Te conviene dominar: El lenguaje algebraico (9.° grado de EGB (Educación General Básica, subnivel Superior))
Te conviene dominar: Ecuaciones de primer grado (9.° grado de EGB (Educación General Básica, subnivel Superior))
Mateo dice: «Mi papá tiene el triple de mi edad, y dentro de 10 años va a tener el doble». ¿Cuántos años tiene cada uno? Resolver una ecuación es la parte mecánica. Lo difícil, y lo que de verdad cuenta, es plantearla: convertir un enunciado en una igualdad con letras. Con un método claro y unas cuantas plantillas, la mayoría de los problemas se vuelven rutina. Al final de la página resolvemos el de Mateo.
El método en cuatro pasos
Elige la incógnita y escribe qué significa: «$x$ = edad de Santiago hoy». Si hay varias cantidades, trata de expresarlas todas con la misma letra.
Traduce cada dato al lenguaje algebraico (te sirve repasar el lenguaje algebraico de 9.° de EGB).
Plantea la ecuación con la condición que falta y resuélvela.
Comprueba con el enunciado (no con la ecuación, que podría estar mal planteada) y responde con una frase completa y con unidades.
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En un torneo de eSports, el equipo de Alex ha conseguido el triple de puntos que el equipo de Salma. Si entre los dos equipos han sumado un total de $152$ puntos,…
En un torneo de eSports, el equipo de Alex ha conseguido el triple de puntos que el equipo de Salma. Si entre los dos equipos han sumado un total de $152$ puntos, ¿cuántos puntos ha obtenido cada equipo?
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Un repartidor de una aplicación de comida a domicilio lleva en su mochila el doble de pizzas que de hamburguesas. Si en total transporta $12$ pedidos entre pizzas y hamburguesas, ¿cuántos hay de cada clase?
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Kenia ha empezado a ahorrar para comprarse una tableta que cuesta $240$ dólares. Ya tiene ahorrados $60$ dólares y, a partir de ahora, va a guardar $12$ dólares de su paga cada semana. ¿Cuántas semanas tardará en tener el dinero suficiente para la compra?
Números consecutivos: $x,\ x + 1,\ x + 2$. Pares (o impares) consecutivos: $x,\ x + 2,\ x + 4$.
Edades: arma una tabla con «hoy», «hace» y «dentro de». El tiempo pasa igual para todos:
Hoy
Dentro de 6 años
Santiago
$x$
$x + 6$
Valentina
$x + 4$
$x + 10$
Practica★☆☆Sin empezar
Aisha tiene $4$ años más que su hermano pequeño, Iker. Dentro de $6$ años, la suma de las edades de ambos será de $32$ años. Calcula la edad actual de cada uno…
Aisha tiene $4$ años más que su hermano pequeño, Iker. Dentro de $6$ años, la suma de las edades de ambos será de $32$ años. Calcula la edad actual de cada uno planteando una ecuación de primer grado.
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La suma de tres números de dorsal de una carrera, que resultan ser tres números enteros consecutivos, es igual a $63$. ¿Qué números llevan esos tres corredores en su camiseta?
Actualmente, la edad de un padre es el triple que la de su hija. Dentro de $12$ años, la edad del padre será solamente el doble que la de su hija. ¿Qué edad tiene cada…
Actualmente, la edad de un padre es el triple que la de su hija. Dentro de $12$ años, la edad del padre será solamente el doble que la de su hija. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?
Dibuja siempre la figura y escribe sus medidas con $x$. Después usa la fórmula que corresponde: perímetro, área, Pitágoras…
Cuando el problema da el perímetro de un triángulo isósceles, los lados iguales valen $x$ y el desigual se escribe con $x$. Para el área necesitas la altura, que sale con Pitágoras en la mitad del triángulo.
Practica★☆☆Sin empezar
Se quiere vallar un huerto escolar de forma rectangular para proteger los cultivos. Sabemos que el largo del huerto mide $5$ metros más que el ancho y que para rodearlo…
Se quiere vallar un huerto escolar de forma rectangular para proteger los cultivos. Sabemos que el largo del huerto mide $5$ metros más que el ancho y que para rodearlo completamente se han necesitado $38$ metros de valla. ¿Cuáles son las dimensiones del huerto?
Calcula el lado de un panel publicitario de forma cuadrada sabiendo que si su lado aumentara en $2$ metros, su área aumentaría en $16$ metros cuadrados.
Calcula el lado de un panel publicitario de forma cuadrada sabiendo que si su lado aumentara en $2$ metros, su área aumentaría en $16$ metros cuadrados.
Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide $4$ $cm$ menos que cada uno de los lados iguales y que el perímetro total es de $26$…
Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide $4$ $cm$ menos que cada uno de los lados iguales y que el perímetro total es de $26$ $cm$. Una vez hallados los lados, calcula el área del triángulo.
A veces el planteo da una ecuación cuadrática (de segundo grado), por ejemplo cuando se multiplican dos longitudes o aparece un cuadrado. Se la lleva a la forma $ax^2 + bx + c = 0$ y se resuelve por factoreo (si se puede) o con la fórmula general (también llamada resolvente o binomial):
Practica★★☆Sin empezar
Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en un parque municipal. Se sabe que el largo de la zona debe ser $5$ metros mayor que el ancho. Si el área total…
Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en un parque municipal. Se sabe que el largo de la zona debe ser $5$ metros mayor que el ancho. Si el área total destinada a los juegos es de $150$ $m^2$, calcula las dimensiones (largo y ancho) que tendrá dicha zona.
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Un diseñador gráfico está trabajando en el logo de una nueva empresa. El diseño consiste en un rectángulo central para el nombre, rodeado por un borde decorativo de grosor uniforme $x$. El rectángulo interior tiene unas dimensiones de $12\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$. Si el área total del logo (incluyendo el borde) debe ser exactamente el doble del área del rectángulo interior, ¿cuál debe ser el grosor $x$ de dicho borde?
La edad actual de una madre es el cuadrado de la edad de su hija. Dentro de $9$ años, la edad de la madre será solamente el triple de la edad que tenga su hija en ese…
La edad actual de una madre es el cuadrado de la edad de su hija. Dentro de $9$ años, la edad de la madre será solamente el triple de la edad que tenga su hija en ese momento. Halla las edades actuales de ambas.
Se usa la relación $\text{distancia} = \text{velocidad} \cdot \text{tiempo}$. Dos plantillas:
Tipo
Ecuación típica
Encuentro (salen uno hacia el otro)
$v_1 t + v_2 t = \text{distancia}$
Alcance (mismo sentido)
$v_1 t = \text{ventaja} + v_2 t$
Practica★★☆Sin empezar
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, se encuentran a una distancia de $60$ $km$ y deciden encontrarse en un punto intermedio. Lucía parte de $A$ hacia Marcos a una velocidad…
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, se encuentran a una distancia de $60$ $km$ y deciden encontrarse en un punto intermedio. Lucía parte de $A$ hacia Marcos a una velocidad constante de $20$ $km/h$. Al mismo tiempo, Marcos parte de $B$ hacia Lucía a una velocidad de $10$ $km/h$. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto $A$ ocurrirá el encuentro?
Dos ciudades, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $155\text{ km}$. A las 10:00 h, un ciclista sale de $A$ hacia $B$ a una velocidad constante de…
Dos ciudades, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $155\text{ km}$. A las 10:00 h, un ciclista sale de $A$ hacia $B$ a una velocidad constante de $20\text{ km/h}$. Una hora y media más tarde, una moto sale de $B$ hacia $A$ a una velocidad de $80\text{ km/h}$. ¿A qué hora se cruzarán y a qué distancia de la ciudad $A$ se producirá el encuentro?
(precio por persona antes) − (precio por persona después) = diferencia
En una mezcla, lo que se suma es el valor total de cada parte, no los precios por kilo.
La misma plantilla sirve para concentraciones: en lugar del precio por kilo usas el porcentaje, y lo que se suma es la cantidad de sustancia pura.
Practica★★☆Sin empezar
En una tienda gourmet se quieren mezclar dos tipos de café. El café "Arábica" tiene un precio de $12$ dólares/kg y el café "Robusta" cuesta $8$ dólares/kg. Si queremos…
En una tienda gourmet se quieren mezclar dos tipos de café. El café "Arábica" tiene un precio de $12$ dólares/kg y el café "Robusta" cuesta $8$ dólares/kg. Si queremos obtener una mezcla de $20$ $kg$ que salga a un precio de $10,50$ dólares/kg, ¿cuántos kilos de cada tipo de café debemos utilizar?
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $120$ dólares. Al principio eran un número determinado de personas, pero en el último momento se…
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $120$ dólares. Al principio eran un número determinado de personas, pero en el último momento se apuntaron $2$ amigos más, lo que hizo que cada uno tuviera que pagar $5$ dólares menos. ¿Cuántos amigos había inicialmente en el grupo?
En un laboratorio químico se necesitan $20\text{ litros}$ de una solución ácida al $25\%$. El técnico dispone de dos garrafas: una con una mezcla al $10\%$ de ácido y…
En un laboratorio químico se necesitan $20\text{ litros}$ de una solución ácida al $25\%$. El técnico dispone de dos garrafas: una con una mezcla al $10\%$ de ácido y otra con una mezcla concentrada al $50\%$. ¿Cuántos litros de cada garrafa debe mezclar para obtener la concentración deseada?
Porcentajes en dos partes. Si una parte da el $4\%$ y otra el $7\%$, el total se plantea con lo que aporta cada una. Es la misma idea que en una mezcla: si $x$ es una parte y $T - x$ la otra,
Trabajo en equipo. Si una llave de agua llena un tanque en $x$ horas, en una hora llena $\dfrac{1}{x}$ del tanque. Cuando trabajan juntas, las partes por hora se suman:
Mario ha ganado $\$1200$ en un concurso de programación y los divide en dos partes para depositarlas en dos productos financieros diferentes. El primero ofrece una rentabilidad del $4\%$ anual, mientras que el segundo, más arriesgado, ofrece un $7\%$ anual. Si al finalizar el año los beneficios totales obtenidos han sido de $\$63$, ¿qué cantidad destinó a cada producto?
Dos tuberías conectadas a un depósito pueden llenarlo juntas en $4\text{ horas}$. Si se utilizan por separado, la tubería de menor diámetro tarda $6\text{ horas}$ más…
Dos tuberías conectadas a un depósito pueden llenarlo juntas en $4\text{ horas}$. Si se utilizan por separado, la tubería de menor diámetro tarda $6\text{ horas}$ más que la tubería de mayor diámetro en llenar el depósito completo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada tubería en solitario?
Volvemos a Mateo: si hoy tiene $x$ años, su papá tiene $3x$. Dentro de 10 años: $3x + 10 = 2(x + 10)$, de donde $x = 10$. Mateo tiene 10 años y su papá 30. Comprobación: dentro de 10 años tendrán 20 y 40 ✓
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado