El sistema de numeración sexagesimal
Valentina toma un TransMilenio en Bogotá a las 14:50 y el viaje dura 1 h 25 min. ¿A qué hora llega? Si haces $14 + 1 = 15$ horas y $50 + 25 = 75$ minutos, te queda "15:75", y esa hora no existe. Eso pasa porque el tiempo no se cuenta de 10 en 10 sino de 60 en 60. En este apartado aprendes a calcular con tiempos y ángulos sin que se te escape ni un minuto.
Contar de 60 en 60
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional de base $60$: $60$ unidades de un orden forman $1$ unidad del orden siguiente. Lo usamos todos los días en el reloj y para medir ángulos. Los antiguos babilonios ya lo usaban hace más de 3.000 años para sus cálculos astronómicos.
Los babilonios: escribir de 60 en 60
Los babilonios escribían con dos signos: una cuña vertical para el $1$ y una cuña "acostada" para el $10$. Cada posición (cada "cifra" en base $60$) agrupaba hasta $59$ unidades usando esas cuñas, y las posiciones se separaban con un espacio. El número $(2, 31)$ significa $2 \cdot 60 + 31 = 151$.
El sistema de numeración sexagesimal es posicional y tiene como base el número $60$. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) En el sistema…
El sistema de numeración sexagesimal es posicional y tiene como base el número $60$. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
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a) En el sistema sexagesimal, $60$ unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.
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b) El sistema sexagesimal se utiliza actualmente para medir la temperatura.
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c) Una hora tiene $3600$ segundos.
Un arquitecto está diseñando un plano y necesita trabajar con ángulos muy precisos. Si tiene un ángulo de $45^\circ$ y $20'$, exprésalo íntegramente en minutos (forma…
Un arquitecto está diseñando un plano y necesita trabajar con ángulos muy precisos. Si tiene un ángulo de $45^\circ$ y $20'$, exprésalo íntegramente en minutos (forma incompleja).
Los antiguos babilonios utilizaban un sistema de numeración posicional en base $60$. Para representar sus cálculos astronómicos, utilizaban símbolos para el $10$…
Los antiguos babilonios utilizaban un sistema de numeración posicional en base $60$. Para representar sus cálculos astronómicos, utilizaban símbolos para el $10$ ($\langle$) y para el $1$ ($\curlyvee$). Si un astrónomo registró el tiempo de observación de una estrella como el número sexagesimal $(12, 45, 18)$, donde el primer valor son horas, el segundo minutos y el tercero segundos:
- a) Representa dicho número utilizando los símbolos babilonios (agrupando las cuñas para cada posición).
- b) Calcula cuántos segundos totales duró la observación, expresando el resultado en notación científica.
Sumar tiempos y ángulos
Para sumar en forma compleja, sumas columna por columna (horas con horas, minutos con minutos, segundos con segundos) y después "llevas" cuando una columna llega a $60$ o más.
Con los ángulos se hace exactamente igual: se lleva cada $60''$ a $1'$ y cada $60'$ a $1^\circ$.
En una carrera de atletismo, el primer clasificado llegó a la meta con un tiempo de $1$ min $42$ s. El segundo clasificado llegó $15$ segundos después. ¿Qué tiempo marcó…
En una carrera de atletismo, el primer clasificado llegó a la meta con un tiempo de $1$ min $42$ s. El segundo clasificado llegó $15$ segundos después. ¿Qué tiempo marcó el segundo atleta? (Expresa el resultado en minutos y segundos).
Lucía está practicando con su telescopio y ha girado el objetivo un ángulo de $120^\circ$. Si después decide retroceder el giro unos $35^\circ$ $15'$, ¿qué ángulo marca…
Lucía está practicando con su telescopio y ha girado el objetivo un ángulo de $120^\circ$. Si después decide retroceder el giro unos $35^\circ$ $15'$, ¿qué ángulo marca ahora su telescopio?
En un campeonato de e-sports, la primera partida de una final duró $45$ min y $38$ s. Tras un breve descanso, la segunda partida duró $52$ min y $45$ s. Calcula la…
En un campeonato de e-sports, la primera partida de una final duró $45$ min y $38$ s. Tras un breve descanso, la segunda partida duró $52$ min y $45$ s. Calcula la duración total de las dos partidas combinadas y expresa el resultado en el formato de tiempo adecuado.
Restar: "pedir prestado" de a 60
Al restar columna por columna, a veces el número de arriba es menor que el de abajo. Entonces "pides prestada" una unidad de la columna de la izquierda, que vale $60$ de la columna donde la necesitas (no $10$).
Esto sirve, por ejemplo, para hallar el complemento de un ángulo: lo que le falta para llegar a $90^\circ$.
Cuando hay centésimas
En los cronometrajes deportivos (por ejemplo, en el ciclismo o el patinaje) aparecen también las centésimas de segundo: $1\text{ s} = 100$ centésimas. La idea es la misma, pero en esa columna se lleva cada $100$.
En una clase de dibujo técnico, se nos pide trazar el ángulo complementario de un ángulo dado. Si el ángulo original mide $34^\circ 52' 18''$, realiza los cálculos…
En una clase de dibujo técnico, se nos pide trazar el ángulo complementario de un ángulo dado. Si el ángulo original mide $34^\circ 52' 18''$, realiza los cálculos necesarios para hallar la medida exacta del ángulo que falta para completar el ángulo recto ($90^\circ$).
Un editor de video está trabajando en un cortometraje para redes sociales. El proyecto tiene un límite estricto de duración de exactamente $10$ minutos. Tiene cuatro…
Un editor de video está trabajando en un cortometraje para redes sociales. El proyecto tiene un límite estricto de duración de exactamente $10$ minutos. Tiene cuatro clips con las siguientes duraciones:
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Clip 1: $2$ min $14$ s $45$ centésimas.
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Clip 2: $155$ s $80$ centésimas.
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Clip 3: $3$ min $12$ s.
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Clip 4: $1$ min $58$ s $95$ centésimas.
Calcula el tiempo exacto que le sobra o le falta para llegar al límite de los $10$ minutos. (Recuerda que $1$ segundo tiene $100$ centésimas).
Multiplicar y dividir por un número
Multiplicar: multiplicas cada columna por el número y después conviertes lo que pase de $60$.
Dividir: empiezas por la unidad mayor. Lo que sobra lo pasas a la unidad siguiente (multiplicando por $60$), lo sumas a lo que ya había en esa columna y sigues dividiendo.
¿Por qué se puede? Las unidades sobrantes no se pueden repartir enteras, pero convertidas en unidades más chicas sí.
Cuando la división no es exacta y el enunciado pide una medida entera (por ejemplo, en minutos), el sobrante se reparte o se informa aparte.
Un equipo de buceo profesional tiene una reserva de aire que les permite estar bajo el agua durante $3$ horas y $15$ minutos. Si deben repartir ese tiempo de forma…
Un equipo de buceo profesional tiene una reserva de aire que les permite estar bajo el agua durante $3$ horas y $15$ minutos. Si deben repartir ese tiempo de forma equitativa para explorar $5$ sectores diferentes de un arrecife, ¿cuánto tiempo deben dedicar a la observación de cada sector?
En el diseño de una pieza para un motor de alta precisión, se debe dividir un ángulo de $145^\circ \ 25'$ en 6 sectores iguales para colocar unos rodamientos. Por…
En el diseño de una pieza para un motor de alta precisión, se debe dividir un ángulo de $145^\circ \ 25'$ en 6 sectores iguales para colocar unos rodamientos. Por limitaciones de la máquina, la medida de cada sector debe ser un número entero de minutos (sin segundos) y lo más grande posible. Al realizar la división, el ángulo sobrante se reparte equitativamente entre dos márgenes de seguridad laterales.
El dibujo no está a escala: los márgenes son tan pequeños que no se aprecian.
- a) Calcula la medida de cada uno de los 6 sectores.
- b) Calcula el ángulo sobrante y la medida del ángulo de cada margen de seguridad.
Un dron de vigilancia realiza un barrido de seguridad girando sobre su eje. Comienza en una posición de $0^\circ$ y realiza los siguientes movimientos consecutivos: 1.…
Un dron de vigilancia realiza un barrido de seguridad girando sobre su eje. Comienza en una posición de $0^\circ$ y realiza los siguientes movimientos consecutivos:
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Gira a la derecha un ángulo de $125^\circ \ 45' \ 52''$.
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Gira a la izquierda $87^\circ \ 50' \ 15''$.
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Realiza un tercer giro a la derecha que es exactamente el triple del ángulo resultante de la resta de los dos movimientos anteriores.
Calcula la posición final del dron respecto al punto de inicio en grados, minutos y segundos.
De decimales a forma compleja
A veces un dato viene como decimal: "$4{,}72$ órbitas", "$2{,}35\text{ h}$". La parte entera ya está bien; la parte decimal hay que convertirla a la unidad menor multiplicando por lo que vale la unidad entera:
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una hora tiene $60\text{ min}$ y un minuto tiene $60\text{ s}$,
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un grado tiene $60'$ y un minuto de ángulo tiene $60''$,
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una vuelta completa tiene $360^\circ$.
También conviene recordar que, para hallar el tiempo de una vuelta cuando conoces cuántas vueltas dio en un tiempo dado, divides el tiempo total por el número de vueltas. Si el resultado es decimal, la parte decimal se pasa a minutos y segundos como acabas de ver.
Un satélite de telecomunicaciones orbita la Tierra. En su panel de control, un técnico observa que el satélite ha completado $4,72$ órbitas en las últimas $24$ horas. a)…
Un satélite de telecomunicaciones orbita la Tierra. En su panel de control, un técnico observa que el satélite ha completado $4,72$ órbitas en las últimas $24$ horas.
- a) Expresa la parte decimal de las órbitas ($0,72$) en forma compleja utilizando grados, minutos y segundos (sabiendo que una órbita completa son $360^\circ$).
- b) Si el satélite tarda lo mismo en cada órbita, ¿cuál es el tiempo exacto que tarda en completar una sola vuelta? Expresa el resultado en horas, minutos y segundos.
Coincidencias periódicas
Si varias señales se repiten cada cierto número de segundos, saber cuándo coinciden todas a la vez es un problema de múltiplos comunes. Conviene pasar todo a la misma unidad, por ejemplo a segundos.
Para saber cuántas veces coinciden en un intervalo, pasas ese intervalo a segundos y lo divides por el período de coincidencia. Ojo con el instante inicial: la coincidencia de las $22{:}00{:}00$ también cuenta si el intervalo empieza justo ahí.
Un faro emite tres señales de luz diferentes para orientar a los barcos: La luz roja parpadea cada $18$ segundos. La luz verde parpadea cada $45$ segundos. La luz blanca…
Un faro emite tres señales de luz diferentes para orientar a los barcos:
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La luz roja parpadea cada $18$ segundos.
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La luz verde parpadea cada $45$ segundos.
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La luz blanca parpadea cada $1$ minuto y $15$ segundos.
Si a las $22:00:00$ de la noche las tres luces coinciden por primera vez:
- a) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que vuelvan a coincidir? Expresa el resultado en minutos y segundos.
- b) ¿A qué hora exacta coincidirán por segunda vez?
- c) ¿Cuántas veces coincidirán las tres luces desde las $22:00:00$ hasta las $00:00:00$, ambas horas incluidas?
Ángulos en polígonos
La suma de los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados es $S = (n-2) \cdot 180^\circ$. Si conoces todos los ángulos menos uno, lo hallas restando en forma compleja.
Cuando son cinco ángulos conocidos, primero sumas los cinco en forma compleja (con sus "llevadas") y después restas ese total de $720^\circ$.
En un hexágono irregular, se conocen las medidas de cinco de sus ángulos interiores: $A = 110^\circ \ 15' \ 20''$ $B = 125^\circ \ 40'$ $C = 98^\circ \ 25''$…
En un hexágono irregular, se conocen las medidas de cinco de sus ángulos interiores:
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$A = 110^\circ \ 15' \ 20''$
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$B = 125^\circ \ 40'$
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$C = 98^\circ \ 25''$
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$D = 130^\circ \ 12' \ 15''$
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$E = 115^\circ \ 50' \ 30''$
Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados es $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$, calcula la medida del sexto ángulo $F$ en forma compleja.
Volvemos al principio: Valentina llega a las $4{:}15$ p. m. porque $75\text{ min}$ son $1\text{ h } 15\text{ min}$; el "15:75" no existe porque en el reloj cada columna se completa en $60$.