Logikgatter und digitale Schaltungen

Erkläre, was ein digitales Signal ist und wodurch es sich von einem analogen Signal unterscheidet. Nenne dazu jeweils ein Beispiel aus dem Alltag.

Ordne diese Signale den analogen oder digitalen Signalen zu und begründe: die Lautstärke an einem Lautstärkeregler, ein Lichtschalter, die Temperatur, die ein Quecksilberthermometer anzeigt, und der Zustand einer Tür (offen oder geschlossen).

Wie viele Zeilen hat die Wahrheitstabelle einer Schaltung mit zwei Eingängen? Und mit drei? Leite die allgemeine Regel für $n$ Eingänge her und überprüfe sie mit vier Eingängen.

Schreibe die Wahrheitstabelle eines NOT-Gatters auf und erkläre sein Verhalten an einem Beispiel: eine Kontrollleuchte, die leuchtet, wenn eine Maschine NICHT läuft.

Die Abbildung zeigt drei Logikgatter mit ihren Wahrheitstabellen, in denen zwei Ausgangswerte fehlen. Ergänze die fehlenden Werte und gib den Namen jedes Gatters an.

Schreibe die vollständige Wahrheitstabelle eines OR-Gatters mit zwei Eingängen auf und erkläre sein Verhalten an einem Beispiel: zwei Klingeln, eine in jedem Stockwerk, die denselben Summer ertönen lassen.

Ein AND-Gatter erhält A = 1 und B = 0. Welchen Wert hat sein Ausgang? Und wenn es ein OR-Gatter mit denselben Eingängen wäre? Begründe jede Antwort.

Erkläre mit eigenen Worten, was ein NOT-Gatter macht, und beschreibe sein Schaltzeichen. Nenne ein Beispiel: eine grüne Kontrollleuchte, die leuchtet, wenn eine Maschine NICHT defekt ist.

Schreibe die vollständige Wahrheitstabelle eines AND-Gatters mit zwei Eingängen auf und beschreibe eine reale Situation, die nach derselben Logik funktioniert, zum Beispiel bei der Sicherung einer Tür oder eines Kontos.

Ein Lager soll einen Alarm auslösen, wenn die Tür oder das Fenster geöffnet wird. Gib an, welches Logikgatter dieses Verhalten umsetzt, und schreibe seine Wahrheitstabelle mit A = Tür offen, B = Fenster offen und S = Alarm ertönt.

Schreibe die Wahrheitstabelle eines OR-Gatters mit drei Eingängen (A, B und C) auf und erkläre in einem Satz, in welchem Fall sein Ausgang 0 ist.

Eine Anlage bewässert nur, wenn die Erde trocken ist (H = 1 bedeutet „Erde trocken“) und es außerdem Nacht ist (N = 1 bedeutet „es ist Nacht“). Welches Logikgatter setzt dieses Verhalten um? Schreibe seine Wahrheitstabelle mit den Namen der Variablen auf.

Erkläre, was passiert, wenn man zwei NOT-Gatter hintereinanderschaltet, und zeige es, indem du die Wahrheitstabelle der Gesamtschaltung aufschreibst. Wie heißt diese Äquivalenz in der Logik?

Eine Schaltung verbindet ein NOT-Gatter mit dem Ausgang eines AND-Gatters. Vervollständige ihre Wahrheitstabelle und finde heraus, wie dieses kombinierte Gatter heißt:

In der Technikwerkstatt stehen dir nur integrierte Schaltkreise vom Typ 7400 zur Verfügung, die ausschließlich NAND-Gatter mit zwei Eingängen enthalten. Du sollst die akustische Warneinrichtung einer Maschine umsetzen, deren vereinfachte Logikfunktion S = A + NOT B lautet.

1. a) Wende die De Morganschen Gesetze an, um diese Funktion in einen äquivalenten Ausdruck umzuformen, der ausschließlich NAND-Operationen und Negationen verwendet.
2. b) Zeige, wie man ein NOT-Gatter nur mit einem NAND-Gatter aufbaut, und schreibe seine Wahrheitstabelle auf.
3. c) Zeichne oder beschreibe Schritt für Schritt den Schaltplan der resultierenden Schaltung, die nur NAND-Gatter mit zwei Eingängen verwendet. Gib die Gesamtzahl der benötigten Gatter an und begründe, ob sich eines davon einsparen lässt.

Die Abbildung zeigt eine Schaltung mit zwei Gattern: Die Eingänge A und B führen zu einem AND-Gatter, dessen Ausgang zusammen mit C in ein OR-Gatter geht. Schreibe die vollständige Wahrheitstabelle der Schaltung auf und berechne den Wert von S für den angegebenen Fall.

Ein Hindernissensor gibt den Ausgang 1, wenn KEIN Hindernis vor ihm ist. Dein Roboter soll eine Kontrollleuchte genau dann einschalten, wenn ein Hindernis da IST. Welches Gatter schaltest du zwischen Sensor und Kontrollleuchte? Begründe mit der Wahrheitstabelle.

Ein Ventilator soll sich nur einschalten ($F = 1$), wenn es warm ist ($C = 1$) und der Nutzer es erlaubt ($P = 1$), aber nie, wenn das Fenster geöffnet ist ($V = 1$). Ein Mitschüler hat die Steuerung mit zwei Logikgattern aufgebaut: einem AND-Gatter, das $C$ und $P$ verknüpft, und einem OR-Gatter, das dieses Ergebnis mit $V$ verknüpft, wie der Schaltplan zeigt. Beim Test in der Werkstatt schaltet sich der Ventilator ein, wenn das Fenster offen ist, sogar mitten im Winter!

1. a) Erstelle die Wahrheitstabelle der Schaltung deines Mitschülers und gib an, in welchen Fällen sie die Vorgabe nicht erfüllt.
2. b) Erkläre den konzeptionellen Fehler, das OR-Gatter mit $V$ zu verwenden.
3. c) Entwirf die richtige Schaltung: Schreibe die vereinfachte Logikfunktion auf und gib die benötigten Gatter an.

Zur Steuerung der Ausfahrtsschranke eines Parkplatzes stehen drei Signale zur Verfügung: Fahrzeugerkennung über der Induktionsschleife (C = 1), Ticket entwertet (T = 1) und Sicherheits-Lichtschranke frei (S = 1; erkennt sie ein Hindernis unter der Schranke, ist S = 0). Die Schranke soll sich nur öffnen (B = 1), wenn ein Auto da ist, das Ticket gültig ist und der Bereich frei ist. Außerdem soll eine Alarmleuchte (A = 1) aufleuchten, wenn ein Auto mit gültigem Ticket da ist, der Bereich aber nicht frei ist (um darauf hinzuweisen, dass die Schranke aus Sicherheitsgründen nicht öffnen kann).

1. a) Bestimme die vereinfachten Logikfunktionen für die Schranke (B) und für den Alarm (A).
2. b) Entwirf den Schaltplan mit Logikgattern und nutze gemeinsame Gatter, um die Zahl der Bauteile zu minimieren.
3. c) Wenn die Lichtschranke ausfällt und dauerhaft auf 0 blockiert ist, was geschieht dann mit der Schranke und dem Alarm, wenn ein Nutzer mit gültigem Ticket ausfahren will? Begründe, ob das System sicher oder gefährlich ausfällt.

Stell dir ein sicherheitskritisches System an einem Industriekessel mit zwei unabhängigen Übertemperatursensoren (T1 und T2) vor. Es wird diskutiert, ob die Notabschaltung (P) über eine AND-Logik (P = T1 · T2) oder über eine OR-Logik (P = T1 + T2) ausgelöst werden soll. Untersuche das Verhalten jeder Variante bei zwei realistischen Fehlern:

1. Einer der Sensoren fällt aus und bleibt auf 0 blockiert (er erkennt die Hitze nicht).

2. Einer der Sensoren hat einen Kurzschluss und bleibt auf 1 blockiert (dauerhafter Fehlalarm).

Begründe, welche der beiden Architekturen die „Fehlersicherheit“ priorisiert (eine Explosion um jeden Preis vermeiden) und welche die „Verfügbarkeit“ (unnötige teure Stillstände vermeiden), und schlage vor, welche logische Zwischenlösung in der Industrie verwendet wird, wenn man einen dritten redundanten Sensor (T3) hinzufügt.

In einer Industriewaschmaschine darf das Schleudern (C) nur aktiviert werden, wenn die Tür verriegelt ist (P = 1), keine Wäscheüberladung vorliegt (S = 0) und das Abpumpen des Wassers bestätigt ist. Zur Messung des Wassers werden zwei unabhängige, redundante Druckschalter eingebaut (A1 und A2, wobei 1 einen leeren Tank bedeutet). Das Schleudern darf nur starten, wenn beide Sensoren bestätigen, dass kein Wasser vorhanden ist (A1 = 1 und A2 = 1). Außerdem soll eine Störungsleuchte (V = 1) immer dann leuchten, wenn die beiden Druckschalter voneinander abweichen (Sensorfehler), unabhängig vom Zustand der Tür oder der Beladung.

1. a) Bestimme die Logikfunktion und die Wahrheitstabelle für das Schleudern (C) und für das Störungssignal (V).
2. b) Welches elementare Logikgatter löst die Störungsbedingung V direkt? Begründe deine Antwort.
3. c) Erkläre, warum dieser redundante Aufbau sicherer ist als die Verwendung nur eines Druckschalters.

Ein Schüler behauptet: „Da ein OR-Gatter 1 ausgibt, wenn einer seiner Eingänge 1 ist, schließe ich drei Alarmsensoren der Geländeüberwachung (S1, S2, S3) an ein einziges OR-Gatter mit drei Eingängen an und kann so auf dem Bildschirm des Pförtners genau erkennen, welche der drei Zonen verletzt wurde.“

1. a) Widerlege seine Behauptung, indem du die Informationsmenge untersuchst: Wie viele Zustände kann ein einzelner binärer Ausgang übermitteln, und wie viele Zustände müsstest du unterscheiden, um zu wissen, ob kein Alarm vorliegt oder welche der drei Zonen ausgelöst wurde?
2. b) Entwirf die Wahrheitstabelle eines Codierers, der mit drei Eingängen (S1, S2, S3) zwei binäre Ausgänge (Y1, Y0) liefert, um zu erkennen, welcher Sensor auf 1 ist (angenommen, es wird immer nur einer auf einmal aktiviert und wenn keiner aktiv ist, lautet der Ausgang 00).
3. c) Welches Problem träte in dieser Schaltung auf, wenn zwei Eindringlinge gleichzeitig zwei Sensoren auslösen?

Ein Techniker entwirft die Steuerung der grünen Fußgängerampel ($V$) an einer Kreuzung mit einer Straßenbahnstrecke. Die Schaltung hat drei binäre Eingangssignale:

• Straßenbahnsensor: $T = 1$, wenn sich eine Straßenbahn nähert, und $T = 0$, wenn das Gleis frei ist.

• Fußgängertaster: $P = 1$, wenn wartende Fußgänger den Knopf gedrückt haben, und $P = 0$, wenn er nicht gedrückt wurde.

• Nachtmodus: $N = 1$ während der Nacht und $N = 0$ während des Tages.

Die Sicherheitsvorgabe verlangt, dass die grüne Fußgängerampel nur dann leuchten darf ($V = 1$), wenn sich keine Straßenbahn nähert ($T = 0$) und mindestens eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist: Ein Fußgänger hat den Knopf gedrückt ($P = 1$) oder das System befindet sich im Nachtmodus ($N = 1$, um periodisches automatisches Überqueren zu ermöglichen). Auf keinen Fall darf sie leuchten, wenn die Straßenbahn kommt ($T = 1$).

Der Techniker schlägt voreilig die Logikfunktion $V = (P \cdot \overline{T}) + N$ vor.

1. a) Erstelle die Wahrheitstabelle des Vorschlags des Technikers und gib an, bei welchen Eingangskombinationen die Schaltung eine Situation mit unmittelbarer Unfallgefahr verursacht (Fußgängerampel grün, während sich die Straßenbahn nähert).

1. b) Korrigiere die Logikfunktion so, dass sie alle Sicherheitsanforderungen strikt erfüllt, und zeichne den Schaltplan mit den Grundgattern (NOT, AND, OR).

1. c) Untersuche, was geschähe, wenn der Sensor $T$ ausfällt und die Schaltung dauerhaft einen niedrigen Pegel ($T = 0$) interpretiert: Ist das System tolerant gegenüber diesem Fehler oder entsteht eine gefährliche Situation? Begründe deine Antwort.

Zur Beleuchtung der Veranda eines Hauses werden zwei Vorschläge für eine automatische Steuerung mit drei Sensoren untersucht: Bewegungsmelder (P = 1), Dämmerungssensor für Nacht (N = 1) und manueller Party- bzw. Überbrückungsschalter (M = 1, um das Dauerlicht zu erzwingen):

• Vorschlag 1: L1 = M + (N · P)

• Vorschlag 2: L2 = (M + N) · P

1. a) Erstelle eine vergleichende Wahrheitstabelle für beide Vorschläge mit den 8 möglichen Kombinationen von M, N und P.
2. b) Untersuche, bei welchen Kombinationen sich das Verhalten der beiden Systeme unterscheidet, und erkläre, welches praktische Problem Vorschlag 2 hätte, wenn die Nutzer ruhig auf der Veranda sitzend zu Abend essen oder tagsüber Licht zum Putzen brauchen.
3. c) Begründe, welcher der beiden Entwürfe Komfort und Energieeffizienz besser ausbalanciert, und belege deine Wahl mit Daten aus der Tabelle.