Sofía quiere saber qué tan alta es la torre de la iglesia de Chichicastenango, pero no puede subir con una cinta métrica. Sí puede medir su propia sombra y la de la torre, o mirar la punta de la torre reflejada en un espejo. En todos los casos aparecen dos triángulos con la misma forma, y con eso se calcula la altura. Al final de la página verás cómo.
Los criterios de semejanza
Comprobar los tres ángulos y los tres lados es mucho trabajo. En los triángulos basta una de estas tres condiciones:
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Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y…
Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y otro de $75^\circ$. Determina si ambos triángulos son semejantes justificando tu respuesta en base a los criterios de semejanza.
Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide…
Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide $15\text{ cm}$, calcula la longitud de los otros dos lados del segundo triángulo.
Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y…
Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. En caso afirmativo, indica cuál es el criterio utilizado y la razón de semejanza.
Si una recta corta dos lados de un triángulo y es paralela al tercero, aparecen dos triángulos semejantes por AA. Comparten el ángulo del vértice, y los otros dos ángulos son iguales por ser correspondientes entre paralelas.
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En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que…
En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ y $DE = 5\text{ cm}$, aplica el teorema de Tales en el triángulo para calcular la longitud de la base $BC$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y…
En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y $EC = 3\text{ cm}$. Aplica el teorema de Tales para plantear una ecuación y calcular el valor numérico de $x$.
Sofía y la torre de la iglesia tienen su solución en un espejo en el suelo. Con las sombras, con un espejo o con visuales que se cruzan al otro lado de un río, siempre salen dos triángulos semejantes por AA.
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Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1.5\text{ m}$ desde el…
Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1.5\text{ m}$ desde el espejo, el estudiante (cuyos ojos están a $1.6\text{ m}$ del suelo) puede ver exactamente la parte más alta del edificio reflejada en él. Sabiendo que los ángulos de incidencia y reflexión en el espejo forman triángulos rectángulos semejantes, calcula la altura del edificio.
Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina…
Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina $15\text{ m}$ por la orilla hasta un punto $C$ y clava un jalón. Luego camina $3\text{ m}$ más hasta el punto $D$, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta un punto $E$, desde el cual ve alineados el jalón $C$ y el árbol $B$. Calcula la anchura $x$ del río.
Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la…
Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la cámara. Si la imagen invertida del edificio que se proyecta en el fondo de la cámara tiene una altura de $12\text{ cm}$, ¿cuál es la altura real del edificio?
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa lo parte en dos triángulos rectángulos. Cada uno es semejante al triángulo original y entre sí, porque comparten un ángulo agudo (AA).
Sea $a = m + n$ la hipotenusa. De la semejanza salen dos reglas:
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En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la longitud de dicha altura $h$.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3.6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para…
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3.6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para hallar la longitud de dicho cateto.
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4.5\text{ cm}$. Aplica…
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4.5\text{ cm}$. Aplica los teoremas de la semejanza en triángulos rectángulos para calcular el perímetro y el área del triángulo completo.
La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de…
La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de los segmentos mide $7.2\text{ cm}$, halla el área total del rectángulo aplicando los teoremas del cateto y de la altura.
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la…
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la altura mide $6\text{ cm}$, determina analíticamente la longitud de los dos segmentos y calcula el perímetro exacto del triángulo original.
En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de…
En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de la esfera y la generatriz del cono para aplicar los teoremas de semejanza. Calcula el radio de la base del cono y su altura.
Si multiplicas todas las longitudes de una figura por $k$, el perímetro se multiplica por $k$ y el área por $k^2$, porque el área depende de dos longitudes (base y altura).
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La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2.5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?
La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2.5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?
Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de…
Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de $18\text{ m}$. Si el área de la vela pequeña es de $6\text{ m}^2$, ¿cuál es el área de la vela grande?
Si cortas una pirámide o un cono con un plano paralelo a la base, la parte de arriba es una pirámide o un cono semejante al completo. La razón es la de las alturas medidas desde el vértice: $k = \dfrac{h_{\text{pequeña}}}{h_{\text{grande}}}$.
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Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a…
Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a $3\text{ cm}$ del vértice. Calcula el área de la sección obtenida y el volumen de la pirámide deficiente (la pequeña pirámide superior).
Un depósito de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si…
Un depósito de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si el depósito contiene agua hasta una altura de $2\text{ m}$, utiliza la relación entre los volúmenes de cuerpos semejantes para calcular el volumen de agua que contiene y el volumen vacío restante.
A veces los triángulos no están dibujados. Hay que buscarlos dentro de un cuadrado inscrito, de un trapecio o de dos postes con cables cruzados. Guía de trabajo: marca ángulos rectos y paralelas, busca los dos triángulos con AA y plantea la proporción.
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En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con…
En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo, y el vértice opuesto descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor exacto del lado del cuadrado $x$.
Se tiene un trapecio isósceles cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se…
Se tiene un trapecio isósceles cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se cortan en un punto, formando un triángulo en la parte superior. Calcula la altura $x$ de dicho triángulo superior y el área total del gran triángulo formado.
Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable…
Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable recto desde la parte superior de cada poste hasta la base del otro. Calcula a qué altura $h$ del suelo se cruzan ambos cables. Demuestra si este resultado depende o no de la distancia que separa los postes.
Vuelve al principio: Sofía mide su sombra y la de la torre, o usa el espejo. Al formar dos triángulos con AA, la altura es la de Sofía multiplicada por la razón $k$ entre las distancias. No necesitó subir.
Resumen
¡A practicar! 7 ejercicios de nivel medio en este apartado