Parámetros estadísticos
Dos jugadores de baloncesto del colegio promedian los mismos puntos por partido. Uno anota siempre más o menos lo mismo. El otro alterna partidos buenísimos con partidos para el olvido. ¿A cuál elegirías para el último minuto de una final? Un solo número no lo cuenta todo: hace falta saber dónde está el centro de los datos y cuánto se dispersan.
Media, mediana y moda
Antes de calcular, ten claro de quién son los datos: la población es el conjunto completo de individuos que se quiere estudiar (por ejemplo, todos los adolescentes de un colegio) y la muestra es la parte de la población a la que realmente se le pregunta o se le mide.
Cambia los datos y mira dónde quedan la media y la mediana:
En un estudio sobre el uso de redes sociales, se preguntó a un grupo de adolescentes cuántas horas al día dedican a ver videos en TikTok. Los resultados obtenidos son:…
En un estudio sobre el uso de redes sociales, se preguntó a un grupo de adolescentes cuántas horas al día dedican a ver videos en TikTok. Los resultados obtenidos son:
$2, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 5, 2, 1$
Identifica la población del estudio y calcula la moda de las horas de uso.
Siete amigos comparan el número de mensajes que tienen sin leer en su aplicación de mensajería. Los datos son los siguientes: $12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$ Calcula la…
Siete amigos comparan el número de mensajes que tienen sin leer en su aplicación de mensajería. Los datos son los siguientes:
$12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$
Calcula la media aritmética ($\bar{x}$) del número de mensajes pendientes de este grupo.
Durante una semana de entrenamiento, una atleta ha registrado los kilómetros que ha corrido cada día para preparar una carrera: $5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$ Halla la…
Durante una semana de entrenamiento, una atleta ha registrado los kilómetros que ha corrido cada día para preparar una carrera:
$5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$
Halla la mediana ($Me$) de la distancia recorrida. ¿Qué significado tiene este valor en relación con el total de los días entrenados?
Datos en una tabla de frecuencias
Cuando los datos se repiten mucho, conviene una tabla. Cada valor $x_i$ cuenta tantas veces como indica su frecuencia absoluta $f_i$. La cantidad total de datos es $N = \sum f_i$, no la cantidad de filas.
Un profesor ha organizado en una tabla de frecuencias el número de faltas de ortografía que han tenido sus alumnos en el último dictado: | Faltas ($x_i$) | Nº alumnos…
Un profesor ha organizado en una tabla de frecuencias el número de faltas de ortografía que han tenido sus alumnos en el último dictado:
| Faltas ($x_i$) | Nº alumnos ($f_i$) |
|---|---|
| $0$ | $8$ |
| $1$ | $12$ |
| $2$ | $6$ |
| $3$ | $4$ |
Calcula la media del número de faltas de la clase utilizando los datos de la tabla.
Un grupo de 20 adolescentes ha anotado cuántas veces han ido al cine en los últimos seis meses. Los datos obtenidos son los siguientes:…
Un grupo de 20 adolescentes ha anotado cuántas veces han ido al cine en los últimos seis meses. Los datos obtenidos son los siguientes:
$2, 3, 0, 1, 5, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 0, 3$
Organiza estos datos en una tabla de frecuencias y calcula las medidas de centralización: la media aritmética ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) y la moda ($Mo$). ¿Cuál de ellas consideras que representa mejor al grupo?
Valores atípicos: ¿media o mediana?
Un valor atípico es un dato muy alejado del resto. Arrastra la media, pero casi no mueve la mediana. Por eso, para decir qué es «lo típico» en datos con extremos, suele ser mejor la mediana.
Una tienda de ropa joven quiere analizar la edad de sus clientes. Para ello, toma una muestra de 10 personas un sábado por la mañana:…
Una tienda de ropa joven quiere analizar la edad de sus clientes. Para ello, toma una muestra de 10 personas un sábado por la mañana:
$14, 15, 16, 14, 22, 15, 17, 14, 35, 16$
- a) Calcula el rango y la media de edad.
- b) La mediana es $15,5$ años. Si eliminamos al cliente de 35 años (que se considera un valor atípico), calcula la nueva media y la nueva mediana. ¿Qué parámetro ha cambiado más? ¿Por qué crees que ocurre esto?
En una pequeña empresa, los salarios de los $5$ empleados son: $\$4\,400\,000, \$4\,800\,000, \$5\,000\,000, \$5\,200\,000$ y $\$5\,600\,000…
En una pequeña empresa, los salarios de los $5$ empleados son: $\$4\,400\,000, \$4\,800\,000, \$5\,000\,000, \$5\,200\,000$ y $\$5\,600\,000$. El gerente tiene un salario de $\$18\,000\,000$.
- a) Calcula la media y la mediana de los salarios incluyendo al gerente.
- b) ¿Cuál de las dos medidas representa mejor el sueldo "típico" de la empresa? Explica el efecto que produce el salario del gerente (valor extremo) sobre la media y por qué la mediana es un parámetro más robusto en este caso.
- c) Si se quiere dar una imagen de prosperidad en la publicidad de la empresa, ¿qué parámetro se utilizaría? ¿Sería engañoso?
La suma total: problemas con la media
La media dice cuánto le tocaría a cada uno si se repartiera todo por igual. Por eso, media × cantidad = suma total. Esa relación resuelve muchos problemas.
Las notas de Lucía en los cuatro primeros exámenes de Matemáticas han sido un $6,5$, un $4$, un $8$ y un $7,5$. Si todavía le queda un quinto examen por realizar, ¿qué…
Las notas de Lucía en los cuatro primeros exámenes de Matemáticas han sido un $6,5$, un $4$, un $8$ y un $7,5$. Si todavía le queda un quinto examen por realizar, ¿qué nota debe sacar para que su media final sea exactamente de $7$? Justifica tu respuesta planteando una ecuación.
En un grupo de $10$ amigos, la media de sus estaturas es de $172$ cm. Si se incorpora al grupo una persona que mide $194$ cm, ¿cuál será la nueva media? Si después se…
En un grupo de $10$ amigos, la media de sus estaturas es de $172$ cm. Si se incorpora al grupo una persona que mide $194$ cm, ¿cuál será la nueva media? Si después se marcha otra persona que medía $161$ cm, ¿cuál será la media final del grupo? Justifica paso a paso cómo afecta cada cambio a la suma total de las estaturas para realizar el cálculo.
Si cambian todos los datos
Ejemplo: notas con media $3{,}0$ y desviación $0{,}5$. Si se suma 1 punto a todas, queda media 4,0 y desviación 0,5. Si se multiplican por 1,1 (un 10 % más), queda media 3,3 y desviación 0,55.
La clave es que los datos se mueven juntos (suma) o se estiran todos en la misma proporción (producto).
Para inventar una serie con condiciones (moda, mediana, rango, media), piensa primero en el orden de los datos: la mediana fija el centro, el rango fija el mínimo y el máximo, y la moda dice qué número repetir. Después comprueba cada condición con cuentas.
Un profesor ha corregido los exámenes de una clase de $25$ alumnos. La media ha resultado ser de $6,4$ y la desviación típica de $1,2$. Tras revisar uno de los…
Un profesor ha corregido los exámenes de una clase de $25$ alumnos. La media ha resultado ser de $6,4$ y la desviación típica de $1,2$. Tras revisar uno de los ejercicios, decide subir $0,5$ puntos a todos los alumnos de la clase.
- a) ¿Cuál será la nueva media y la nueva desviación típica?
- b) Si en lugar de sumar una cantidad fija, decidiera aumentar todas las notas un $10\%$, ¿cómo se verían afectados ambos parámetros? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de los parámetros estadísticos.
Inventa una serie de $6$ datos estadísticos (números enteros positivos) que cumplan simultáneamente las siguientes condiciones: 1. La moda es $4$. 2. La mediana es $5$.…
Inventa una serie de $6$ datos estadísticos (números enteros positivos) que cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:
-
La moda es $4$.
-
La mediana es $5$.
-
El rango es $10$.
-
La media es mayor que la mediana.
Muestra los cálculos que verifiquen que tu serie cumple todos los requisitos.
Cuartiles y diagrama de caja
Igual que la mediana parte los datos ordenados en dos mitades, los cuartiles los parten en cuatro tramos con aproximadamente el 25 % de los datos cada uno:
-
$Q_1$: primer cuartil (posición del 25 %).
-
$Q_2$: la mediana (50 %).
-
$Q_3$: tercer cuartil (75 %).
El diagrama de caja (con bigotes) resume todo en un dibujo: los bigotes van del mínimo al máximo, la caja va de $Q_1$ a $Q_3$ y una raya marca la mediana. La caja contiene el 50 % central de los datos.
Calcular cuartiles paso a paso
Ordena los datos, halla la mediana y toma como $Q_1$ y $Q_3$ las medianas de la mitad inferior y de la superior. Si la cantidad de datos es impar, no incluyas la mediana en las mitades. Hay otras convenciones y la hoja de cálculo puede dar valores un poco distintos: no es un error, pero no mezcles métodos.
Leer la forma de la caja. Si la raya de la mediana está cerca del centro de la caja y los bigotes son parecidos, los datos son más o menos simétricos. Si un lado de la caja o un bigote es mucho más largo, hay asimetría: en ese lado los datos están más dispersos.
Valores atípicos en el diagrama de caja. Un dato se considera atípico si es menor que $Q_1 - 1{,}5 \cdot RIC$ o mayor que $Q_3 + 1{,}5 \cdot RIC$. Se dibuja aparte, como un punto.
Se ha medido la estatura de un grupo de estudiantes de 3º ESO y se han ordenado los datos de menor a mayor. Los valores de los cuartiles obtenidos son:…
Se ha medido la estatura de un grupo de estudiantes de 3º ESO y se han ordenado los datos de menor a mayor. Los valores de los cuartiles obtenidos son:
$Q_1 = 158 \text{ cm}, Q_2 = 165 \text{ cm}, Q_3 = 172 \text{ cm}$
- a) ¿Cuál es el valor de la mediana?
- b) ¿Qué porcentaje de alumnos mide $172 \text{ cm}$ o menos?
Se ha realizado una encuesta sobre el número de horas semanales que dedican los alumnos de 3º ESO a leer libros por placer. Los parámetros de posición obtenidos son:…
Se ha realizado una encuesta sobre el número de horas semanales que dedican los alumnos de 3º ESO a leer libros por placer. Los parámetros de posición obtenidos son:
$Mín = 0$; $Q_1 = 2$; $Me = 4$; $Q_3 = 7$; $Máx = 12$
Dibuja el diagrama de caja y bigotes (Box-plot) correspondiente. Si un alumno lee 6 horas a la semana, ¿en qué cuarto de la población se encuentra (entre el 0-25%, 25-50%, 50-75% o 75-100%)?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Observa el siguiente diagrama de caja (box-plot) que representa las horas de uso semanales de una aplicación para celular en una muestra de adolescentes: Basándote en el…
Observa el siguiente diagrama de caja (box-plot) que representa las horas de uso semanales de una aplicación para celular en una muestra de adolescentes:
Basándote en el gráfico, responde:
- a) ¿Cuál es el valor de la mediana, el primer cuartil ($Q_1$) y el tercer cuartil ($Q_3$)?
- b) Calcula el rango intercuartílico ($RIC$).
- c) Justifica si la distribución es simétrica o si presenta asimetría. ¿En qué mitad de los datos hay mayor dispersión?
Rango: el parámetro de dispersión más simple
El rango (o recorrido) es la diferencia entre el mayor y el menor dato: $\text{rango} = \text{máx} - \text{mín}$. Mide cuánto abarcan los datos, pero depende solo de los dos extremos.
Dos grupos con la misma media pueden ser muy distintos. Si los datos de uno están todos pegados a la media y los del otro bien abiertos, el segundo tiene mayor dispersión. Comparar los rangos da una primera idea, aunque no usa todos los datos.
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas máximas registradas en un refugio de montaña durante los primeros 5 días de enero. Sabiendo que las temperaturas han…
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas máximas registradas en un refugio de montaña durante los primeros 5 días de enero.
Sabiendo que las temperaturas han sido $4^\circ C, 6^\circ C, 2^\circ C, 8^\circ C$ y $5^\circ C$, calcula el rango o recorrido de la temperatura en esos días.
Observa la siguiente representación de un conjunto de datos sobre una recta numérica. Los puntos representan el número de mascotas que tienen varios vecinos: A partir de…
Observa la siguiente representación de un conjunto de datos sobre una recta numérica. Los puntos representan el número de mascotas que tienen varios vecinos:
A partir de la gráfica, escribe la lista de datos y calcula la moda ($Mo$) y el rango.
Dos equipos de e-sports han anotado sus puntuaciones en las últimas 5 partidas. Equipo A: $85, 88, 90, 92, 95$ Equipo B: $60, 75, 90, 105, 120$ Ambos equipos tienen la…
Dos equipos de e-sports han anotado sus puntuaciones en las últimas 5 partidas.
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Equipo A: $85, 88, 90, 92, 95$
-
Equipo B: $60, 75, 90, 105, 120$
Ambos equipos tienen la misma media, $\bar{x} = 90$. Sin realizar cálculos complejos de desviación típica, observa los datos y explica cuál de los dos equipos es más regular (tiene menos dispersión) y por qué.
Varianza y desviación estándar
Se elevan al cuadrado las distancias para que los positivos y los negativos no se compensen. Por eso la varianza y la desviación nunca son negativos.
En una clase de Educación Física, se ha medido el tiempo de recuperación de dos grupos tras una carrera. Ambos grupos tienen la misma media de pulsaciones,…
En una clase de Educación Física, se ha medido el tiempo de recuperación de dos grupos tras una carrera. Ambos grupos tienen la misma media de pulsaciones, $\bar{x} = 85$ ppm. Sin embargo, la varianza del Grupo 1 es $S^2 = 16$ y la del Grupo 2 es $S^2 = 100$.
- a) Calcula la desviación típica de cada grupo.
- b) ¿En cuál de los dos grupos los alumnos tienen un estado de forma más similar entre ellos? Razona tu respuesta basándote en la dispersión.
Observa los siguientes dos conjuntos de datos que representan los puntos obtenidos por dos jugadores de baloncesto en sus últimos 5 partidos: Jugador A:…
Observa los siguientes dos conjuntos de datos que representan los puntos obtenidos por dos jugadores de baloncesto en sus últimos 5 partidos:
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Jugador A: $18, 20, 22, 19, 21$
-
Jugador B: $10, 30, 5, 25, 30$
En la figura tienes los mismos datos representados sobre una recta numérica (cada punto es un partido).
Sin realizar cálculos complejos de varianza, observa los datos y responde:
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¿Tienen la misma media aritmética?
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¿Cuál de los dos jugadores es más "constante" en sus puntuaciones?
-
Si tuvieras que elegir a uno para jugar el último minuto de una final, ¿a cuál elegirías y por qué? Usa los conceptos de media y dispersión en tu respuesta.
Datos agrupados en intervalos
Cuando los datos están agrupados en intervalos, ya no sabemos los valores exactos. Se reemplaza cada intervalo por su marca de clase (el punto medio) y se trabaja como con una tabla de frecuencias. Los resultados son aproximaciones.
La moda de datos agrupados es la marca de clase del intervalo modal, el de mayor frecuencia. Para la mediana, se calculan las frecuencias acumuladas $F_i$ y se busca el primer intervalo cuyo $F_i$ llega a $N/2$: ese es el intervalo mediano, y su marca de clase es una aproximación de $Me$.
Con frecuencias, la media es $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i f_i}{N}$.
Un club de e-sports ha registrado el tiempo (en minutos) que tardan sus socios en completar un nivel difícil de un videojuego. Los resultados se muestran en esta tabla…
Un club de e-sports ha registrado el tiempo (en minutos) que tardan sus socios en completar un nivel difícil de un videojuego. Los resultados se muestran en esta tabla de datos agrupados:
| Tiempo (min) | [10, 20) | [20, 30) | [30, 40) | [40, 50) |
|---|---|---|---|---|
| N.º jugadores | 4 | 12 | 8 | 6 |
Calcula la media aritmética y la desviación típica de la distribución utilizando las marcas de clase.
Una empresa de mensajería analiza el peso de los paquetes que transporta. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla de frecuencias por intervalos: | Peso en kg…
Una empresa de mensajería analiza el peso de los paquetes que transporta. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla de frecuencias por intervalos:
| Peso en kg $[L_i, L_s)$ | N.º de paquetes ($f_i$) |
|---|---|
| $[0, 2)$ | $12$ |
| $[2, 4)$ | $25$ |
| $[4, 6)$ | $38$ |
| $[6, 8)$ | $15$ |
| $[8, 10)$ | $10$ |
Calcula la media aritmética, la varianza y la desviación típica de la distribución. Para ello, identifica primero las marcas de clase ($x_i$) de cada intervalo.
Coeficiente de variación: comparar la regularidad
La desviación estándar depende de las unidades y del tamaño de los datos. Para comparar la regularidad de dos conjuntos con medias distintas se usa el coeficiente de variación:
$$CV = \dfrac{s}{\bar{x}} \qquad (\text{en porcentaje: } CV_{\%} = 100 \cdot \dfrac{s}{\bar{x}})$$Cuanto menor es el $CV$, más regulares son los datos respecto de su media. El coeficiente de variación es de ampliación en grado octavo. Se usa con medias positivas de magnitudes como tiempos, puntos o masas.
Dos aplicaciones de mensajería, "App A" y "App B", están compitiendo por ser las más estables. Se ha medido el tiempo de respuesta (en milisegundos) en 10 intentos…
Dos aplicaciones de mensajería, "App A" y "App B", están compitiendo por ser las más estables. Se ha medido el tiempo de respuesta (en milisegundos) en 10 intentos distintos, obteniendo los siguientes resultados:
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App A: $\bar{x} = 120$ ms; $\sigma = 15$ ms
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App B: $\bar{x} = 125$ ms; $\sigma = 5$ ms
Calcula el coeficiente de variación ($CV$) de ambas aplicaciones y explica de forma razonada cuál de las dos es más "fiable" o regular en su funcionamiento para un usuario.
Dos jugadores de eSports, Alex y Bea, han registrado sus puntuaciones en las últimas $8$ partidas de un torneo. Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$ Bea:…
Dos jugadores de eSports, Alex y Bea, han registrado sus puntuaciones en las últimas $8$ partidas de un torneo.
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Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$
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Bea: $70, 98, 65, 100, 75, 95, 80, 100$
- a) Calcula la media y la desviación típica de ambos jugadores.
- b) Utiliza el coeficiente de variación ($CV$) para determinar cuál de los dos es un jugador más regular y fiable para el equipo. Explica qué significa en este contexto que un jugador tenga una desviación típica mucho más alta que el otro si sus medias fueran similares.
Vuelve al principio: si necesitas un jugador confiable para asegurar puntos, eliges al constante (desviación baja). Si en la final solo sirve una actuación extraordinaria, quizás te arriesgues con el irregular (desviación alta). La media sola no alcanza para decidir.