Logikfunktionen und Schaltungsentwurf

Die Schritte beim Entwurf einer digitalen Schaltung sind durcheinandergeraten: (a) die Schaltung mit Gattern zeichnen, (b) die Wahrheitstabelle aufstellen, (c) den Aufgabentext lesen und Ein- und Ausgänge bestimmen, (d) die Logikfunktion aufschreiben, (e) die Funktion vereinfachen. Bringe sie in die richtige Reihenfolge und erkläre in einem Satz, was in jedem Schritt gemacht wird.

Die Abbildung fasst den Entwurfsprozess einer digitalen Schaltung zusammen, aber ein Schritt fehlt. Gib an, welcher es ist, und erkläre, was man nach seinem Abschluss erhält und woher diese Information stammt.

Drei Rauchmelder (A, B und C) überwachen eine Halle, und der Alarm soll auslösen, wenn mindestens zwei von ihnen gleichzeitig Rauch erkennen. Schreibe die vollständige Wahrheitstabelle des Systems auf.

Was ist eine Logikfunktion? Lies diese beiden und erkläre ihre Bedeutung mit Worten: $S = A \cdot B$ und $S = A + B$. Welches Gatter setzt jede von ihnen um?

Ein Auto piept, wenn die Tür offen ist (P = 1) und der Zündschlüssel abgezogen ist (C = 1). Bestimme die Eingänge und den Ausgang des Systems und schreibe seine Logikfunktion mit Buchstaben auf.

Eine Autoalarmanlage soll ertönen, wenn eine Tür offen ist (P = 1) und der Schlüssel aus dem Zündschloss abgezogen ist (C = 1). Schreibe die vollständige Wahrheitstabelle auf und leite aus den Zeilen mit Ausgang 1 die Logikfunktion ab.

Es soll eine Warnung ertönen, wenn der Tank niedrig ist (N = 1) oder wenn die Pumpe steht (B = 1), während die Zeitschaltuhr läuft (M = 1). Schreibe die Wahrheitstabelle mit den drei Eingängen und die Logikfunktion auf.

Ordne jeden Ausdruck dem Gatter zu, das ihn umsetzt: $S = A \cdot B$, $S = A + B$ und $S = \overline{A}$. Erkläre außerdem, was der Strich über dem Buchstaben im letzten Ausdruck bedeutet.

Eine Schaltung hat ein NOT-Gatter am Eingang A und danach ein AND-Gatter, das dieses Signal und den Eingang B erhält. Schreibe die Logikfunktion der Schaltung auf und erkläre, welche Situation sie erkennt (welche Eingangskombination den Ausgang aktiviert).

Die Abbildung zeigt eine Schaltung aus zwei Gattern und ihre Wahrheitstabelle, in der der Ausgang einer Zeile nicht ausgefüllt ist. Berechne diesen Wert, indem du die Schaltung analysierst, und schreibe die Logikfunktion der Gesamtschaltung auf.

In einer Schaltung gehen A und B in ein AND-Gatter; C läuft durch ein NOT; die beiden Ergebnisse gehen in ein OR, das S ausgibt. Schreibe die Logikfunktion auf und berechne den Wert von S für A = 1, B = 0 und C = 0.

Ein Mitschüler hat die in der Abbildung gezeigte kombinatorische Schaltung aufgebaut und glaubt, der Ausgang $S$ hänge von der Kombination beider Variablen ab ($A$ und $B$). Beim Überprüfen der Funktionstabelle im Labor vermutet er, dass etwas nicht stimmt.

1. a) Bestimme den fehlenden Wert in der Tabelle für die Kombination $A = 1, B = 0$ und schreibe die nicht vereinfachte Logikfunktion auf, die den Gatterplan der Abbildung genau beschreibt.
2. b) Zeige algebraisch und experimentell (anhand der Tabelle), warum eine der beiden Variablen keinen tatsächlichen Einfluss auf den Ausgang $S$ hat, und gib an, welche weitgehende Vereinfachung diese Schaltung in der Praxis zulässt.
3. c) Sage voraus, was geschähe, wenn du die Position der beiden Logikgatter vertauschst (das AND an die Stelle des OR und das OR an die Stelle des AND): Würde sich die resultierende Wahrheitstabelle ändern? Begründe deine Antwort formal.

Erkläre, was es bedeutet, eine Logikfunktion zu vereinfachen, und nenne zwei Gründe, warum es sinnvoll ist, vor dem Aufbau der Schaltung zu vereinfachen.

Die Funktion $S = A \cdot B + A \cdot \overline{B}$ wird aktiv, wenn „A und B“ oder wenn „A und nicht B“. Erkläre, warum sie einfach $S = A$ entspricht und was man in der Schaltung spart, wenn man das bemerkt.

Überprüfe durch Aufstellen der beiden Wahrheitstabellen, dass $S = A \cdot (A + B)$ gleich $S = A$ ist. Erkläre, welche praktische Folge dieses Ergebnis für den Aufbau der Schaltung hat.

Ein Schüler entwirft die Alarmanlage einer Wohnung mit zwei Sensoren: Magnetkontakt an der Tür ($A = 1$ wenn offen, $A = 0$ wenn geschlossen) und Radar-Bewegungsmelder ($B = 1$ bei erkannter Anwesenheit). Um alle Situationen abzudecken, schreibt er in seine technische Dokumentation:

„Der Alarm ($S = 1$) muss ausgelöst werden, wenn bei offener Tür eine Bewegung erkannt wird ($A \cdot B$) und auch, wenn bei geschlossener Tür eine Bewegung erkannt wird ($\overline{A} \cdot B$). Die Funktion lautet also $S = A \cdot B + \overline{A} \cdot B$, die ich mit zwei UND-Gattern, einem NICHT- und einem ODER-Gatter umsetze."

1. a) Zeige durch algebraische Vereinfachung und mithilfe der zugehörigen Wahrheitstabelle, welche die tatsächliche minimale logische Funktion des Systems ist.
2. b) Erkläre die physikalische Bedeutung des mathematischen Ergebnisses: Liefert der Türsensor $A$ eine nützliche Information für die Auslösung der Sirene? Welche Bauteile der ursprünglichen Schaltung sind überflüssig?
3. c) Sage voraus, was mit dem System des Schülers passiert, wenn der Türsensor $A$ defekt ist und dauerhaft getrennt bleibt (falscher Logikpegel): Würde der Alarm bei einem Eindringling nicht mehr ertönen, oder wäre die Sicherheit gegenüber der vereinfachten Schaltung beeinträchtigt? Begründe deine Antwort.