Logikfunktionen und Schaltungsentwurf

Die Schritte beim Entwurf einer digitalen Schaltung sind durcheinandergeraten: (a) die Schaltung mit Gattern zeichnen, (b) die Wahrheitstabelle aufstellen, (c) den Aufgabentext lesen und Ein- und Ausgänge bestimmen, (d) die Logikfunktion aufschreiben, (e) die Funktion vereinfachen. Bringe sie in die richtige Reihenfolge und erkläre in einem Satz, was in jedem Schritt gemacht wird.

Die Abbildung fasst den Entwurfsprozess einer digitalen Schaltung zusammen, aber ein Schritt fehlt. Gib an, welcher es ist, und erkläre, was man nach seinem Abschluss erhält und woher diese Information stammt.

Erkläre, was jede Zeile einer Wahrheitstabelle darstellt und was es bedeutet, wenn der Ausgang nur in einigen Zeilen 1 ist. Stütze dich dabei auf diesen Fall: Eine Kontrollleuchte leuchtet, wenn Rauch vorhanden ist (H = 1) und die Alarmanlage aktiviert ist (A = 1).

Drei Rauchmelder (A, B und C) überwachen eine Halle, und der Alarm soll auslösen, wenn mindestens zwei von ihnen gleichzeitig Rauch erkennen. Schreibe die vollständige Wahrheitstabelle des Systems auf.

Was ist eine Logikfunktion? Lies diese beiden und erkläre ihre Bedeutung mit Worten: $S = A \cdot B$ und $S = A + B$. Welches Gatter setzt jede von ihnen um?

Ein Auto piept, wenn die Tür offen ist (P = 1) und der Zündschlüssel abgezogen ist (C = 1). Bestimme die Eingänge und den Ausgang des Systems und schreibe seine Logikfunktion mit Buchstaben auf.

Eine Autoalarmanlage soll ertönen, wenn eine Tür offen ist (P = 1) und der Schlüssel aus dem Zündschloss abgezogen ist (C = 1). Schreibe die vollständige Wahrheitstabelle auf und leite aus den Zeilen mit Ausgang 1 die Logikfunktion ab.

Es soll eine Warnung ertönen, wenn der Tank niedrig ist (N = 1) oder wenn die Pumpe steht (B = 1), während die Zeitschaltuhr läuft (M = 1). Schreibe die Wahrheitstabelle mit den drei Eingängen und die Logikfunktion auf.

Eine Schaltung hat ein NOT-Gatter am Eingang A und danach ein AND-Gatter, das dieses Signal und den Eingang B erhält. Schreibe die Logikfunktion der Schaltung auf und erkläre, welche Situation sie erkennt (welche Eingangskombination den Ausgang aktiviert).

In einer Schaltung gehen A und B in ein AND-Gatter; C läuft durch ein NOT; die beiden Ergebnisse gehen in ein OR, das S ausgibt. Schreibe die Logikfunktion auf und berechne den Wert von S für A = 1, B = 0 und C = 0.

Die Abbildung zeigt eine Schaltung aus zwei Gattern und ihre Wahrheitstabelle, in der der Ausgang einer Zeile nicht ausgefüllt ist. Berechne diesen Wert, indem du die Schaltung analysierst, und schreibe die Logikfunktion der Gesamtschaltung auf.

Erkläre, was es bedeutet, eine Logikfunktion zu vereinfachen, und nenne zwei Gründe, warum es sinnvoll ist, vor dem Aufbau der Schaltung zu vereinfachen.

In einer Wahrheitstabelle mit zwei Eingängen ist der Ausgang S gleich 1, wenn A = 1 und B = 0 ist, und auch, wenn A = 1 und B = 1 ist. Schreibe die Funktion als Summe von Produkten auf und begründe, welcher viel einfacheren Funktion sie entspricht.

Die Funktion $S = A \cdot B + A \cdot \overline{B}$ wird aktiv, wenn „A und B“ oder wenn „A und nicht B“. Erkläre, warum sie einfach $S = A$ entspricht und was man in der Schaltung spart, wenn man das bemerkt.

Überprüfe durch Aufstellen der beiden Wahrheitstabellen, dass $S = A \cdot (A + B)$ gleich $S = A$ ist. Erkläre, welche praktische Folge dieses Ergebnis für den Aufbau der Schaltung hat.

Ein Mitschüler hat die in der Abbildung gezeigte kombinatorische Schaltung aufgebaut und glaubt, der Ausgang $S$ hänge von der Kombination beider Variablen ab ($A$ und $B$). Beim Überprüfen der Funktionstabelle im Labor vermutet er, dass etwas nicht stimmt.

1. a) Bestimme den fehlenden Wert in der Tabelle für die Kombination $A = 1, B = 0$ und schreibe die nicht vereinfachte Logikfunktion auf, die den Gatterplan der Abbildung genau beschreibt.
2. b) Zeige algebraisch und experimentell (anhand der Tabelle), warum eine der beiden Variablen keinen tatsächlichen Einfluss auf den Ausgang $S$ hat, und gib an, welche weitgehende Vereinfachung diese Schaltung in der Praxis zulässt.
3. c) Sage voraus, was geschähe, wenn du die Position der beiden Logikgatter vertauschst (das AND an die Stelle des OR und das OR an die Stelle des AND): Würde sich die resultierende Wahrheitstabelle ändern? Begründe deine Antwort formal.

Das Sicherheitssystem einer Industriehalle hat drei digitale Sensoren: Türöffnung ($P = 1$), Fensteröffnung ($V = 1$) und Scharfschalter des Systems ($A = 1$, wenn die Überwachung aktiviert ist). Der Alarm ($S = 1$) soll ertönen, wenn die Tür oder das Fenster geöffnet wird, aber nur, wenn das System scharf geschaltet ist.

Ein Installateur schließt die Sensoren gemäß dem Ausdruck $S = P + V \cdot A$ an und argumentiert, dass „die Tür der Haupteingang ist und deshalb eine direkte Verbindung zum Signalgeber haben muss“.

1. a) Bestimme, bei welcher Eingangskombination die Installation des Technikers versagt, und erkläre das gravierende Sicherheitsproblem bzw. die Fehlalarme, die dadurch in der Halle entstehen.
2. b) Erstelle die Wahrheitstabelle, die die geforderten Spezifikationen exakt abbildet, und bestimme die kanonische Funktion als Summe von Minterms.
3. c) Vereinfache die resultierende Funktion mit den Gesetzen der Booleschen Algebra und beschreibe die optimale elektronische Schaltung, indem du angibst, welche konkreten Logikgatter und wie viele Eingänge jedes benötigt.

Das intelligente Beleuchtungssystem eines Hausflurs soll anhand von drei Signalen entworfen werden: Bewegungsmelder ($M = 1$), Dämmerungssensor für die Nacht ($N = 1$) und manueller Wartungsschalter ($I = 1$). Das Licht ($L = 1$) soll automatisch eingeschaltet werden, wenn es Nacht ist und eine Bewegung erkannt wird, oder jederzeit, wenn der manuelle Schalter betätigt wird.

1. a) Erstelle die Wahrheitstabelle des Systems und leite die vereinfachte logische Funktion $L(M, N, I)$ her.
2. b) Die Hausgemeinschaft möchte einen „Urlaubsmodus" mit einem Hauptschalter $V$ ($V = 1$ Urlaubsmodus aktiv) ergänzen. In diesem Modus soll das automatische nächtliche Einschalten vollständig deaktiviert werden, um bei Zugluft Energie zu sparen, aber der manuelle Schalter $I$ soll für das Sicherheitspersonal weiterhin das Licht einschalten. Leite die neue Funktion $L_{vac}(M, N, I, V)$ her und begründe die Änderung, ohne eine Tabelle mit 16 Zeilen aufzustellen.
3. c) Im ursprünglichen Schaltkreis (ohne Urlaubsmodus) melden die Bewohner, dass das Licht rund um die Uhr dauerhaft brennt, ohne dass jemand den Schalter $I$ betätigt oder sich jemand im Flur aufhält. Leite begründet her, welche zwei voneinander unabhängigen physischen Defekte an den Eingängen der Schaltung diesen Fehler verursachen könnten.

Im Notabwurfsystem einer Raumfahrtkapsel werden drei unabhängige Überdrucksensoren ($A$, $B$ und $C$) verwendet. Um versehentliches Auslösen durch den Ausfall eines einzelnen Sensors zu vermeiden, darf der Abwurfmechanismus ($S = 1$) nur aktiviert werden, wenn mindestens zwei der drei Sensoren übereinstimmend Überdruck melden.

Ein vorläufiger Bericht schlägt die vereinfachte Funktion $S = A \cdot B + C$ vor und versichert, dass sie die Vorgaben mit nur zwei Logikgattern erfüllt.

1. a) Widerlege die Gültigkeit dieses Vorschlags formal: Bestimme, welche konkrete Eingangskombination ein fehlerhaftes Auslösen des Abwurfs verursacht, und erkläre die Folgen für die Besatzung.
2. b) Bestimme die korrekte Wahrheitstabelle und leite die minimale Logikfunktion als Summe von Produkten ab.
3. c) Entwirf die Schaltung, gib Art und Mindestanzahl der benötigten Logikgatter mit 2 Eingängen an und sage voraus, wie das System reagieren würde, wenn der Sensor $C$ einen dauerhaften Defekt hätte, der ihn auf niedrigem Pegel blockiert ($C = 0$).

Die automatische Bewässerungsanlage eines städtischen Parks ($S = 1$ zum Öffnen des Magnetventils) folgt der Logikfunktion $S = A \cdot \overline{B} + C$, wobei die Eingänge Folgendes bedeuten:

• $A$: Bodenfeuchtesensor ($A = 1$, wenn die Erde trocken ist).

• $B$: Wettervorhersagesensor ($B = 1$, wenn in den nächsten Stunden Regen erwartet wird).

• $C$: manueller Taster des Gartenpersonals ($C = 1$, wenn die erzwungene Bewässerung aktiviert wird).

1. a) Deute die technische Bedeutung der Funktion: Unter welchen konkreten Bedingungen bewässert der Park im Automatikbetrieb ($C = 0$)? Begründe, warum die Variable $B$ im Ausdruck negiert auftreten muss.
2. b) Zeichne oder beschreibe die detaillierte Verschaltung der Logikschaltung, die diese Funktion umsetzt, und gib an, welche Grundgatter (NOT, AND, OR) dafür benötigt werden.
3. c) Wenn ein elektrischer Defekt den manuellen Taster dauerhaft aktiviert lässt ($C = 1$), sage voraus, was mit der Bewässerung geschieht, und begründe, ob die Feuchte- und Wettervorhersagewerte weiterhin einen Einfluss auf den Wasserverbrauch haben.
4. d) Bestimme, was geschähe, wenn stattdessen der Regensensor einen Kurzschluss hat und auf $B = 1$ blockiert ist: In welcher einzigen Situation bewässert der Park dann?

Eine Schülergruppe baut in der Werkstatt die Sicherheitsschaltung für den Antrieb einer motorisierten Schere auf ($S = 1$ aktiviert den Motor). Sie verwenden zwei Signale: Totmanntaster ($A = 1$ gedrückt) und Lichtschranke frei ($B = 1$). Sie führen $A$ und $B$ in ein AND-Gatter und leiten dessen Ausgang zusammen mit dem direkten Signal von $A$ in ein OR-Gatter. Die Gruppe behauptet, „das OR-Gatter bringe eine zusätzliche Sicherheitsebene, weil es den Taster doppelt prüft“.

1. a) Schreibe die Logikfunktion auf, die den ausgeführten Aufbau beschreibt, und erstelle ihre vollständige Wahrheitstabelle.
2. b) Zeige formal mit den Gesetzen der Booleschen Algebra, welche weitgehende Vereinfachung die Funktion zulässt, und widerlege die Behauptung der Gruppe, indem du erklärst, welche physischen Bauteile völlig überflüssig sind.
3. c) Bewerte die Folgen für die Arbeitssicherheit: Wenn ein Bediener die Hand hineinhält und dadurch die Lichtschranke unterbricht ($B = 0$), während er $A$ gedrückt hält, bleibt dann der Motor der Schere stehen? Begründe deine Antwort anhand der Analyse der Schaltung.

Zwei Firmen bewerben sich um die Serienfertigung der Alarmanlage einer Fahrzeugflotte ($S = 1$ aktiviert die Sirene) auf Basis von drei Signalen: Zündung aus ($A = 1$), Stoßsensor ($B = 1$) und Innenraum-Volumensensor ($C = 1$).

• Die Firma Alfa schlägt die Schaltung vor: $S_1 = A \cdot B + A \cdot C$

• Die Firma Beta schlägt die Schaltung vor: $S_2 = A \cdot (B + C)$

Ein Gutachter der Versicherung behauptet, dass der Entwurf von Alfa zuverlässiger sei, weil „wenn das UND-Gatter ausfällt, das den Aufprallsensor $B$ verarbeitet, das Fahrzeug dank des zweiten, unabhängigen UND-Gatters weiterhin gegenüber dem Volumensensor $C$ geschützt bleibt".

1. a) Zeige algebraisch die funktionale Gleichwertigkeit beider Schaltungen und gib das angewandte mathematische Gesetz an.
2. b) Bewerte die Aussage des Gutachters kritisch: Würde im Schaltkreis von Beta der Alarm bei einem Signal von $C$ nicht mehr ertönen, wenn das Signal des Sensors $B$ ausfiele? Begründe, ob der Entwurf von Alfa gegenüber dem von Beta tatsächlich einen Vorteil bei der Redundanz bietet.
3. c) Bestimme Anzahl und Art der Logikgatter mit 2 Eingängen, die für jeden Entwurf nötig sind, und begründe, welches der beiden Projekte für eine Massenproduktion von Fahrzeugen gewählt werden sollte, wenn man Herstellungskosten und Anzahl der Bauteile berücksichtigt.

Ein Schüler entwirft die Alarmanlage einer Wohnung mit zwei Sensoren: Magnetkontakt an der Tür ($A = 1$ wenn offen, $A = 0$ wenn geschlossen) und Radar-Bewegungsmelder ($B = 1$ bei erkannter Anwesenheit). Um alle Situationen abzudecken, schreibt er in seine technische Dokumentation:

„Der Alarm ($S = 1$) muss ausgelöst werden, wenn bei offener Tür eine Bewegung erkannt wird ($A \cdot B$) und auch, wenn bei geschlossener Tür eine Bewegung erkannt wird ($\overline{A} \cdot B$). Die Funktion lautet also $S = A \cdot B + \overline{A} \cdot B$, die ich mit zwei UND-Gattern, einem NICHT- und einem ODER-Gatter umsetze."

1. a) Zeige durch algebraische Vereinfachung und mithilfe der zugehörigen Wahrheitstabelle, welche die tatsächliche minimale logische Funktion des Systems ist.
2. b) Erkläre die physikalische Bedeutung des mathematischen Ergebnisses: Liefert der Türsensor $A$ eine nützliche Information für die Auslösung der Sirene? Welche Bauteile der ursprünglichen Schaltung sind überflüssig?
3. c) Sage voraus, was mit dem System des Schülers passiert, wenn der Türsensor $A$ defekt ist und dauerhaft getrennt bleibt (falscher Logikpegel): Würde der Alarm bei einem Eindringling nicht mehr ertönen, oder wäre die Sicherheit gegenüber der vereinfachten Schaltung beeinträchtigt? Begründe deine Antwort.