Ecuaciones de primer grado
En una tienda del barrio, en Cuenca, en un platillo de la balanza hay 3 fundas iguales de arroz y 2 pesas de 1 libra; en el otro, 11 pesas de 1 libra. La balanza está equilibrada. ¿Cuánto pesa cada funda? Sin darte cuenta, acabas de plantear una ecuación: $3x + 2 = 11$. Resolverla es averiguar el peso de la funda sin desequilibrar la balanza. Resolverla también es averiguar qué valor hace verdadera la igualdad.
Qué es una ecuación
No confundas una ecuación con una identidad: $2(x + 1) = 2x + 2$ se cumple para cualquier $x$, así que es una identidad, no una ecuación. Y $3x + 2$ (sin $=$) es solo una expresión.
Comprobar una solución es fácil: sustituyes y miras si los dos miembros dan lo mismo. Para $x = 3$: $3 \times 3 + 2 = 11$ ✓. Para $x = 4$: $3 \times 4 + 2 = 14 \neq 11$ ✗.
En matemáticas, es fundamental distinguir entre una expresión algebraica y una ecuación. Observa la siguiente lista e identifica cuáles son ecuaciones de primer grado.…
En matemáticas, es fundamental distinguir entre una expresión algebraica y una ecuación. Observa la siguiente lista e identifica cuáles son ecuaciones de primer grado. Para las que lo sean, indica cuál es su primer miembro y cuál es su incógnita:
- a) $3x + 5$
- b) $2x - 8 = 10$
- c) $x^2 - 4 = 0$
- d) $5 + 3 = 8$
- e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$
Comprobar si un número es solución de una ecuación consiste en sustituir la incógnita y ver si la igualdad se cumple. Dado el siguiente conjunto de valores:…
Comprobar si un número es solución de una ecuación consiste en sustituir la incógnita y ver si la igualdad se cumple. Dado el siguiente conjunto de valores: $\{-2, 0, 3\}$, indica razonadamente cuál de ellos es la solución de la ecuación:
$5x - (x + 4) = 8$
Resolver: la balanza
La regla de oro: lo que hagas en un lado, hazlo también en el otro. Así la balanza sigue equilibrada y la igualdad sigue siendo cierta. Observa la balanza:
Esa idea es lo que en clase se llama transponer términos:
Resuelve las siguientes ecuaciones básicas utilizando la transposición de términos (lo que está sumando pasa restando y viceversa): a) $x + 15 = 42$ b) $x - 7 = -12$ c)…
Resuelve las siguientes ecuaciones básicas utilizando la transposición de términos (lo que está sumando pasa restando y viceversa):
- a) $x + 15 = 42$
- b) $x - 7 = -12$
- c) $10 - x = 4$
- d) $25 = x + 18$
Una balanza está en equilibrio. En el platillo de la izquierda hay $3$ cajas iguales (de peso $x$) y una pesa de $2$ kg. En el platillo de la derecha hay una pesa de…
Una balanza está en equilibrio. En el platillo de la izquierda hay $3$ cajas iguales (de peso $x$) y una pesa de $2$ kg. En el platillo de la derecha hay una pesa de $14$ kg.
Plantea la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja.
Paréntesis y denominadores
Las ecuaciones de verdad suelen venir "liadas". Hay un orden que siempre funciona:
Cuando hay fracciones dentro de fracciones, resuelve primero la interna.
Resuelve estas ecuaciones de primer grado eliminando primero los paréntesis. Recuerda aplicar la propiedad distributiva con cuidado: a) $3(x - 2) = 12$ b)…
Resuelve estas ecuaciones de primer grado eliminando primero los paréntesis. Recuerda aplicar la propiedad distributiva con cuidado:
- a) $3(x - 2) = 12$
- b) $2(x + 4) + 5 = 17$
- c) $10 - (x - 3) = 8$
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado asegurándote de simplificar todos los términos y prestar atención a los cambios de signo delante de las fracciones:…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado asegurándote de simplificar todos los términos y prestar atención a los cambios de signo delante de las fracciones:
$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado con coeficientes fraccionarios y términos anidados. Presta mucha atención a la gestión de los signos negativos delante de…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado con coeficientes fraccionarios y términos anidados. Presta mucha atención a la gestión de los signos negativos delante de las fracciones:
$$\frac{2(x-5)}{3} - \frac{3x - \frac{x+1}{2}}{5} = \frac{x-1}{6} - \frac{7}{10}$$¿Siempre hay una solución?
Casi siempre, pero no siempre. Al reducir puede pasar:
| Al final queda… | Ejemplo | Significa |
|---|---|---|
| $ax = b$ con $a \neq 0$ | $3x = 9$ | Una solución: $x = 3$ |
| $0x = b$ con $b \neq 0$ | $0x = 5$ | Ninguna solución (ningún número por 0 da 5) |
| $0x = 0$ | $0x = 0$ | Infinitas soluciones: era una identidad |
El dibujo adelanta una idea que verás en funciones: cada miembro es una recta, y la solución es donde se cruzan.
El signo igual tiene dos usos: en una identidad es una equivalencia (vale siempre) y en una ecuación es una igualdad condicionada (vale solo para ciertos valores). Por eso, al resolver, nunca se divide entre una expresión que pueda valer cero: perderías o inventarías soluciones.
Dada la ecuación con un coeficiente desconocido $k$: $$\frac{k \cdot x}{3} - 4 = \frac{x + 2}{2}$$ Calcula el valor que debe tener $k$ para que la solución de la…
Dada la ecuación con un coeficiente desconocido $k$:
$$\frac{k \cdot x}{3} - 4 = \frac{x + 2}{2}$$Calcula el valor que debe tener $k$ para que la solución de la ecuación sea $x = 6$. Una vez hallado $k$, comprueba que la igualdad se cumple sustituyendo ambos valores en la ecuación original.
Coeficientes irracionales
Los coeficientes no tienen que ser enteros ni fracciones: pueden ser números irracionales como $\sqrt{2}$ o $\sqrt{3}$. Las reglas son exactamente las mismas: $\sqrt{2}$ es un número más, que se trata como cualquier coeficiente.
Inecuaciones lineales
Una inecuación es como una ecuación, pero con $<$, $>$, $\le$ o $\ge$ en lugar de $=$. Su solución no es un número, sino muchos: un intervalo.
Se resuelve con las mismas transposiciones, con una sola regla nueva:
Con $\le$ o $\ge$ el extremo sí se incluye (círculo lleno y corchete: $(-\infty, -6]$).
Con coeficientes irracionales, igual: $\sqrt{2}\,x \le 4 \Rightarrow x \le \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$, es decir, $(-\infty, 2\sqrt{2}]$. Como $\sqrt{2} > 0$, el sentido no cambia.
Plantear problemas
Resolver ecuaciones es la mitad del trabajo; la otra mitad es traducir el problema. Sigue estos pasos:
-
Lee y decide qué es la incógnita ($x$ = lo que te preguntan).
-
Expresa las demás cantidades con $x$.
-
Busca la igualdad que dice el enunciado y escribe la ecuación.
-
Resuelve y comprueba con el texto, no solo con la ecuación.
| Lenguaje | Álgebra |
|---|---|
| el doble de un número | $2x$ |
| la mitad de un número | $\dfrac{x}{2}$ |
| 5 más que un número | $x + 5$ |
| el triple, menos 50 | $3x - 50$ |
Traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje algebraico es como aprender un nuevo idioma. Traduce y resuelve la siguiente situación: "Si al doble de un número le…
Traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje algebraico es como aprender un nuevo idioma. Traduce y resuelve la siguiente situación:
"Si al doble de un número le sumas su mitad, obtienes 25".
(Pista: llama $x$ al número desconocido).
En el desarrollo de videojuegos, a veces se usan ecuaciones para calcular puntuaciones. Un jugador tiene el triple de puntos que su amigo. Si al jugador le restamos $50$…
En el desarrollo de videojuegos, a veces se usan ecuaciones para calcular puntuaciones. Un jugador tiene el triple de puntos que su amigo. Si al jugador le restamos $50$ puntos, ahora tiene exactamente $250$ puntos.
Plantea una ecuación donde $x$ sea la puntuación del amigo y resuélvela para hallar cuántos puntos tiene cada uno.
En una tienda de tecnología, un ratón inalámbrico, un teclado y unos cascos cuestan en total $110$ dólares. Sabemos que el teclado cuesta el triple que el ratón, y que…
En una tienda de tecnología, un ratón inalámbrico, un teclado y unos cascos cuestan en total $110$ dólares. Sabemos que el teclado cuesta el triple que el ratón, y que los cascos cuestan $10$ dólares más que el teclado. Plantea una ecuación de primer grado y calcula el precio de cada artículo.
Números, cifras y figuras
Hay tres tipos de problema que se repiten.
Números consecutivos: si el primero es $x$, los siguientes enteros son $x+1$, $x+2$. Si son pares (o impares) consecutivos, van de 2 en 2: $x$, $x+2$, $x+4$.
Números de dos cifras: con decenas $d$ y unidades $u$, el número vale $10d + u$. Invertido, vale $10u + d$.
Figuras: usa la fórmula de perímetro o área con lados escritos en función de $x$.
Halla tres números enteros pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al tercero más $14$ unidades.
Halla tres números enteros pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al tercero más $14$ unidades.
Busca un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las unidades excede en $3$ unidades a la cifra de las decenas. Si a dicho número le sumamos el número que resulta…
Busca un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las unidades excede en $3$ unidades a la cifra de las decenas. Si a dicho número le sumamos el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, obtenemos como resultado $121$. Plantea una ecuación de primer grado con una sola incógnita para hallar el número original.
Un diseñador de videojuegos está configurando el área de colisión cuadrada de un personaje. Si aumenta uno de los lados en $4\text{ cm}$ y reduce el otro en…
Un diseñador de videojuegos está configurando el área de colisión cuadrada de un personaje. Si aumenta uno de los lados en $4\text{ cm}$ y reduce el otro en $2\text{ cm}$, el área del rectángulo resultante es $20\text{ cm}^2$ mayor que el área del cuadrado original. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado original?
Ayuda: Aunque aparezcan términos en $x^2$, observa cómo se simplifican al operar.
Mezclas, precios y porcentajes
En una mezcla, lo que se conserva es la cantidad total y la cantidad de "lo importante" (dinero, ácido, sal…). Si tomas $x$ litros de un tipo, del otro tomas $(\text{total} - x)$.
Descuentos: si un precio original es $x$ y tiene un 20 % de descuento, se paga $0{,}80x$ y el ahorro es $0{,}20x$. El porcentaje siempre se calcula sobre el precio original.
Un fabricante de jugos quiere crear una nueva mezcla "Tropical" combinando jugo de piña que cuesta $1,20$ dólares/litro con jugo de mango que cuesta $1,80$…
Un fabricante de jugos quiere crear una nueva mezcla "Tropical" combinando jugo de piña que cuesta $1,20$ dólares/litro con jugo de mango que cuesta $1,80$ dólares/litro. Si quiere obtener $60$ litros de mezcla a un precio de $1,40$ dólares/litro, ¿cuántos litros de jugo de piña debe utilizar?
En un laboratorio de química, un estudiante necesita obtener $12$ litros de una solución ácida al $25\%$. En el estante solo dispone de dos botes: uno con una solución…
En un laboratorio de química, un estudiante necesita obtener $12$ litros de una solución ácida al $25\%$. En el estante solo dispone de dos botes: uno con una solución al $10\%$ de ácido y otro con una solución muy concentrada al $50\%$. ¿Cuántos litros debe mezclar de cada bote para obtener la mezcla exacta que necesita su experimento?
Una tienda de tecnología lanza una oferta en tablets y accesorios. Álvaro compra una tablet y un teclado por un total de $\$325…
Una tienda de tecnología lanza una oferta en tablets y accesorios. Álvaro compra una tablet y un teclado por un total de $\$325$. Sabe que la tablet tiene aplicado un descuento del $20\%$ sobre su precio original, mientras que el teclado, al ser un modelo antiguo, tiene un descuento del $50\%$. Si Álvaro se ha ahorrado en total $\$115$ respecto a los precios originales, ¿cuál era el precio de venta (sin descuento) de la tablet y del teclado?
Movimiento y llaves
Movimiento. La fórmula base es $d = v \times t$. Si dos vehículos se encuentran, en ese momento están a la misma distancia del punto que midas. Si uno sale antes, ha viajado más tiempo.
Si parten de puntos separados una distancia $D$ y el de atrás persigue al otro, el de atrás debe recorrer $D$ km más: $v_1 t = v_2 t + D$.
Llaves y trabajo. Si algo se llena en $h$ horas, en una hora se llena $\dfrac{1}{h}$ de la piscina. Se suman las partes por hora de lo que ayuda y se restan las de una fuga. Si juntos tardan $t$ horas: $t \times (\text{parte por hora}) = 1$.
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, participan en una carrera benéfica. Lucía sale de la meta con una velocidad constante de $20$ km/h. Media hora más tarde, Marcos sale…
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, participan en una carrera benéfica. Lucía sale de la meta con una velocidad constante de $20$ km/h. Media hora más tarde, Marcos sale desde el mismo punto persiguiéndola a una velocidad de $25$ km/h. ¿Cuánto tiempo tardará Marcos en alcanzar a Lucía desde que él sale? ¿A qué distancia del punto de partida se encontrarán?
Dos drones de vigilancia, Helios y Selene, parten de dos bases situadas a una distancia de $150\text{ km}$ el uno del otro. Ambos vuelan en la misma dirección y sentido…
Dos drones de vigilancia, Helios y Selene, parten de dos bases situadas a una distancia de $150\text{ km}$ el uno del otro. Ambos vuelan en la misma dirección y sentido (Helios persiguiendo a Selene). Helios vuela a una velocidad constante de $90\text{ km/h}$ y Selene a $60\text{ km/h}$. Si ambos despegan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tardará Helios en alcanzar a Selene y a qué distancia de su base de origen ocurrirá el encuentro?
Para llenar la piscina municipal de un pueblo se utilizan dos tuberías, A y B. La tubería A es capaz de llenar la piscina por sí sola en $10$ horas. Debido a una falla…
Para llenar la piscina municipal de un pueblo se utilizan dos tuberías, A y B. La tubería A es capaz de llenar la piscina por sí sola en $10$ horas. Debido a una falla en el sistema de drenaje, hay una fuga en el fondo que vaciaría la piscina llena en $30$ horas si las tuberías estuvieran cerradas. Si abrimos la tubería A y la tubería B simultáneamente, la piscina se llena en exactamente $5$ horas (contando con la fuga abierta). ¿Cuánto tiempo tardaría la tubería B en llenar la piscina ella sola si no hubiera fuga?
Despejar en fórmulas
Las mismas reglas sirven para despejar una letra en una fórmula. De $v = \frac{d}{t}$ (velocidad) se obtiene $d = v \times t$ y $t = \frac{d}{v}$.
Cuando la letra a despejar aparece en varios términos, junta esos términos en un lado, saca la letra como factor común y divide.
Halla el valor del lado $x$ en el siguiente rectángulo sabiendo que su perímetro total es de $34$ cm.
Halla el valor del lado $x$ en el siguiente rectángulo sabiendo que su perímetro total es de $34$ cm.
En las ecuaciones literales, debemos ser capaces de despejar una variable en función de las demás. Despeja la variable $x$ en la siguiente igualdad, suponiendo que todos…
En las ecuaciones literales, debemos ser capaces de despejar una variable en función de las demás. Despeja la variable $x$ en la siguiente igualdad, suponiendo que todos los parámetros $a, b, c$ y $d$ son conocidos y diferentes de cero, con $a \neq d$:
$$a(x + b) - c = d(x - a)$$Expresa el resultado final como una única fracción.
Vuelve al principio: cada funda pesa 3 libras, porque si retiras 2 libras de cada platillo te quedan 3 fundas que pesan 9 libras ($3x = 9$), y al repartir entre las 3 fundas obtienes $x = 3$ libras.