Geometría y Trigonometría · Trigonometría de ángulos cualesquiera
Aplicaciones de la trigonometría
Te conviene dominar: Circunferencia y círculo (8.° grado de EGB (Educación General Básica, subnivel Superior))
Un avión sale de Quito rumbo al este y otro lo hace desde un punto de Canadá, a $60^\circ$ N, los dos con el mismo ángulo de diferencia en longitud. ¿Recorren la misma distancia? Para responderlo hay que mirar la Tierra (casi una esfera) con ojos de trigonometría: un triángulo rectángulo y el coseno alcanzan.
El radio de un paralelo: por qué aparece el coseno
Un paralelo es la circunferencia formada por todos los puntos de la Tierra que tienen la misma latitud (el ángulo medido respecto del plano del ecuador). El ecuador, a latitud $0^\circ$, tiene el mismo radio que la Tierra (y por él pasa la Mitad del Mundo, cerca de Quito); cualquier otro paralelo es más pequeño, porque la esfera "se estrecha" al acercarse a los polos.
Fíjate en el triángulo rectángulo que forman el centro de la Tierra, el punto $P$ y el pie de la perpendicular al plano del ecuador: la hipotenusa es $R$ (el radio terrestre) y el cateto adyacente al ángulo de latitud $\alpha$ mide lo mismo que $r$, el radio del paralelo que pasa por $P$.
Practica★★☆Sin empezar
Para un proyecto escolar, necesitas calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ km, calcula:…
Para un proyecto escolar, necesitas calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ km, calcula:
a) El radio del círculo que forma dicho paralelo (utiliza la expresión $r = R \cdot \cos(\text{latitud})$ y justifícala a partir del triángulo rectángulo de la figura).
b) La longitud total (perímetro) de dicho paralelo.
Una vez que conoces el radio $r$ del paralelo, su longitud (su perímetro) sale con la fórmula de siempre para una circunferencia: $2\pi r$. La diferencia con el ecuador es que acá el radio no es $R$, sino $r = R\cos\alpha$.
¡A practicar! 1 ejercicios de nivel medio en este apartado
Si dos ciudades están en el mismo paralelo pero a distinta longitud (el ángulo este-oeste), la distancia entre ellas siguiendo el paralelo es un arco de esa circunferencia más pequeña. Hace falta primero el radio del paralelo y después la longitud de arco con el ángulo que las separa.
Vuelta al principio: el avión que sale de Canadá, a $60^\circ$ N, recorre menos distancia que el que sale de Quito (casi en el ecuador) para el mismo ángulo de longitud, porque su paralelo es más pequeño: $r = R\cos 60^\circ = 0{,}5\,R < R$.
Practica★★★Sin empezar
Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una…
Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una longitud de $70^\circ \text{ E}$.
Sabiendo que el radio de la Tierra es de aproximadamente $6371 \text{ km}$:
Calcula el radio del paralelo $45^\circ \text{ N}$ (Recuerda que el radio de un paralelo a una latitud $\alpha$ se calcula como $r = R \cdot \cos \alpha$; para $45^\circ$ utiliza el valor exacto $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$).
Determina la distancia en kilómetros que separa ambas ciudades siguiendo el arco del paralelo.