Proporcionalidad directa
En la tienda del colegio, 3 empanadas de viento cuestan $\$2{,}25$. Entonces 6 empanadas cuestan $\$4{,}50$: el doble de empanadas, el doble de plata. Y 9 empanadas, el triple. ¿Siempre pasa lo mismo cuando una cantidad crece? ¿Cómo se puede calcular rápido cualquier precio sin armar una cuenta nueva cada vez? Eso lo vas a poder responder al terminar esta página.
Magnitudes directamente proporcionales
| Empanadas ($x$) | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio en dólares ($y$) | 0,75 | 1,50 | 2,25 | 3,00 | 4,50 |
| $y/x$ | 0,75 | 0,75 | 0,75 | 0,75 | 0,75 |
Aquí $k = 0{,}75$: es el precio por unidad. La constante casi siempre tiene un significado así: dólares por libra, kilómetros por hora, dólares por hora…
Determina si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta: a) El número de seguidores de un "influencer" y los…
Determina si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta:
- a) El número de seguidores de un "influencer" y los "likes" que recibe en su última foto.
- b) La cantidad de kilos de manzanas que compras y el precio total a pagar.
- c) La edad de una persona y su altura en centímetros.
- d) El tiempo que dejas el celular cargando y el porcentaje de batería que recupera (suponiendo que carga de forma constante).
Un grupo de amigos quiere ir al cine. Sabemos que $3$ entradas han costado $22,50$ dólares. Completa la siguiente tabla y calcula la constante de proporcionalidad $k$…
Un grupo de amigos quiere ir al cine. Sabemos que $3$ entradas han costado $22,50$ dólares. Completa la siguiente tabla y calcula la constante de proporcionalidad $k$ (precio por entrada):
| Número de entradas | $1$ | $3$ | $5$ | $8$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio total ( dólares) | $22,50$ |
Un creador de contenido en una plataforma de video recibe ingresos directamente proporcionales al número de visualizaciones de sus videos. Por cada $1250$…
Un creador de contenido en una plataforma de video recibe ingresos directamente proporcionales al número de visualizaciones de sus videos. Por cada $1250$ visualizaciones, el sistema le genera un beneficio de $3,75$ dólares. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala calculando la razón de proporcionalidad $k$:
| Visualizaciones | $2500$ | $5000$ | $15000$ | |
|---|---|---|---|---|
| Ingresos ( dólares) | $30$ |
La gráfica: una recta por el origen
Si marcas en el plano los puntos de la tabla, quedan alineados en una recta que pasa por el origen $(0; 0)$: 0 empanadas, 0 dólares. La constante $k$ es la pendiente (cuánto sube la recta por cada unidad que avanza). La fórmula $y = kx$ es una función lineal con intersección con el eje $y$ igual a $0$. Es una función creciente si $k > 0$.
Un auto a control remoto recorre $12$ metros en apenas $8$ segundos manteniendo una velocidad constante. Si sigue moviéndose de la misma forma: a) ¿Qué distancia…
Un auto a control remoto recorre $12$ metros en apenas $8$ segundos manteniendo una velocidad constante. Si sigue moviéndose de la misma forma:
- a) ¿Qué distancia recorrerá en un minuto ($60$ segundos)?
- b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer una pista de $30$ metros?
La batería de un scooter eléctrico se consume de forma proporcional a la distancia recorrida. Si para realizar un trayecto de $4,5$ km se ha gastado un $12 \%$ de la…
La batería de un scooter eléctrico se consume de forma proporcional a la distancia recorrida. Si para realizar un trayecto de $4,5$ km se ha gastado un $12 \%$ de la capacidad total de la batería, calcula mediante reducción a la unidad cuánta batería se consumirá en un recorrido de $15$ km por el mismo tipo de terreno.
Un centro de reciclaje paga a los usuarios por el peso del plástico entregado. El lunes, un colegio entregó $120$ kg y recibió $18$ dólares. El martes, otro colegio…
Un centro de reciclaje paga a los usuarios por el peso del plástico entregado. El lunes, un colegio entregó $120$ kg y recibió $18$ dólares. El martes, otro colegio entregó una cantidad desconocida y recibió $24,75$ dólares.
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¿Cuál es el precio por kilo de plástico reciclado?
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¿Cuántos kilos entregó el segundo colegio?
Regla de tres simple directa
Para calcular un valor desconocido hay dos caminos equivalentes:
1. Reducción a la unidad: calcula primero el valor para 1 y después multiplica.
2. Regla de tres simple directa (proporción): ubica los datos y usa los productos cruzados.
Escalas y planos
Las escalas son proporcionalidad directa: medida real $= k \cdot$ medida en el mapa. En una escala $1:25.000$, cada centímetro del mapa son $25.000$ cm reales (250 m). Recuerda pasar las unidades: 100.000 cm son 1 km.
La sombra funciona igual: a la misma hora, la altura de un objeto y la longitud de su sombra son directamente proporcionales.
Para preparar un batido de frutas para $4$ personas, se necesitan $600$ ml de leche. Si el próximo sábado vas a invitar a $10$ amigos a casa, ¿cuánta leche necesitarás…
Para preparar un batido de frutas para $4$ personas, se necesitan $600$ ml de leche. Si el próximo sábado vas a invitar a $10$ amigos a casa, ¿cuánta leche necesitarás comprar para que todos tengan su batido? Resuelve utilizando una regla de tres simple directa.
Una impresora 3D tarda $45$ minutos en fabricar una pieza que pesa $60$ gramos. Si queremos imprimir una figura del mismo material que pesa $100$ gramos, ¿cuánto tiempo…
Una impresora 3D tarda $45$ minutos en fabricar una pieza que pesa $60$ gramos. Si queremos imprimir una figura del mismo material que pesa $100$ gramos, ¿cuánto tiempo tardará la impresora? Expresa el resultado en horas y minutos.
Para organizar una convivencia escolar, se ha decidido preparar una receta de limonada casera. La receta original indica que para $6$ personas se necesitan $1,5$ litros…
Para organizar una convivencia escolar, se ha decidido preparar una receta de limonada casera. La receta original indica que para $6$ personas se necesitan $1,5$ litros de agua y $450$ g de azúcar. Si finalmente se han apuntado $42$ personas, ¿cuántos litros de agua y cuántos kilos de azúcar se deben comprar para mantener la proporción exacta?
Un mapa de senderismo de la Sierra de Guadarrama está dibujado a una escala $1:25000$. Un grupo de estudiantes planea una ruta que en el mapa mide $14,4$ cm. 1. ¿Cuántos…
Un mapa de senderismo de la Sierra de Guadarrama está dibujado a una escala $1:25000$. Un grupo de estudiantes planea una ruta que en el mapa mide $14,4$ cm.
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¿Cuántos kilómetros reales recorrerán en total?
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Si caminan a una velocidad constante y tardan $45$ minutos en recorrer los primeros $3$ km, ¿cuánto tiempo total les llevará completar la ruta?
Reparto proporcional a lo aportado
Cuando varias personas aportan distinta cantidad y lo obtenido se reparte en forma directamente proporcional, a cada una le toca una parte con la misma razón $k$ = (total a repartir) : (total aportado).
Tres amigos, Alba, Bruno y Carla, han comprado juntos un pack de $50$ sobres de cartas coleccionables que costaba $75$ dólares. Alba aportó $15$ dólares, Bruno $27$…
Tres amigos, Alba, Bruno y Carla, han comprado juntos un pack de $50$ sobres de cartas coleccionables que costaba $75$ dólares. Alba aportó $15$ dólares, Bruno $27$ dólares y Carla el resto. Si deciden repartir los sobres de forma directamente proporcional al dinero que puso cada uno, ¿cuántos sobres le corresponden a cada uno?
Una empresa de fabricación de componentes para smartphones utiliza una máquina que produce $150$ microchips cada $20$ minutos. 1. ¿Cuántos microchips producirá en una…
Una empresa de fabricación de componentes para smartphones utiliza una máquina que produce $150$ microchips cada $20$ minutos.
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¿Cuántos microchips producirá en una jornada laboral de $8$ horas sin detenerse?
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Si por un fallo técnico la máquina reduce su velocidad de producción a la mitad, ¿cuántas horas tardará en fabricar un pedido urgente de $2250$ microchips?
Porcentajes como proporcionalidad
Un porcentaje es una proporción con 100: el 15 % de $\$45$ cumple $\frac{15}{100} = \frac{x}{45}$, así que $x = 6{,}75$ dólares. Por eso la cantidad y su porcentaje son directamente proporcionales: el 15 % del doble es el doble.
¿Qué porcentaje es una cantidad de otra?
También puedes averiguar qué porcentaje es una cantidad respecto de otra: el porcentaje es la incógnita.
Tu celular tiene una capacidad total de almacenamiento de $128$ GB. Si el sistema operativo y las aplicaciones instaladas ya ocupan el $25\%$ del espacio, ¿cuántos…
Tu celular tiene una capacidad total de almacenamiento de $128$ GB. Si el sistema operativo y las aplicaciones instaladas ya ocupan el $25\%$ del espacio, ¿cuántos gigabytes están ocupados actualmente?
Has visto un buzo que te encanta en una tienda online. Su precio original es de $45$ dólares, pero hoy tiene un descuento del $15\%$. ¿Cuántos dólares te ahorras gracias…
Has visto un buzo que te encanta en una tienda online. Su precio original es de $45$ dólares, pero hoy tiene un descuento del $15\%$. ¿Cuántos dólares te ahorras gracias a la rebaja? (No es necesario calcular el precio final).
A la misma hora del día, la sombra de una señal de tráfico de $2,2$ metros de altura mide $1,4$ metros. Si justo al lado hay una torre de alta tensión cuya sombra mide…
A la misma hora del día, la sombra de una señal de tráfico de $2,2$ metros de altura mide $1,4$ metros. Si justo al lado hay una torre de alta tensión cuya sombra mide $10,5$ metros, ¿qué altura tiene la torre? Realiza un dibujo esquemático de la situación antes de resolver el problema.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Problemas de más pasos
Los problemas más largos combinan varias relaciones directas: una conversión de unidades, una escala, un porcentaje. La clave es ir paso a paso: identifica qué dos magnitudes se relacionan, halla $k$ y después pasa a la siguiente. Si hay dos factores a la vez (por ejemplo duración y resolución), la cantidad es proporcional a cada uno: multiplica los dos factores de cambio. Al final, escribe una respuesta completa con unidades.
Y volvamos a la tienda del colegio: con $k = 0{,}75$ dólares por empanada, cualquier precio es $y = 0{,}75\,x$. Un solo cálculo de $k$ resuelve todos los casos, mientras la relación siga siendo directa.
Un estudio de arquitectura está diseñando una maqueta de un rascacielos utilizando una impresora 3D de alta precisión. Han comprobado que para imprimir una sección de la…
Un estudio de arquitectura está diseñando una maqueta de un rascacielos utilizando una impresora 3D de alta precisión. Han comprobado que para imprimir una sección de la estructura que tiene un volumen de $450\text{ cm}^3$ se necesitan $12,5\text{ metros}$ de filamento plástico y la impresora tarda $3\text{ horas y }45\text{ minutos}$. Si el rascacielos completo en la maqueta requiere un volumen total de plástico de $2,16\text{ dm}^3$:
- a) ¿Cuántos carretes de filamento de $50\text{ metros}$ deberán comprar como mínimo para completar la maqueta?
- b) Si la impresora trabaja sin interrupciones, ¿cuántos días y horas tardará en terminar el trabajo?
Un servidor de streaming de video ajusta el tamaño de sus archivos de forma proporcional a la duración y a la resolución (número total de píxeles). Un video de…
Un servidor de streaming de video ajusta el tamaño de sus archivos de forma proporcional a la duración y a la resolución (número total de píxeles). Un video de $10\text{ minutos}$ a una resolución de $1280 \times 720$ píxeles ocupa $450\text{ MB}$.
Calcula cuánto ocupará una película de $1\text{ hora y }45\text{ minutos}$ si se sube con una resolución de $1920 \times 1080$ píxeles, sabiendo que la relación entre el peso y el total de píxeles es directamente proporcional. Expresa el resultado en Gigabytes ($1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$).
En un mapa estelar, la distancia entre dos estrellas es de $18\text{ cm}$. Se sabe que este mapa representa una escala donde $1\text{ cm}$ equivale a $4,5$ años luz. Si…
En un mapa estelar, la distancia entre dos estrellas es de $18\text{ cm}$. Se sabe que este mapa representa una escala donde $1\text{ cm}$ equivale a $4,5$ años luz. Si una nave espacial viaja a una velocidad constante y tarda $240\text{ años}$ en recorrer $0,8$ años luz:
- a) ¿A qué distancia real en años luz están las dos estrellas?
- b) ¿Cuántos siglos tardaría la nave en viajar de una estrella a otra? (Considera que la relación entre tiempo y distancia recorrida es directamente proporcional).
Una planta desalinizadora produce agua potable de forma proporcional al tiempo de funcionamiento de sus turbinas. Durante un periodo de $8\text{ horas}$, la planta…
Una planta desalinizadora produce agua potable de forma proporcional al tiempo de funcionamiento de sus turbinas. Durante un periodo de $8\text{ horas}$, la planta produce agua suficiente para abastecer a una población de $3.500\text{ personas}$, consumiendo $1.400\text{ kWh}$ de energía.
Debido a una ola de calor, el consumo de agua por persona aumenta un $25\%$. Si la planta ahora debe abastecer a una población de $5.000\text{ personas}$ en estas nuevas condiciones, ¿durante cuántas horas deberá funcionar y cuál será el consumo energético total previsto? (Supón que el consumo de energía es también directamente proporcional al tiempo de funcionamiento).