Expresiones algebraicas
Tres amigos de Xela comparten una suscripción de música que cuesta $x$ quetzales por mes. Cada uno paga $\dfrac{x}{3}$. No sabes cuánto vale $x$, pero ya sabes la cuenta que hay que hacer. Eso es el álgebra: escribir la cuenta con letras para que sirva para cualquier valor.
Letras, términos y monomios
Un monomio es un solo término: un número multiplicado por letras con exponentes. Tiene tres elementos:
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el coeficiente: el número que multiplica (si no se ve, es $1$);
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la parte literal: las letras con sus exponentes;
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el grado: la suma de los exponentes de las letras.
Por ejemplo, en $-6x^{2}y$ el coeficiente es $-6$, la parte literal es $x^{2}y$ y el grado es $2 + 1 = 3$.
Identifica los elementos de los siguientes monomios completando la información de cada uno: a) $7x^{2}$ b) $-5ab^{3}$ c) $x^{4}y$ d) $\frac{3}{4}z^{2}$ Para cada uno,…
Identifica los elementos de los siguientes monomios completando la información de cada uno:
- a) $7x^{2}$
- b) $-5ab^{3}$
- c) $x^{4}y$
- d) $\frac{3}{4}z^{2}$
Para cada uno, indica: Coeficiente, Parte literal y Grado.
Traducir frases a expresiones
Cada palabra clave se convierte en una operación. Cuando la frase tiene varios pasos, traduce de adentro hacia afuera, como al seguir una receta.
| Lenguaje coloquial | Lenguaje algebraico |
|---|---|
| El doble de un número más 5 | $2x + 5$ |
| El doble de (un número más 5) | $2(x + 5)$ |
| La mitad de un número menos 3 | $\dfrac{x}{2} - 3$ |
| Un cupón de Q5 sobre un precio $x$ | $x - 5$ |
En una tienda de videojuegos en línea, el precio de una suscripción mensual es de $x$ quetzales. Traduce a lenguaje algebraico las siguientes situaciones: a) El costo de…
En una tienda de videojuegos en línea, el precio de una suscripción mensual es de $x$ quetzales. Traduce a lenguaje algebraico las siguientes situaciones:
- a) El costo de tres suscripciones mensuales.
- b) El precio de una suscripción después de aplicar un cupón de descuento de $40$ quetzales.
- c) Lo que paga un grupo de amigos por una suscripción mensual más un juego de $200$ quetzales.
- d) El doble del precio de una suscripción aumentado en $80$ quetzales.
En una tienda de cómics, el precio de una suscripción mensual es de $x$ quetzales. Por cada cómic adicional que compres, te cobran $y$ quetzales, pero si compras más de…
En una tienda de cómics, el precio de una suscripción mensual es de $x$ quetzales. Por cada cómic adicional que compres, te cobran $y$ quetzales, pero si compras más de cinco, te aplican un descuento de $24$ quetzales sobre el total. Escribe la expresión algebraica que represente el gasto mensual de un cliente que compró $7$ cómics adicionales.
Fórmulas de perímetros y áreas
Cuando la situación es una figura, usa letras para las medidas desconocidas y las fórmulas de siempre.
Si una pantalla rectangular tiene base $b$ y altura $b - 2$, su perímetro es la suma de los cuatro lados: $b + (b-2) + b + (b-2)$. Juntando los términos semejantes queda $4b - 4$.
Si el ancho de una cancha es la mitad del largo $y$, el ancho es $\dfrac{y}{2}$. El área es largo por ancho: $y \cdot \dfrac{y}{2} = \dfrac{1}{2}y^{2}$.
Estamos diseñando una nueva tablet cuya pantalla es rectangular. La base mide $x$ centímetros y la altura mide $5$ centímetros menos que la base. Escribe una expresión…
Estamos diseñando una nueva tablet cuya pantalla es rectangular. La base mide $x$ centímetros y la altura mide $5$ centímetros menos que la base. Escribe una expresión algebraica para el perímetro de la pantalla y simplifícala.
Un polideportivo municipal tiene una cancha de baloncesto de forma rectangular. Si el largo de la cancha es $y$ metros y su ancho es la mitad del largo, escribe el…
Un polideportivo municipal tiene una cancha de baloncesto de forma rectangular. Si el largo de la cancha es $y$ metros y su ancho es la mitad del largo, escribe el polinomio que representa el área de la cancha en función de $y$.
Calcula la expresión algebraica que representa el área de la siguiente figura geométrica en función de $x$. Simplifica el resultado sumando los términos semejantes.
Calcula la expresión algebraica que representa el área de la siguiente figura geométrica en función de $x$. Simplifica el resultado sumando los términos semejantes.
El valor numérico
Esto sirve también para averiguar un dato desconocido. Si $P(x) = x^3 - kx + 6$ y sabemos que $P(2) = 0$, sustituimos $x = 2$: $8 - 2k + 6 = 0$, o sea $14 - 2k = 0$. Entonces $2k = 14$ y $k = 7$.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican: a) $5x - 3$ para $x = 4$ b) $x^{2} + 2x + 1$ para $x = -2$ c)…
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican:
- a) $5x - 3$ para $x = 4$
- b) $x^{2} + 2x + 1$ para $x = -2$
- c) $2(a + b)$ para $a = 3$ y $b = 5$
- d) $\frac{10 - x}{2}$ para $x = 6$
Halla el valor numérico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ para los valores de las variables que se indican: a) $x = 2, y = -1$ b) $x = 0, y = 10$ c)…
Halla el valor numérico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ para los valores de las variables que se indican:
- a) $x = 2, y = -1$
- b) $x = 0, y = 10$
- c) $x = -2, y = -2$
Considera el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$. 1. Determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a…
Considera el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$.
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Determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$ es una raíz del polinomio).
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Una vez hallado $k$, calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.
Patrones: el término general
Cuando una figura crece siempre con la misma regla, puedes describir cualquier posición $n$ de una sola vez con una expresión: el término general $a_n$.
Con $n = 1$ hay $2$ puntos, con $n = 2$ hay $4$ y con $n = 3$ hay $6$. Cada posición suma $2$ más y no hay nada suelto: $a_n = 2n$.
A veces la diferencia con $n^2$ tampoco es constante, pero sí tiene una regla. Con $3, 8, 15, 24$: los cuadrados son $1, 4, 9, 16$ y las diferencias son $2, 4, 6, 8$, que es $2n$. Entonces $a_n = n^2 + 2n$.
Una vez que tienes el término general, puedes responder preguntas del tipo «¿se pasa de un límite?» con un valor numérico: sustituyes $n$ y comparas.
Hay también patrones que se multiplican: cada término es el anterior por un mismo número $r$, la razón. Es una sucesión geométrica. En una sucesión aritmética se suma siempre la misma diferencia $d$ y su término general es $a_n = a_1 + (n-1)d$. En la geométrica se multiplica por $r$ y el término general es $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$. Su gráfica no es una línea recta: los puntos suben cada vez más rápido.
Observa la siguiente serie de figuras hechas con puntos y determina la expresión algebraica del término general $a_{n}$ (donde $n$ es la posición de la figura). ¿Cuántos…
Observa la siguiente serie de figuras hechas con puntos y determina la expresión algebraica del término general $a_{n}$ (donde $n$ es la posición de la figura). ¿Cuántos puntos tendrá la figura que ocupe la posición $n=50$?
Un artista digital está creando un mosaico de píxeles que crece siguiendo un patrón determinado. En la etapa $n=1$ usa 3 píxeles, en la etapa $n=2$ usa 8 píxeles, en la…
Un artista digital está creando un mosaico de píxeles que crece siguiendo un patrón determinado. En la etapa $n=1$ usa 3 píxeles, en la etapa $n=2$ usa 8 píxeles, en la etapa $n=3$ usa 15 píxeles, y así sucesivamente.
Observa el patrón visual y realiza las siguientes tareas:
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Encuentra la expresión algebraica (término general) que determina el número de píxeles necesarios para cualquier etapa $n$.
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Si el lienzo digital tiene un límite de $1000$ píxeles, ¿podría el artista completar la etapa $n=30$? Justifica tu respuesta calculando el valor numérico.
Reducir y operar con monomios
Los términos semejantes tienen exactamente la misma parte literal. Se suman o restan sus coeficientes y la parte literal queda igual.
$$7a^{2} + 2a^{2} = 9a^{2} \qquad\qquad 4x + 3x^{2} \text{ no se puede reducir}$$¿Por qué funciona? Es la propiedad distributiva al revés: $7a^2 + 2a^2 = (7 + 2)a^2$. Es como sumar $7$ tamales y $2$ tamales.
Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales. Para dividir se dividen los coeficientes y se restan los exponentes:
$$3x \cdot 2x^2 = 6x^3 \qquad\qquad \frac{12x^4}{3x} = 4x^3$$Un ejercicio largo mezcla todo: por ejemplo, el costo de un viaje en scooter con un valor base $B$, Q1.20 por minuto $m$ y un 12 % de IVA sobre el total se escribe $1.12 \cdot (B + 1.2m)$. Se distribuye y se reduce como cualquier otra expresión.
Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes: a) $3x + 5x - 2x$ b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$ c) $4xy + 2x - xy + 3x$ d)…
Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes:
- a) $3x + 5x - 2x$
- b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$
- c) $4xy + 2x - xy + 3x$
- d) $10n - 5 - 3n + 8$
Reduce al máximo la siguiente expresión algebraica operando con monomios y eliminando los paréntesis: $3x \times (2x^2) - 4x^2 \times (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$
Reduce al máximo la siguiente expresión algebraica operando con monomios y eliminando los paréntesis:
$3x \times (2x^2) - 4x^2 \times (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$
Una empresa de renta de scooters eléctricos cobra una tarifa base de $B$ quetzales por desbloqueo y $1.20$ quetzales por cada minuto de uso ($m$). Además, si el usuario…
Una empresa de renta de scooters eléctricos cobra una tarifa base de $B$ quetzales por desbloqueo y $1.20$ quetzales por cada minuto de uso ($m$). Además, si el usuario recorre más de $5$ kilómetros, se aplica un recargo de seguridad de $S$ quetzales. A la suma de estos conceptos se le debe aplicar un $21\%$ de IVA.
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Escribe la expresión algebraica del costo total $C$ de un viaje si el usuario supera los $5$ km de distancia.
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Simplifica la expresión anterior realizando las operaciones posibles.
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Si la tarifa base es de $8$ quetzales y el recargo de seguridad es de $16$ quetzales, ¿cuánto pagará una persona que use el scooter durante $20$ minutos y recorra $6$ km?
Nombres de las expresiones
Una expresión de un solo término es un monomio; con dos términos se llama binomio y con tres, trinomio. El grado de la expresión es el mayor de los grados de sus términos: $4x^3 - 5x + 2$ es un trinomio de grado $3$.
Clasifica las siguientes expresiones algebraicas indicando si son monomios, binomios o trinomios. En el caso de los polinomios (binomios y trinomios), indica también…
Clasifica las siguientes expresiones algebraicas indicando si son monomios, binomios o trinomios. En el caso de los polinomios (binomios y trinomios), indica también cuál es su grado.
- a) $4x^{3} - 5x + 2$
- b) $-7ab^{2}$
- c) $x^{2} + 10$
- d) $3y^{4} - 2y^{2}$
Ampliación: operar con polinomios
Para sumar o restar polinomios se agrupan los términos semejantes. Para restar, se cambia el signo de todos los términos del polinomio que se resta.
Para multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva: cada término del primero por cada término del segundo, y después se reduce.
Un polinomio por un número también se distribuye: $2 \cdot A(x) + 3 \cdot B(x)$ significa multiplicar cada término de $A$ por $2$, cada término de $B$ por $3$ y solo entonces sumar.
El área de un rectángulo de lados $a$ y $b$ es $a \cdot b$, aunque $a$ y $b$ sean polinomios. Para figuras compuestas, suma las áreas de las partes o resta al área total la parte que sobra.
Dados los polinomios $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ y $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, realiza las siguientes operaciones y ordena el polinomio resultante de mayor a menor grado:…
Dados los polinomios $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ y $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, realiza las siguientes operaciones y ordena el polinomio resultante de mayor a menor grado:
- a) $A(x) + B(x)$
- b) $A(x) - B(x)$
- c) $2 \times A(x) + 3 \times B(x)$
Un dron de vigilancia recorre una parcela rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por los polinomios $L(x) = x^2 - 3x + 5$ para el largo y $A(x) = 2x + 1$ para el…
Un dron de vigilancia recorre una parcela rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por los polinomios $L(x) = x^2 - 3x + 5$ para el largo y $A(x) = 2x + 1$ para el ancho. Obtén el polinomio que representa el área total de la parcela.
El nuevo modelo de un smartphone tiene una pantalla rectangular de cristal de dimensiones $x$ de ancho y $x+4$ de largo. Alrededor de la pantalla hay un marco o "bezel"…
El nuevo modelo de un smartphone tiene una pantalla rectangular de cristal de dimensiones $x$ de ancho y $x+4$ de largo. Alrededor de la pantalla hay un marco o "bezel" protector que tiene un grosor uniforme de $2$ cm en todos sus lados.
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Halla el polinomio reducido que expresa el área total del frontal del teléfono (pantalla más marco).
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Halla el polinomio reducido que expresa únicamente el área del marco (la zona gris).
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Si el ancho de la pantalla $x$ es de $6$ cm, ¿cuál es el área del marco?
Ampliación: productos notables
Algunos productos aparecen tanto que conviene recordar el resultado.
El cuadrado de lado $a + b$ se parte en cuatro zonas: $a^2$, $b^2$ y dos rectángulos de $ab$. Por eso el término del medio es $2ab$, no cero.
Estos productos notables permiten simplificar expresiones largas. Por ejemplo, $(x + 4)(x - 4) + (x + 1)^2 = x^2 - 16 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 2x - 15$.
También permiten demostrar propiedades con letras. Para probar que la suma de tres números consecutivos es múltiplo de $3$, llamamos $n$, $n+1$ y $n+2$ a los números: $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$. Como queda $3$ por un entero, es múltiplo de $3$ para cualquier $n$.
Utiliza los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones sin realizar la multiplicación paso a paso: a) $(3x + 5)^2$ b) $(2a - 4b)^2$ c)…
Utiliza los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones sin realizar la multiplicación paso a paso:
- a) $(3x + 5)^2$
- b) $(2a - 4b)^2$
- c) $(x^2 + 3) \times (x^2 - 3)$
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando los productos notables para reducir términos: $$(3x - 5)^2 - (3x + 5)(3x - 5) - 10(3 - 3x)$$…
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando los productos notables para reducir términos:
$$(3x - 5)^2 - (3x + 5)(3x - 5) - 10(3 - 3x)$$Muestra el proceso paso a paso, indicando qué producto notable aplicaste en cada caso.
Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es siempre igual a la suma de dichos números. Instrucciones:* 1.…
Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es siempre igual a la suma de dichos números.
Instrucciones:
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Llama $n$ al primer número y $n+1$ al siguiente.
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Escribe la expresión de la diferencia de sus cuadrados: $(n+1)^2 - n^2$.
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Desarrolla y simplifica la expresión.
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Comprueba el resultado con los números $12$ y $13$.
Ampliación: factor común
Extraer factor común es el camino inverso de la propiedad distributiva: se escribe una suma como un producto.
$$6x^2 + 9x = 3x \cdot (2x + 3)$$Con factor común y productos notables se pueden simplificar fracciones, cancelando factores (no términos). Además, hay valores de $x$ que anulan el denominador y no están permitidos.
Para áreas con círculos, usa $\pi$ como un símbolo más. Por ejemplo, una chapa cuadrada de lado $2r$ con un agujero circular de radio $r$ tiene área $4r^2 - \pi r^2 = r^2(4 - \pi)$.
Extrae el máximo factor común posible en las siguientes expresiones algebraicas: a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$ b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$ c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$
Extrae el máximo factor común posible en las siguientes expresiones algebraicas:
- a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
- b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$
- c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$
Se desea diseñar una zona de juegos en un parque que consiste en un gran círculo de radio $R$. Dentro de este círculo, se instalará una zona de arena cuadrada cuyo lado…
Se desea diseñar una zona de juegos en un parque que consiste en un gran círculo de radio $R$. Dentro de este círculo, se instalará una zona de arena cuadrada cuyo lado mide exactamente el radio $R$ del círculo. El resto del círculo se cubrirá con césped artificial.
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Escribe la expresión algebraica reducida para el área de la zona de césped artificial en función de $R$. Utiliza $\pi$ como símbolo.
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Extrae factor común en la expresión obtenida.
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Si el radio $R$ es de $10$ metros, calcula el área de césped (usa $\pi \approx 3.14$).
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo primero factor común y utilizando productos notables en el numerador y el denominador: $$\frac{2x^3 - 8x}{x^2 + 4x…
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo primero factor común y utilizando productos notables en el numerador y el denominador:
$$\frac{2x^3 - 8x}{x^2 + 4x + 4}$$¿Para qué valor de $x$ no tendría sentido esta expresión? (Pista: el denominador no puede ser cero).
Vuelve al principio: si la suscripción de música cuesta $x = \text{Q}90$ por mes, cada uno de los tres amigos paga $\dfrac{90}{3} = \text{Q}30$.