Repartos proporcionales
Tres amigos, Valentina, Santiago y Camila, ganan $\$3.000$ en un torneo de videojuegos del colegio. Valentina jugó 2 partidas, Santiago 3 y Camila 5. ¿Es justo darle $\$1.000$ a cada uno? Parece más justo que quien más jugó reciba más. Eso es un reparto proporcional, y en esta página vas a aprender a hacerlo.
Reparto directamente proporcional
Se reparte en partes proporcionales a unos números dados: quien tiene más, recibe más.
Razón aritmética y razón geométrica. Para comparar dos cantidades puedes restarlas (razón aritmética: $5 - 2 = 3$) o dividirlas (razón geométrica: $\dfrac{5}{2}$). En un reparto proporcional lo que se mantiene igual es la razón geométrica: la parte de cada persona dividida entre su número siempre da el mismo valor $k$. Por eso $\dfrac{600}{2} = \dfrac{900}{3} = \dfrac{1.500}{5} = 300$, y esa igualdad de razones es una proporción. En una proporción $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, el producto de los medios es igual al producto de los extremos: $a \cdot d = b \cdot c$. Compruébalo con $\dfrac{600}{2} = \dfrac{900}{3}$: $600 \cdot 3 = 1.800 = 2 \cdot 900$ ✓
Cambia el total o las partes y mira cómo se reparte la barra:
Tres amigos, Alex, Bea y Cris, han participado en un torneo de videojuegos por equipos y han ganado un cofre con $240$ monedas de oro virtuales. Han decidido repartir el…
Tres amigos, Alex, Bea y Cris, han participado en un torneo de videojuegos por equipos y han ganado un cofre con $240$ monedas de oro virtuales. Han decidido repartir el botín de forma directamente proporcional al número de niveles que cada uno ha superado: Alex superó $2$ niveles, Bea $3$ niveles y Cris $5$ niveles. ¿Cuántas monedas le corresponden a cada uno?
Una asociación juvenil ha recibido una subvención de $4\,800\,000$ pesos para organizar talleres. El dinero se debe repartir entre tres grupos locales de forma…
Una asociación juvenil ha recibido una subvención de $4\,800\,000$ pesos para organizar talleres. El dinero se debe repartir entre tres grupos locales de forma directamente proporcional al número de voluntarios que tiene cada grupo: el Grupo A tiene $10$ voluntarios, el Grupo B tiene $15$ y el Grupo C tiene $25$. Calcula cuánto dinero recibirá cada grupo.
Tres amigos deciden participar en un torneo de E-Sports por equipos. Tras ganar el primer premio, la organización les entrega un cofre con $2700$ monedas virtuales. Para…
Tres amigos deciden participar en un torneo de E-Sports por equipos. Tras ganar el primer premio, la organización les entrega un cofre con $2700$ monedas virtuales. Para ser justos, deciden repartir las monedas de forma directamente proporcional a los puntos de experiencia (XP) que cada uno aportó en la partida final: Álex aportó $12$ puntos, Bea $15$ puntos y Cristian $18$ puntos. ¿Cuántas monedas le corresponden a cada uno?
Cuando el reparto no es exacto o hay descuentos
A veces el reparto no da números enteros, o el total cambia por un descuento o un impuesto. Hay dos situaciones típicas.
Redondeo. Si repartes 100 láminas en forma directamente proporcional a 1, 2 y 4, hay $7$ partes y $k = \frac{100}{7} \approx 14{,}29$. Las láminas no se pueden cortar, así que redondeas cada parte a la unidad más cercana: $14$, $29$ y $57$. En este caso suman $100$, pero no siempre pasa. Si sobra o falta una, hay que decidir y justificar quién se la queda (por ejemplo, quien tiene el decimal más cercano al redondeo hacia arriba).
Porcentajes. Si el total tiene un descuento, tienes dos caminos que dan lo mismo: aplicar el descuento al total y repartir, o repartir y descontar a cada uno.
Para fomentar la lectura, una biblioteca juvenil reparte un lote de $155$ cómics entre los tres usuarios que más libros han leído en el último trimestre. El reparto será…
Para fomentar la lectura, una biblioteca juvenil reparte un lote de $155$ cómics entre los tres usuarios que más libros han leído en el último trimestre. El reparto será directamente proporcional al número de libros leídos. Si los usuarios leyeron $12$, $18$ y $32$ libros respectivamente, ¿cuántos cómics recibirá cada uno? (Nota: Si el resultado no es entero, redondea a la unidad más cercana y justifica si el reparto es exacto).
Un grupo de tres agricultores decide alquilar una maquinaria por $\$2\,280\,000…
Un grupo de tres agricultores decide alquilar una maquinaria por $\$2\,280\,000$. El costo se repartirá de forma directamente proporcional a la superficie de sus parcelas, que miden $3$, $5$ y $7$ hectáreas respectivamente. Sin embargo, el dueño de la maquinaria les hace un descuento del $10 \%$ sobre el total por ser temporada baja. ¿Cuánto tendrá que pagar cada agricultor después de aplicar el descuento?
Reparto inversamente proporcional
Ahora quien tiene más recibe menos. Por ejemplo, en un concurso de robótica se reparten puntos extra de forma inversamente proporcional al tiempo que tardó cada robot: el más rápido (menos tiempo) se lleva más.
El truco: repartir directamente proporcional a los inversos $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$.
¿Por qué? En la proporcionalidad inversa el producto (número $\times$ parte) es constante. Eso es lo mismo que decir que la parte es proporcional a $\frac{1}{\text{número}}$.
En un concurso de robótica, se reparten $140$ puntos extra de forma inversamente proporcional al número de errores cometidos en el circuito. Si el equipo "Alfa" cometió…
En un concurso de robótica, se reparten $140$ puntos extra de forma inversamente proporcional al número de errores cometidos en el circuito. Si el equipo "Alfa" cometió $1$ error, el equipo "Beta" cometió $2$ errores y el equipo "Gamma" cometió $4$ errores, ¿cuántos puntos recibirá cada equipo?
Tres amigos alquilan un carro para hacer un viaje y deben pagar una fianza de $720\,000$ pesos. Deciden que el reparto de la devolución de la fianza (si no hay daños)…
Tres amigos alquilan un carro para hacer un viaje y deben pagar una fianza de $720\,000$ pesos. Deciden que el reparto de la devolución de la fianza (si no hay daños) será inversamente proporcional a las veces que cada uno haya tenido que ser advertido por el conductor por no ponerse el cinturón. Si Dani tuvo $2$ avisos, Elena $3$ avisos y Fede $6$ avisos, ¿qué parte de los $720\,000$ pesos recuperará cada uno?
Una competición de relevos reparte $\$3\,600\,000…
Una competición de relevos reparte $\$3\,600\,000$ entre los tres equipos que llegaron primero a la meta. El premio es inversamente proporcional al tiempo total empleado. El equipo "Rayo" tardó $10$ minutos, el equipo "Gacela" tardó $12$ minutos y el equipo "Flecha" tardó $15$ minutos. ¿Qué cantidad de dinero corresponde a cada equipo? Explica por qué el equipo que tardó menos tiempo recibe la mayor cantidad.
Repartos con dos criterios
A veces se reparte según dos cosas a la vez: por ejemplo, la plata que cada socio invirtió y el tiempo que estuvo invertida. Se multiplican los dos números de cada persona y se reparte proporcionalmente a esos productos.
Tres socios de una "startup" de mensajería ecológica invirtieron inicialmente diferentes cantidades: $\$4000$, $\$7000$ y $\$9000…
Tres socios de una "startup" de mensajería ecológica invirtieron inicialmente diferentes cantidades: $\$4000$, $\$7000$ y $\$9000$. Al finalizar el año, han obtenido un beneficio neto de $\$12000$. ¿Cómo deben repartirse las ganancias de forma directamente proporcional a su inversión inicial?
Problemas que combinan métodos
En los problemas más completos tienes que decidir qué tipo de reparto usar, compararlos o sumar un porcentaje. Un esquema para no perderte:
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Identifica si el reparto es directo o inverso (¿«a más, más» o «a más, menos»?).
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Si es inverso, pasa a números enteros con los inversos y el m.c.m.
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Suma partes, halla $k$ y calcula cada parte.
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Aplica porcentajes o descuentos si el enunciado los pide, y responde con una frase completa.
Una empresa de "Escape Room" ofrece un bono mensual de $\$450…
Una empresa de "Escape Room" ofrece un bono mensual de $\$450$ a repartir entre los tres equipos que logren salir de su sala más difícil en menos de una hora. El reparto se hace de forma inversamente proporcional al tiempo empleado. El equipo "Alpha" salió en $40$ minutos, el equipo "Beta" en $45$ minutos y el equipo "Gamma" en $50$ minutos. Calcula la parte del premio que le corresponde a cada equipo.
Tres municipios deciden financiar un proyecto de reforestación con un total de $\$480\,000\,000…
Tres municipios deciden financiar un proyecto de reforestación con un total de $\$480\,000\,000$. El aporte de cada municipio será inversamente proporcional al número de hectáreas de bosque quemadas en su territorio el año anterior. El municipio A tuvo $200$ ha quemadas, el B tuvo $500$ ha y el C tuvo $800$ ha. Si el municipio con más incendios apela la decisión y se decide que el reparto sea directamente proporcional a dichas hectáreas para ayudar a los más afectados, ¿cuánta diferencia de dinero habría para el municipio B entre el primer método y el segundo?
Un abuelo desea repartir $\$177\,600\,000$ entre sus tres nietos de $15, 20$ y $30…
Un abuelo desea repartir $\$177\,600\,000$ entre sus tres nietos de $15, 20$ y $30$ años de manera que el reparto sea inversamente proporcional a sus edades. Antes de realizar el reparto, el nieto mediano decide donar el $25\%$ de su parte a una ONG. ¿Qué cantidad neta acabará recibiendo el nieto de $20$ años?
Vuelve al principio: los $\$3.000$ del torneo se reparten en forma directamente proporcional a 2, 3 y 5 partidas, y a Valentina, Santiago y Camila les tocan $\$600$, $\$900$ y $\$1.500$.