Problemas con ecuaciones
Santiago dice: «Mi papá tiene el triple de mi edad, y dentro de 10 años va a tener el doble». ¿Cuántos años tiene cada uno? Resolver una ecuación es la parte mecánica. Lo difícil, y lo que de verdad cuenta, es plantearla: convertir un enunciado en una igualdad con letras. Con un método claro y unas cuantas plantillas, la mayoría de los problemas se vuelven rutina. Al final de la página resolvemos el de Santiago.
El método en cuatro pasos
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Elige la incógnita y escribe qué significa: «$x$ = edad de Mateo hoy». Si hay varias cantidades, trata de expresarlas todas con la misma letra.
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Traduce cada dato al lenguaje algebraico (te sirve repasar la tabla de expresiones algebraicas de grado séptimo).
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Plantea la ecuación con la condición que falta y resuélvela.
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Comprueba con el enunciado (no con la ecuación, que podría estar mal planteada) y responde con una frase completa y con unidades.
En un torneo de eSports, el equipo de Alex ha conseguido el triple de puntos que el equipo de Salma. Si entre los dos equipos han sumado un total de $152$ puntos,…
En un torneo de eSports, el equipo de Alex ha conseguido el triple de puntos que el equipo de Salma. Si entre los dos equipos han sumado un total de $152$ puntos, ¿cuántos puntos ha obtenido cada equipo?
Un grupo de amigos compra entradas para un concierto. Las entradas de "pista" cuestan $60\,000$ pesos más que las de "grada". Si compran una de cada tipo y el total de…
Un grupo de amigos compra entradas para un concierto. Las entradas de "pista" cuestan $60\,000$ pesos más que las de "grada". Si compran una de cada tipo y el total de la factura es de $340\,000$ pesos, ¿cuál es el precio de cada entrada?
Kenia ha empezado a ahorrar para comprarse una tableta que cuesta $240$ pesos. Ya tiene ahorrados $60$ pesos y, a partir de ahora, va a guardar $12$ pesos de su paga…
Kenia ha empezado a ahorrar para comprarse una tableta que cuesta $240$ pesos. Ya tiene ahorrados $60$ pesos y, a partir de ahora, va a guardar $12$ pesos de su paga cada semana. ¿Cuántas semanas tardará en tener el dinero suficiente para la compra?
Números y edades
Números consecutivos: $x,\ x + 1,\ x + 2$. Pares (o impares) consecutivos: $x,\ x + 2,\ x + 4$.
Edades: arma una tabla con «hoy», «hace» y «dentro de». El tiempo pasa igual para todos:
| Hoy | Dentro de 6 años | |
|---|---|---|
| Mateo | $x$ | $x + 6$ |
| Juliana | $x + 4$ | $x + 10$ |
Aisha tiene $4$ años más que su hermano pequeño, Iker. Dentro de $6$ años, la suma de las edades de ambos será de $32$ años. Calcula la edad actual de cada uno…
Aisha tiene $4$ años más que su hermano pequeño, Iker. Dentro de $6$ años, la suma de las edades de ambos será de $32$ años. Calcula la edad actual de cada uno planteando una ecuación de primer grado.
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al triple del tercero menos 14 unidades.
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al triple del tercero menos 14 unidades.
Actualmente, la edad de un padre es el triple que la de su hija. Dentro de $12$ años, la edad del padre será solamente el doble que la de su hija. ¿Qué edad tiene cada…
Actualmente, la edad de un padre es el triple que la de su hija. Dentro de $12$ años, la edad del padre será solamente el doble que la de su hija. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?
Problemas geométricos
Dibuja siempre la figura y escribe sus medidas con $x$. Después usa la fórmula que corresponde: perímetro, área, Pitágoras…
Cuando el problema da el perímetro de un triángulo isósceles, los lados iguales valen $x$ y el desigual se escribe con $x$. Para el área necesitas la altura, que sale con Pitágoras en la mitad del triángulo.
Se quiere vallar un huerto escolar de forma rectangular para proteger los cultivos. Sabemos que el largo del huerto mide $5$ metros más que el ancho y que para rodearlo…
Se quiere vallar un huerto escolar de forma rectangular para proteger los cultivos. Sabemos que el largo del huerto mide $5$ metros más que el ancho y que para rodearlo completamente se han necesitado $38$ metros de valla. ¿Cuáles son las dimensiones del huerto?
El área de un triángulo rectángulo es de $30\text{ cm}^2$ y su hipotenusa mide $13\text{ cm}$. Calcula la medida de los dos catetos del triángulo.
El área de un triángulo rectángulo es de $30\text{ cm}^2$ y su hipotenusa mide $13\text{ cm}$. Calcula la medida de los dos catetos del triángulo.
Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide $4$ $cm$ menos que cada uno de los lados iguales y que el perímetro total es de $26$…
Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide $4$ $cm$ menos que cada uno de los lados iguales y que el perímetro total es de $26$ $cm$. Una vez hallados los lados, calcula el área del triángulo.
Cuando aparece $x^2$
A veces el planteo da una ecuación cuadrática (de segundo grado), por ejemplo cuando se multiplican dos longitudes o aparece un cuadrado. Se la lleva a la forma $ax^2 + bx + c = 0$ y se usa la fórmula general:
La edad actual de una madre es el cuadrado de la edad de su hija. Dentro de $9$ años, la edad de la madre será solamente el triple de la edad que tenga su hija en ese…
La edad actual de una madre es el cuadrado de la edad de su hija. Dentro de $9$ años, la edad de la madre será solamente el triple de la edad que tenga su hija en ese momento. Halla las edades actuales de ambas.
Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en un parque municipal. Se sabe que el largo de la zona debe ser $5$ metros mayor que el ancho. Si el área total…
Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en un parque municipal. Se sabe que el largo de la zona debe ser $5$ metros mayor que el ancho. Si el área total destinada a los juegos es de $150$ $m^2$, calcula las dimensiones (largo y ancho) que tendrá dicha zona.
Un diseñador gráfico está trabajando en el logo de una nueva empresa. El diseño consiste en un rectángulo central para el nombre, rodeado por un borde decorativo de…
Un diseñador gráfico está trabajando en el logo de una nueva empresa. El diseño consiste en un rectángulo central para el nombre, rodeado por un borde decorativo de grosor uniforme $x$. El rectángulo interior tiene unas dimensiones de $12\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$. Si el área total del logo (incluyendo el borde) debe ser exactamente el doble del área del rectángulo interior, ¿cuál debe ser el grosor $x$ de dicho borde?
Móviles: encuentros y alcances
Se usa la relación $\text{distancia} = \text{velocidad} \cdot \text{tiempo}$. Dos plantillas:
| Tipo | Ecuación típica |
|---|---|
| Encuentro (salen uno hacia el otro) | $v_1 t + v_2 t = \text{distancia}$ |
| Alcance (mismo sentido) | $v_1 t = \text{ventaja} + v_2 t$ |
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, se encuentran a una distancia de $60$ $km$ y deciden encontrarse en un punto intermedio. Lucía parte de $A$ hacia Marcos a una velocidad…
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, se encuentran a una distancia de $60$ $km$ y deciden encontrarse en un punto intermedio. Lucía parte de $A$ hacia Marcos a una velocidad constante de $20$ $km/h$. Al mismo tiempo, Marcos parte de $B$ hacia Lucía a una velocidad de $10$ $km/h$. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto $A$ ocurrirá el encuentro?
Dos ciudades, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $155\text{ km}$. A las 10:00 h, un ciclista sale de $A$ hacia $B$ a una velocidad constante de…
Dos ciudades, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $155\text{ km}$. A las 10:00 h, un ciclista sale de $A$ hacia $B$ a una velocidad constante de $20\text{ km/h}$. Una hora y media más tarde, una moto sale de $B$ hacia $A$ a una velocidad de $80\text{ km/h}$. ¿A qué hora se cruzarán y a qué distancia de la ciudad $A$ se producirá el encuentro?
Mezclas y repartos
| Tipo | Ecuación típica |
|---|---|
| Mezcla | $p_1 x + p_2 (T - x) = p_m \cdot T$ |
| Reparto entre personas | (precio por persona antes) − (precio por persona después) = diferencia |
En una mezcla, lo que se suma es el valor total de cada parte, no los precios por kilo. Con concentraciones pasa lo mismo: se suma la cantidad de sustancia pura de cada parte, por ejemplo $0{,}10x + 0{,}50(T - x) = c \cdot T$ para una mezcla de $T$ litros con concentración $c$.
En una tienda gourmet se quieren mezclar dos tipos de café. El café "Arábica" tiene un precio de $48\,000$ pesos/kg y el café "Robusta" cuesta $32\,000$ pesos/kg. Si…
En una tienda gourmet se quieren mezclar dos tipos de café. El café "Arábica" tiene un precio de $48\,000$ pesos/kg y el café "Robusta" cuesta $32\,000$ pesos/kg. Si queremos obtener una mezcla de $20$ $kg$ que salga a un precio de $42\,000$ pesos/kg, ¿cuántos kilos de cada tipo de café debemos utilizar?
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $480\,000$ pesos. Al principio eran un número determinado de personas, pero en el último momento se…
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $480\,000$ pesos. Al principio eran un número determinado de personas, pero en el último momento se apuntaron $2$ amigos más, lo que hizo que cada uno tuviera que pagar $20\,000$ pesos menos. ¿Cuántos amigos había inicialmente en el grupo?
En un laboratorio químico se necesitan $20\text{ litros}$ de una solución ácida al $25\%$. El técnico dispone de dos garrafas: una con una mezcla al $10\%$ de ácido y…
En un laboratorio químico se necesitan $20\text{ litros}$ de una solución ácida al $25\%$. El técnico dispone de dos garrafas: una con una mezcla al $10\%$ de ácido y otra con una mezcla concentrada al $50\%$. ¿Cuántos litros de cada garrafa debe mezclar para obtener la concentración deseada?
Porcentajes y trabajo en equipo
Porcentajes en dos partes. Si una parte da el $4\%$ y otra el $7\%$, el total se plantea con lo que aporta cada una. Es la misma idea que en una mezcla: si $x$ es una parte y $T - x$ la otra,
$$0{,}04\,x + 0{,}07\,(T - x) = \text{total obtenido}.$$Trabajo en equipo. Si una llave llena un tanque en $x$ horas, en una hora llena $\dfrac{1}{x}$ del tanque. Cuando trabajan juntas, las partes por hora se suman:
$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{t_{\text{juntas}}}.$$Mario ha ganado $\$4\,800\,000…
Mario ha ganado $\$4\,800\,000$ en un concurso de programación y los divide en dos partes para depositarlas en dos productos financieros diferentes. El primero ofrece una rentabilidad del $4\%$ anual, mientras que el segundo, más arriesgado, ofrece un $7\%$ anual. Si al finalizar el año los beneficios totales obtenidos han sido de $\$252\,000$, ¿qué cantidad destinó a cada producto?
Dos tuberías conectadas a un depósito pueden llenarlo juntas en $4\text{ horas}$. Si se utilizan por separado, la tubería de menor diámetro tarda $6\text{ horas}$ más…
Dos tuberías conectadas a un depósito pueden llenarlo juntas en $4\text{ horas}$. Si se utilizan por separado, la tubería de menor diámetro tarda $6\text{ horas}$ más que la tubería de mayor diámetro en llenar el depósito completo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada tubería en solitario?
Resumen
Volvemos a Santiago: si hoy tiene $x$ años, su papá tiene $3x$. Dentro de 10 años: $3x + 10 = 2(x + 10)$, de donde $x = 10$. Santiago tiene 10 años y su papá 30. Comprobación: dentro de 10 años tendrán 20 y 40 ✓