Geometría y Trigonometría · Trigonometría de ángulos cualesquiera
Ángulos orientados y circunferencia goniométrica
En la feria patronal, una noria da vueltas y vueltas: una cabina puede girar $750^\circ$ sin parar. Hasta ahora el seno, el coseno y la tangente solo los usabas con ángulos agudos, los que caben en un triángulo rectángulo. ¿Cómo sabemos a qué altura está la cabina después de girar $750^\circ$? Hace falta una definición que sirva para cualquier ángulo, grande, pequeño o negativo. Esa es la circunferencia goniométrica.
Ángulos de más de una vuelta y ángulos negativos
Un ángulo no tiene por qué quedarse entre $0^\circ$ y $360^\circ$. Si algo sigue girando, el ángulo recorrido puede ser $750^\circ$ o $2{,}000^\circ$: cada $360^\circ$ es una vuelta completa. Por convenio, los ángulos se miden desde el semieje positivo de $X$. Son positivos si el giro es antihorario y negativos si es horario.
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Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:…
Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:
Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:…
Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:
Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$. ¿Cuántas…
Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$.
¿Cuántas vueltas completas ha dado la cabina?
¿Qué ángulo menor de $360º$ describe su posición final respecto a la de partida?
Si el giro hubiera sido de $1500º$, ¿dónde acabaría la cabina?
La circunferencia goniométrica: seno y coseno como coordenadas
Dibuja una circunferencia de radio $1$ con centro en el origen del plano cartesiano. Para cualquier ángulo $\alpha$ medido desde el semieje positivo de $X$, su lado terminal corta la circunferencia en un único punto $P$. La idea clave es esta: el coseno de $\alpha$ es la abscisa de $P$ y el seno de $\alpha$ es su ordenada.
Para un ángulo agudo, esta definición coincide con la del triángulo rectángulo. La hipotenusa mide $1$, así que cateto opuesto entre hipotenusa es directamente la ordenada de $P$.
Practica★☆☆Sin empezar
En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra…
En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra en la figura.
A la vista de la figura, calcula razonadamente el valor de:
En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes. A la vista de la figura,…
En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes.
A la vista de la figura, indica el signo de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$, justificando cada respuesta a partir de las coordenadas del punto $P$.
Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, numerados en sentido antihorario desde el semieje positivo de $X$. El cuadrante donde cae el lado terminal te dice, sin calcular nada, si $\operatorname{sen}\alpha$ y $\cos\alpha$ son positivos o negativos. Basta mirar el signo de la ordenada y de la abscisa en esa zona.
Practica★☆☆Sin empezar
Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos: $\alpha = 95º$ $\beta = 262º$ $\gamma = 310º$ $\delta = -80º$ $\varepsilon = 500º$
Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos:
Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo: $\sin 130º$…
Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo:
Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que: $\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$ $\cos \beta > 0$ y…
Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que:
$\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$
$\cos \beta > 0$ y $\sin \beta < 0$
$\cos \gamma < 0$ y $\tan \gamma < 0$
Indica también el signo de la razón trigonométrica que falta en cada caso.
¿Cómo calcular $\operatorname{sen}135^\circ$ sin calculadora? Con el triángulo de referencia: el triángulo rectángulo que forman el lado terminal, la proyección del punto $P$ sobre el eje $X$ y el propio eje $X$. Su ángulo agudo es el ángulo de referencia. Sus razones coinciden con las del ángulo original, salvo por el signo.
Practica★★☆Sin empezar
En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia. Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$…
En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia.
Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcula el valor exacto de $\sin 135º$ y de $\cos 135º$, atendiendo al cuadrante en el que está el punto $P$.
Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a…
Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a partir del este (semieje $X$ positivo).
Expresa el rumbo del velero como un ángulo matemático $\alpha$ entre $0º$ y $360º$.
Indica en qué cuadrante navega el velero y el signo de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.
Considera el ángulo $\alpha = 215º$. Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal. Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$. Escribe…
Considera el ángulo $\alpha = 215º$.
Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal.
Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$.
Escribe $\alpha$ como $180º$ más un ángulo agudo, y también como un ángulo negativo comprendido entre $-360º$ y $0º$.
Si dos puntos de la circunferencia están a la misma altura, tienen la misma ordenada y, por tanto, el mismo seno. Esos puntos son simétricos respecto al eje $Y$.
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Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución: > «$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0.64$» Encuentra el error que ha cometido, explica por…
Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución:
Encuentra el error que ha cometido, explica por qué es un error y calcula correctamente el valor de $\cos 130º$ con la calculadora, con cuatro cifras decimales.
En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura. ¿Qué relación…
En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura.
¿Qué relación guardan entre sí los ángulos $\alpha$ y $\beta$? Exprésala con una igualdad.
Si $\sin \alpha = 0.42$ y $\alpha \approx 25º$, halla otro ángulo de $[0º, 360º)$ que tenga el mismo seno.
¿Qué relación guardan dos ángulos de $[0º, 360º)$ que tienen el mismo coseno? Razona tu respuesta con la circunferencia goniométrica.
El punto $P(\cos\alpha, \operatorname{sen}\alpha)$ está sobre una circunferencia de radio $1$. Por el teorema de Pitágoras, la distancia de $P$ al origen cumple $x^2 + y^2 = 1$.
Practica★★★Sin empezar
El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0.8$. ¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y…
El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0.8$.
¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y el de $\tan \alpha$?
Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ utilizando la identidad fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Calcula $\tan \alpha$.
Sea $\beta = \alpha - 180º$. Indica en qué cuadrante está $\beta$ y calcula sus tres razones trigonométricas.
La tangente se define como $\tan\alpha = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}$. Como toda división, falla si el denominador es $0$. Cuando $\cos\alpha = 0$, la tangente no existe. Eso pasa en $90^\circ$ y en $270^\circ$, donde el lado terminal cae sobre el eje $Y$.
Practica★★☆Sin empezar
Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta: Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1.4$. Si $\sin \alpha > 0$,…
Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta:
Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1.4$.
Si $\sin \alpha > 0$, entonces $\alpha$ pertenece al primer cuadrante.
A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$,…
A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$, justificando la respuesta.
Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que $\tan \alpha = 0$.
Escribe, usando un número entero $k$ cualquiera, la expresión general de todos los ángulos para los que la tangente no existe.
Vuelve al principio: el giro de $750^\circ$ de la noria equivale a $2$ vueltas completas más $30^\circ$, porque $750^\circ = 2 \times 360^\circ + 30^\circ$. Por eso la altura de la cabina respecto al centro es $\operatorname{sen}750^\circ = \operatorname{sen}30^\circ = 0.5$ veces el radio.
Resumen
¡A practicar! 6 ejercicios de nivel medio en este apartado