Sabiendo que el límite de la ganancia cuando la frecuencia tiende a cero es igual a $-1$, es decir, $\lim_{x \to 0} G(x) = -1$, calcula razonadamente los valores de los parámetros $a$ y $b$.

Determina el valor del siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$. Para resolverlo, utiliza las propiedades de los logaritmos y la Regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$$

Calcula el límite de la siguiente función cuando $x$ tiende a $\frac{\pi}{2}$. Ten en cuenta que deberás realizar una transformación previa para convertir la indeterminación $0 \times \infty$ en una forma apta para l'Hôpital:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin(x) - 1 \right) \times \tan(x)$$

En una red social, el número de "shares" de un video viral durante los primeros segundos se ha modelado mediante la función $S(t) = (1+2t)^{1/t}$, donde $t$ es el tiempo en segundos.

¿A qué valor tiende el número de compartidos en el instante inicial? Calcule para ello:

$$\lim_{t \to 0} (1+2t)^{\frac{1}{t}}$$

Se desea estudiar la convergencia de un algoritmo de inteligencia artificial. La tasa de error en función del número de iteraciones $x$ se define como:

$$E(x) = \frac{\ln(x^4 + 1)}{x}$$

Demuestra, utilizando la Regla de l'Hôpital, que cuando el número de iteraciones tiende a infinito ($x \to \infty$), la tasa de error tiende a $0$. ¿Qué nos dice esto sobre la eficiencia del algoritmo a largo plazo?

Dada la función dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{e^x - kx - 1}{x^2}$$

Calcula el valor de $k$ para que el límite $\lim_{x \to 0} f(x)$ sea un número real finito y determina dicho valor. Explica por qué es necesario que la expresión del numerador se anule en $x=0$ para poder aplicar la regla.

En un modelo matemático de difracción de luz a través de una rendija microscópica, aparece el siguiente límite:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2} $$

Aplica la regla de L'Hôpital sucesivamente para determinar su valor exacto.

Se desea calcular el siguiente límite en el infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{\sqrt{4x^2 + 3}}$$

1. a) Comprueba que presenta una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ e intenta resolverlo aplicando directamente la regla de l'Hôpital derivando numerador y denominador. ¿Qué ocurre al derivar sucesivamente? Explica por qué este método no permite resolver el límite.
2. b) Propón y desarrolla un método algebraico alternativo que permita calcular el límite de forma inmediata y rigurosa.
3. c) A partir de los resultados anteriores, establece un criterio general para decidir cuándo conviene priorizar la simplificación algebraica frente al uso mecánico de la regla de l'Hôpital ante cocientes con radicales en el infinito.

En el mercado eléctrico español (OMIE), durante un episodio de fuerte irrupción de energía eólica, el precio marginal de casación $P(t)$ (en lempiras/MWh) en función del tiempo $t$ transcurrido desde el inicio de la inyección eólica (en horas, para $t > 0$) viene modelizado por la expresión:

$$P(t) = 45 + \frac{30 \times (\sin(2t) - 2t)}{t^3}$$

1. a) Analice a qué indeterminación conduce el cálculo del precio instantáneo en el momento de acoplamiento inicial, es decir, al calcular $\lim_{t \to 0^+} P(t)$.
2. b) Aplique de forma justificada la regla de l'Hôpital tantas veces como sea necesario para calcular dicho límite, comprobando las condiciones requeridas en cada una de las derivadas intermedias.
3. c) Interprete el resultado obtenido en el contexto del sistema eléctrico: ¿el precio colapsa a cero, tiende a infinito o se estabiliza en un valor umbral positivo al inicio del episodio? Determine dicho precio límite en lempiras/MWh.

En el diseño de una nueva montaña rusa, la curvatura de un tramo inicial viene determinada por la existencia del límite de una función de transición. Para que el diseño sea viable, se requiere que el siguiente límite sea un número real finito:

$$\lim_{x \to 0} \frac{a \times \cos(x) + b \times e^x - 3 + x}{x^2}$$

Calcula razonadamente los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que dicho límite exista y sea finito. Una vez obtenidos, calcula el valor de dicho límite.

En un laboratorio de biotecnología, el crecimiento de una población de bacterias en un entorno controlado sigue una ley cuya tasa de acumulación acumulada se expresa mediante una integral. Se desea estudiar el comportamiento de la densidad poblacional en el instante inicial mediante el cálculo del siguiente límite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \ln(1 + t^2) \, dt}{x^3}$$

Utiliza la Regla de l'Hôpital y el Teorema Fundamental del Cálculo para determinar el valor de este límite.

Determina, si existen, los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(ax^2)}{x^2} & \text{si } x < 0 \\ b + 2 & \text{si } x = 0 \\ \dfrac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Para resolver el límite por la derecha, será necesario aplicar la Regla de l'Hôpital de forma reiterada. Justifica cada paso del proceso.

Calcula el valor del siguiente límite, que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$. Asegúrate de transformar la expresión adecuadamente antes de aplicar la Regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$$

Un ingeniero de telecomunicaciones analiza la pérdida de potencia de una señal en una fibra óptica. La potencia relativa $P$ respecto a la distancia $d$ se modela mediante una función que requiere resolver la siguiente indeterminación cuando la señal se aproxima a un nodo crítico ($d \to 1$):

$$\lim_{d \to 1} \left( \frac{d}{\ln(d)} - \frac{1}{d-1} \right)$$

Calcula el valor del límite indicando el tipo de indeterminación inicial y las transformaciones algebraicas realizadas para aplicar l'Hôpital.

Se considera la función $g(x) = x^2 \times e^{-1/x^2}$ para $x \neq 0$.

1. Estudia si es posible asignar un valor a $g(0)$ para que la función sea continua en $x = 0$.

2. Utilizando la definición de derivada mediante un límite y aplicando la Regla de l'Hôpital, demuestra si la función es derivable en $x = 0$.

Nota: Ten especial cuidado con el cambio de variable necesario para resolver el límite en el infinito si fuera preciso.

Calcula el valor del límite de la siguiente función cuando $x$ tiende a cero por la derecha ($x \to 0^+$). Identifica el tipo de indeterminación y utiliza la relación entre potencias y exponenciales ($u^v = e^{v \times \ln(u)}$):

$$\lim_{x \to 0^+} (\tan(x))^x$$

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$, se sabe que presenta una discontinuidad evitable en $x = 1$.

1. Calcula el valor de la constante $k$.

2. Para dicho valor de $k$, calcula el valor que debería tomar la función en $f(1)$ para que fuese continua en ese punto, resolviendo el límite:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$$

1. ¿Existe alguna asíntota oblicua para esta función? Justifica tu respuesta utilizando límites.

Se sabe que la concentración de un reactivo químico en un proceso catalítico límite sigue una dinámica tal que:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax) - bx}{x^3} = -\frac{4}{3} $$

Aplica la regla de L'Hôpital de forma reiterada para determinar los valores numéricos exactos de los parámetros reales $a$ y $b$.

El factor de depreciación de un activo financiero a largo plazo se modeliza evaluando el siguiente límite:

$$ L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3x}{x^2 - x} \right)^x $$

Transforma esta indeterminación del tipo $1^\infty$ utilizando logaritmos y aplica la regla de L'Hôpital para calcular el valor exacto del factor de depreciación $L$.

Un equipo de ingeniería diseña el perfil de frenado suave de un tren de alta velocidad en la red ferroviaria hondureña. Dicho comportamiento exige determinar una familia de funciones que satisfaga la condición de curvatura:

$$\lim_{x \to 0} \frac{a \times x + b \times x^2 + c \times x^3 + d \times \sin(x) - \sin(2x)}{x^3} = 4$$

donde $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ son parámetros de diseño.

1. a) Demuestre, aplicando reiteradamente la regla de l'Hôpital y justificando la anulación de los numeradores en cada paso, las ecuaciones lineales que deben satisfacer los parámetros para que el límite exista y valga exactamente $4$.
2. b) Razone si existe una única función con estas propiedades o si la solución presenta grados de libertad. Determine la solución general del sistema de parámetros y escriba la expresión analítica concreta de dos funciones distintas que cumplan la condición requerida.
3. c) Si se impone la restricción física adicional de que el coeficiente lineal de la respuesta propia se anule ($a = 0$), calcule los valores numéricos únicos de $b$, $c$ y $d$.

Se considera la función $f(x) = (a + b \times \cos x)^{1/x^2}$, definida en un entorno perforado del origen ($x \ne 0$), con $a, b \in \mathbb{R}$.

1. a) Demuestra razonadamente que, para que el límite $L = \lim_{x \to 0} f(x)$ sea un número real estrictamente positivo y finito distinto de $1$, es condición necesaria que $a + b = 1$. Justifica detalladamente qué ocurriría con dicho límite si $a + b > 1$ o si $0 < a + b < 1$.
2. b) Asumiendo que $a + b = 1$, transforma la indeterminación de tipo $1^\infty$ mediante logaritmos neperianos y aplica la regla de l'Hôpital para deducir una expresión del valor del límite en función exclusiva del parámetro $a$.
3. c) Determina los valores exactos de $a$ y $b$ para que el límite valga exactamente $\frac{1}{\sqrt{e}}$. A continuación, investiga si es posible hallar valores de $a$ y $b$ para que el límite sea $e^2$, verificando si en ese caso la función base $a + b \times \cos x$ permanece estrictamente positiva en un entorno de $x = 0$.

Reto del tema. ¿Cómo evoluciona la demanda eléctrica en nuestro país y qué riesgo existe de sobrecarga en la red? Conviértase en analista energético por un día.

1. Datos y ajuste: Entre al portal de la Empresa Nacional de Energía Eléctrica (ENEE), descargue los datos horarios de demanda nacional de una jornada ($24\text{ h}$) e impórtelos en GeoGebra o en una hoja de cálculo para ajustar una función polinómica derivable $D(t)$.

2. Derivación y variación: Calcule la tasa de variación media en el tramo de mayor consumo matinal. Aplique las reglas de derivación usuales para obtener analíticamente la función derivada $D'(t)$, identificando la tasa instantánea y los instantes de consumo extremo ($D'(t) = 0$).

3. L'Hôpital y probabilidad: Evalúe la sensibilidad límite del sistema ante variaciones cuadráticas del tiempo resolviendo $\lim_{t \to t_0} \frac{D(t) - D(t_0)}{t^2 - t_0^2}$ (con $t_0 \neq 0$) mediante la regla de l'Hôpital. Además, usando la tabla de frecuencias de las $24\text{ h}$ y las propiedades de la probabilidad (evento contrario y unión de eventos compatibles), estime la probabilidad de que una hora elegida al azar presente alta demanda (superior a la media diaria) o aceleración de consumo ($D''(t) > 0$).

4. Informe: Elabore un informe de una página que recoja gráficas, deducciones analíticas y conclusiones sobre la estabilidad del sistema.

Se valorará:

• Rigor en el cálculo analítico de derivadas y la aplicación de la regla de l'Hôpital.

• Precisión en el ajuste de datos reales mediante GeoGebra y cálculo de tasas de variación.

• Uso correcto de las propiedades de la probabilidad y coherencia en las conclusiones del informe.