El conjunto de los números enteros

En una partida de un videojuego de supervivencia, las acciones de tu personaje afectan a sus puntos de experiencia. Expresa con un número entero las siguientes situaciones:

1. a) Encuentras un cofre y ganas $450$ puntos.
2. b) Te derrota un enemigo y pierdes $125$ puntos.
3. c) Caes en una trampa y tu puntuación baja $50$ puntos.
4. d) Completas una misión secundaria y recibes $80$ puntos.

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. a) El número $-7$ es un número natural ($\mathbb{N}$).
2. b) Todos los números naturales son también números enteros ($\mathbb{Z}$).
3. c) El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
4. d) El opuesto de un número negativo es siempre negativo.

Calcula el valor absoluto y el opuesto de los siguientes números enteros:

1. a) $-14$
2. b) $+21$
3. c) $-5$
4. d) $+9$

Completa la siguiente tabla en tu cuaderno, rellenando los huecos vacíos para que cada fila sea coherente con la definición de número entero, su opuesto y su valor absoluto:

Número ($z$)	Opuesto ($Op(z)$)	Valor Absoluto ($|z|$)
$-12$
	$+7$
		$5$ (Si $z$ es positivo)
		$9$ (Si $z$ es negativo)
$Op(-3)$

Observa la siguiente recta numérica e indica qué números enteros corresponden a los puntos marcados con las letras $A$, $B$, $C$ y $D$.

Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y representa en ella los siguientes números enteros:

$$-5, \quad +3, \quad -2, \quad 0, \quad +1, \quad -4$$

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Compara los siguientes pares de números utilizando los signos $<$ (menor que) o $>$ (mayor que):

1. a) $-8 \quad \dots \quad -2$
2. b) $+5 \quad \dots \quad -10$
3. c) $0 \quad \dots \quad -3$
4. d) $-1 \quad \dots \quad +1$

Un grupo de amigos está midiendo la temperatura en diferentes ciudades de Europa en un día de invierno:

• Berlín: $-4 \text{ °C}$

• Madrid: $+9 \text{ °C}$

• Oslo: $-12 \text{ °C}$

• Roma: $+15 \text{ °C}$

• Zúrich: $-1 \text{ °C}$

Ordena las ciudades de la más fría a la más calurosa.

Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado varios puntos con letras. Identifica el número entero que corresponde a cada letra y, posteriormente, calcula el valor absoluto de cada uno de ellos.

En una ciudad de alta montaña, el servicio meteorológico registra las siguientes temperaturas a lo largo de un día de invierno:

• A las 06:00 h: $-8$ ºC.

• A las 12:00 h: La temperatura ha subido $10$ ºC respecto a las 06:00 h.

• A las 20:00 h: La temperatura ha bajado $5$ ºC respecto a las 12:00 h.

• A las 00:00 h: La temperatura es el opuesto de la registrada a las 12:00 h.

Representa estas cuatro temperaturas en una recta numérica y ordénalas de menor a mayor utilizando el signo $<$.

Considera dos números enteros $a$ y $b$. Se sabe que $a$ es un número negativo y $b$ es un número positivo. Indica si las siguientes afirmaciones son siempre verdaderas, a veces verdaderas o siempre falsas, justificando tu respuesta con un ejemplo:

1. a) $|a|$ es siempre mayor que $b$.
2. b) El opuesto de $b$ es siempre menor que $a$.
3. c) El valor absoluto de $a$ es siempre un número positivo.
4. d) $b$ es siempre mayor que $a$.

Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando un contraejemplo en caso de que sean falsas:

1. a) Si un número entero $a$ es menor que $b$, entonces el valor absoluto de $a$ siempre es menor que el valor absoluto de $b$ ($|a| < |b|$).
2. b) El opuesto del valor absoluto de cualquier número entero (distinto de cero) es siempre un número negativo.
3. c) No existe ningún número entero cuyo valor absoluto sea igual a su opuesto.

Dados los números enteros $a = -12$ y $b = +5$:

1. a) Calcula la distancia entre ellos en la recta numérica.
2. b) Encuentra el número $c$ que esté exactamente a la misma distancia de $a$ que de $b$. ¿Es $c$ un número entero? Justifica tu respuesta.
3. c) Si $d$ es un número tal que $|d| = |a| + |b|$, ¿qué valores puede tomar $d$?

Escribe todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las dos condiciones que se indican a continuación:

1. Su valor absoluto es menor o igual que $4$: $|x| \le 4$.

2. Son mayores que el opuesto de $2$: $x > Op(+2)$.

Ordena los siguientes números de menor a mayor colocando en primer lugar los valores negativos y utilizando los signos de desigualdad correspondientes:

$$|-7|, \quad +3, \quad Op(-5), \quad -4, \quad 0, \quad Op(+8), \quad -1, \quad |+2|$$

Un dron de juguete se mueve por un pasillo recto que hemos marcado como una recta numérica. El punto de despegue es el $0$. El dron realiza los siguientes movimientos correlativos:

1. Avanza $+6$ metros.

2. Retrocede $10$ metros.

3. Se desplaza hasta el punto opuesto de su posición actual.

4. Finalmente, avanza hasta un punto cuyo valor absoluto es $2$ y que está a la izquierda del origen.

¿En qué punto de la recta se encuentra el dron al final de su trayecto? Dibújalo en un esquema.

Determina todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

• Su valor absoluto es mayor que $5$ y menor o igual que $9$.

• El número $x$ no pertenece al conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$.

• $x$ es un número par.

Representa gráficamente en la recta numérica el conjunto de soluciones obtenidas. Puedes usar como guía esta recta, que está sin marcar:

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Imagina que un termómetro inteligente registra la temperatura máxima y mínima de una ciudad. Un día, la temperatura mínima fue de $-8$ $^\circ C$. La temperatura máxima fue un número entero $T$ que cumple:

• $|T| < 15$

• La diferencia entre la máxima y la mínima (amplitud térmica) es de $12$ grados.

• $T$ es un número mayor que su opuesto.

¿Cuál fue la temperatura máxima registrada? Indica todas las posibilidades si las hubiera.

Asocia un número entero a cada una de las siguientes situaciones extraídas de la vida cotidiana de un adolescente:

1. a) El saldo de tu tarjeta de transporte después de haber gastado $20\,000$ pesos en viajes y tener una recarga previa de $8\,000$ pesos.
2. b) La posición de un submarino de exploración en un videojuego que se encuentra a $150$ metros bajo el nivel del mar.
3. c) La temperatura de una estación de esquí que marca $4$ grados bajo cero.
4. d) El año en el que se estima que se inventó el ábaco, aproximadamente $500$ años antes de Cristo.
5. e) Bajar en el ascensor de un centro comercial desde el piso de los cines (piso $3$) hasta el parqueadero situado dos pisos más abajo.

Estás en un centro comercial muy grande que tiene plantas por encima y por debajo del nivel de la calle (planta $0$).

1. a) Si estás en la planta $-3$ y subes $5$ pisos, ¿en qué planta te encuentras?

1. b) Si estás en la planta $2$ y bajas $3$ pisos, ¿a qué planta llegas?

Un submarino de investigación se encuentra a una profundidad de $-450$ metros respecto al nivel del mar. Lanza una sonda vertical que asciende $125$ metros para tomar una muestra, y posteriormente desciende el triple de lo que había ascendido.

1. a) Expresa mediante números enteros cada uno de los movimientos y la posición final de la sonda.
2. b) Calcula la distancia absoluta entre la posición inicial del submarino y la posición final de la sonda.

Escribe el nombre de un personaje histórico que cumpla las siguientes condiciones:

• Nació en el año $x$, donde $x$ es el opuesto de $356$.

• Murió en el año $y$, donde $y$ es un número entero tal que $|y| = 323$ y $y < 0$.

• Calcula cuántos años vivió este personaje sabiendo que no existe el año cero en el calendario gregoriano (pasa del 1 a.C. al 1 d.C.).

Se define una secuencia de números enteros de la siguiente manera:

1. El primer término es $a_1 = -5$.

2. El segundo término es el opuesto del valor absoluto de $a_1$, aumentado en $2$ unidades.

3. El tercer término es el valor absoluto del segundo término, disminuido en $10$ unidades.

Calcula el cuarto término si este es el opuesto de la suma de los tres términos anteriores.

En una cuadrícula de coordenadas, tres de los vértices de un rectángulo son los puntos $A(-4, 3)$, $B(2, 3)$ y $C(2, -1)$.

1. a) Determina las coordenadas del cuarto vértice $D$ para completar el rectángulo.
2. b) Calcula el perímetro del rectángulo sabiendo que cada unidad de la cuadrícula equivale a $1$ metro.
3. c) ¿Cuál es el punto simétrico del vértice $A$ respecto al eje de abscisas (eje horizontal)? Indica sus coordenadas como un número entero.