Representación en el plano cartesiano
Valentina quiere decirle a Santiago dónde quedó la panadería en el mapa del barrio, sin señalarla con el dedo. En el mapa de Bogotá, en un videojuego o en la pantalla de un radar, cada posición se da con dos números: el primero dice cuánto a la derecha (o a la izquierda) y el segundo, cuánto hacia arriba (o hacia abajo). A ese par de números y a los ejes que los miden se les llama plano cartesiano. Al final de la página sabrás dar la posición de cualquier punto y dibujar figuras con solo sus coordenadas.
Los ejes de coordenadas
En grado sexto representaste números en una recta numérica. Si cruzas dos rectas numéricas, una horizontal y una vertical, obtienes un plano donde cada punto queda determinado por dos números.
Completa las siguientes frases sobre el sistema de coordenadas cartesianas: a) El eje horizontal recibe el nombre de eje de \\\\\\\\ y se representa con la letra $X$. b)…
Completa las siguientes frases sobre el sistema de coordenadas cartesianas:
- a) El eje horizontal recibe el nombre de eje de ________ y se representa con la letra $X$.
- b) El eje vertical recibe el nombre de eje de ________ y se representa con la letra $Y$.
- c) El punto de intersección de ambos ejes se llama ________ y sus coordenadas son $(0, 0)$.
Dibuja un sistema de ejes de coordenadas en tu cuaderno e identifica en qué cuadrante (primero, segundo, tercero o cuarto) se encuentran los siguientes puntos sin…
Dibuja un sistema de ejes de coordenadas en tu cuaderno e identifica en qué cuadrante (primero, segundo, tercero o cuarto) se encuentran los siguientes puntos sin necesidad de representarlos:
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$P(4, 7)$
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$Q(-3, 5)$
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$R(-2, -8)$
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$S(6, -1)$
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Las coordenadas de un punto
Cada punto se escribe como un par ordenado $P(x, y)$: $x$ es la abscisa y $y$ es la ordenada. Para marcarlo: primero cuenta $x$ pasos desde $O$ a la derecha (o a la izquierda si es negativo), luego sube o baja $y$ pasos desde ahí.
Si alguna coordenada tiene decimales, el par se separa con punto y coma: $(2{,}5; 1)$.
En el siguiente plano cartesiano se han marcado las posiciones de cuatro objetos en una habitación. Escribe las coordenadas $(x, y)$ de cada uno de los puntos…
En el siguiente plano cartesiano se han marcado las posiciones de cuatro objetos en una habitación. Escribe las coordenadas $(x, y)$ de cada uno de los puntos representados: el mando ($A$), el libro ($B$), las llaves ($C$) y la mochila ($D$).
Estamos diseñando un nivel para un videojuego en una cuadrícula. Tres de los vértices de una habitación rectangular son los puntos $A(1, 2)$, $B(6, 2)$ y $C(6, 5)$. a)…
Estamos diseñando un nivel para un videojuego en una cuadrícula. Tres de los vértices de una habitación rectangular son los puntos $A(1, 2)$, $B(6, 2)$ y $C(6, 5)$.
- a) Representa los puntos en un plano cartesiano.
- b) ¿Cuáles deben ser las coordenadas del cuarto vértice $D$ para que la habitación sea un rectángulo perfecto?
- c) Une los puntos en orden ($A$, $B$, $C$ y $D$) y comprueba tu respuesta.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Representa en una cuadrícula los siguientes puntos y únelos siguiendo el orden alfabético. Al finalizar, une el último punto con el primero. ¿Qué figura geométrica has…
Representa en una cuadrícula los siguientes puntos y únelos siguiendo el orden alfabético. Al finalizar, une el último punto con el primero. ¿Qué figura geométrica has obtenido?
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$A(-2, 2)$
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$B(2, 2)$
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$C(2, -2)$
-
$D(-2, -2)$
Los cuadrantes
Según el signo de $x$ y de $y$, cada punto cae en uno de los cuatro cuadrantes, que se numeran en sentido contrario a las manecillas del reloj:
Un grupo de arqueólogos está mapeando las ruinas de una antigua ciudad romana. Han situado el centro de un anfiteatro en el origen de coordenadas $O(0,0)$. Representa en…
Un grupo de arqueólogos está mapeando las ruinas de una antigua ciudad romana. Han situado el centro de un anfiteatro en el origen de coordenadas $O(0,0)$. Representa en un plano cartesiano (en tu cuaderno, con papel cuadriculado) los siguientes puntos de interés y determina en qué cuadrante se encuentra cada uno:
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Templo de Júpiter: $A(-4, 3)$
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Termas públicas: $B(5, -2)$
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Puerta Norte: $C(0, 6)$
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Foro: $D(-3, -5)$
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Mercado: $E(6, 4)$
Si decidieran construir una valla que uniera los puntos $E$, $B$ y $A$, ¿qué tipo de figura geométrica se formaría?
Observa los puntos representados en el siguiente radar de navegación marítima. Escribe las coordenadas de los barcos identificados con las letras $P$, $Q$, $R$ y $S$.…
Observa los puntos representados en el siguiente radar de navegación marítima. Escribe las coordenadas de los barcos identificados con las letras $P$, $Q$, $R$ y $S$. Indica además qué barcos tienen la misma abscisa y cuáles están situados sobre uno de los ejes de coordenadas.
Puntos sobre los ejes y puntos simétricos
Un punto puede caer sobre un eje en vez de en un cuadrante: si $x = 0$ está sobre el eje $Y$; si $y = 0$, sobre el eje $X$. El origen $(0, 0)$ no está en ningún cuadrante.
También es útil saber reflejar un punto, como en un espejo:
Un dron de reparto parte del centro logístico, situado en el punto $(0, 0)$. Realiza dos entregas: la primera en el punto $A(0, 4)$ y la segunda en el punto $B(5, 0)$.…
Un dron de reparto parte del centro logístico, situado en el punto $(0, 0)$. Realiza dos entregas: la primera en el punto $A(0, 4)$ y la segunda en el punto $B(5, 0)$.
- a) Indica sobre qué eje se encuentra cada uno de los puntos de entrega.
- b) Si el dron vuela en línea recta desde el punto $A$ hasta el punto $B$, representa la trayectoria en unos ejes de coordenadas (en papel cuadriculado, con una unidad por cuadrado). Marca también los puntos $A$ y $B$.
Dados los puntos $M(3, 2)$ y $N(3, -4)$: a) Represéntalos en el plano cartesiano. b) ¿Qué tienen en común sus coordenadas? c) Si dibujas la recta que pasa por ambos, ¿es…
Dados los puntos $M(3, 2)$ y $N(3, -4)$:
- a) Represéntalos en el plano cartesiano.
- b) ¿Qué tienen en común sus coordenadas?
- c) Si dibujas la recta que pasa por ambos, ¿es una recta horizontal o vertical?
Dibuja el punto $A(-4, 3)$ en tu cuaderno. a) Escribe las coordenadas de un punto $B$ que tenga la misma abscisa que $A$, pero su ordenada sea la opuesta. b) Escribe las…
Dibuja el punto $A(-4, 3)$ en tu cuaderno.
- a) Escribe las coordenadas de un punto $B$ que tenga la misma abscisa que $A$, pero su ordenada sea la opuesta.
- b) Escribe las coordenadas de un punto $C$ que tenga la misma ordenada que $A$, pero su abscisa sea la opuesta.
- c) Representa los tres puntos y observa la simetría que se crea respecto a los ejes.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un videojuego de estrategia, la base de operaciones está en el punto $M(-3, 2)$. El programador quiere colocar tres puestos de vigilancia en posiciones simétricas: El…
En un videojuego de estrategia, la base de operaciones está en el punto $M(-3, 2)$. El programador quiere colocar tres puestos de vigilancia en posiciones simétricas:
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El puesto $P_1$ es el simétrico de $M$ respecto al eje X.
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El puesto $P_2$ es el simétrico de $M$ respecto al eje Y.
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El puesto $P_3$ es el simétrico de $M$ respecto al origen de coordenadas.
Representa los cuatro puntos en el plano cartesiano y escribe sus coordenadas.
Figuras y puntos que cumplen una condición
El plano cartesiano sirve para dibujar figuras: se marcan los vértices y se unen en orden. Con las coordenadas también se pueden contar lados, calcular perímetro y área sobre la cuadrícula, y completar el vértice que falta.
Un par de puntos con la misma abscisa quedan en una recta vertical; con la misma ordenada, en una recta horizontal.
También puedes revisar si un punto cumple una condición reemplazando sus coordenadas. Por ejemplo, para saber si $(x, y)$ cumple $y = 2x$, comprueba si la ordenada es el doble de la abscisa: $(3, 6)$ sí, $(3, 5)$ no. Los puntos que cumplen esa condición quedan alineados sobre una recta que pasa por el origen.
Los datos de una tabla también se representan como puntos. Si a las $0$ horas hay $-2\,^\circ C$ y a las $2$ horas hay $-1\,^\circ C$, se marcan $(0, -2)$ y $(2, -1)$: el tiempo va en el eje $X$ y la temperatura en el eje $Y$. Si unes los puntos, ves cómo cambia la temperatura.
Dibuja un sistema de ejes cartesianos y representa los puntos $A(2, 1)$ y $B(2, 5)$. Encuentra las coordenadas de un punto $C$ de forma que el triángulo $ABC$ sea un…
Dibuja un sistema de ejes cartesianos y representa los puntos $A(2, 1)$ y $B(2, 5)$.
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Encuentra las coordenadas de un punto $C$ de forma que el triángulo $ABC$ sea un triángulo rectángulo e isósceles (que tenga dos lados iguales y un ángulo de $90^\circ$).
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¿Existe más de una solución posible? Escribe las coordenadas de todas las que encuentres.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un dron de reparto sigue una ruta lineal. Despega del almacén en el punto $S(-5, -2)$ y debe pasar por los puntos $T(-2, 1)$ y $U(1, 4)$ antes de llegar a su destino. a)…
Un dron de reparto sigue una ruta lineal. Despega del almacén en el punto $S(-5, -2)$ y debe pasar por los puntos $T(-2, 1)$ y $U(1, 4)$ antes de llegar a su destino.
- a) Representa los puntos $S$, $T$ y $U$ en un plano cartesiano (en papel cuadriculado). ¿Están alineados?
- b) Si el dron continúa su trayectoria siguiendo la misma dirección, ¿pasará por el punto $V(4, 7)$? Justifica tu respuesta gráficamente: representa también $V$ y la recta que une los puntos.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dibuja un plano cartesiano y localiza los siguientes puntos que forman los vértices de un rectángulo: $A(-4, -1)$, $B(3, -1)$ y $C(3, 4)$. Halla las coordenadas del…
Dibuja un plano cartesiano y localiza los siguientes puntos que forman los vértices de un rectángulo: $A(-4, -1)$, $B(3, -1)$ y $C(3, 4)$.
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Halla las coordenadas del cuarto vértice $D$ para cerrar el rectángulo.
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Calcula el perímetro y el área de este rectángulo contando las unidades de la cuadrícula.
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¿En qué cuadrante se encuentra la mayor parte de la superficie del rectángulo?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Identifica cuáles de los siguientes puntos cumplen la condición de que su ordenada es el doble de su abscisa ($y = 2x$): $A(1, 2)$ $B(-2, -4)$ $C(3; 1,5)$ $D(-1, 2)$…
Identifica cuáles de los siguientes puntos cumplen la condición de que su ordenada es el doble de su abscisa ($y = 2x$):
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$A(1, 2)$
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$B(-2, -4)$
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$C(3; 1,5)$
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$D(-1, 2)$
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$E(0, 0)$
Represéntalos en un plano cartesiano. ¿Qué observas al unir estos puntos?
En una estación meteorológica se ha registrado la variación de la temperatura a lo largo de una mañana. Los datos obtenidos son: A las $0$ horas (medianoche):…
En una estación meteorológica se ha registrado la variación de la temperatura a lo largo de una mañana. Los datos obtenidos son:
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A las $0$ horas (medianoche): $-2\,^\circ C$
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A las $2$ horas: $-1\,^\circ C$
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A las $4$ horas: $2\,^\circ C$
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A las $6$ horas: $4\,^\circ C$
En la figura tienes los ejes con su escala (en el eje $X$, cada unidad es $1$ hora; en el eje $Y$, cada unidad es $1\,^\circ C$). Cópiala en tu cuaderno, preferiblemente en papel cuadriculado, y resuelve:
- a) Representa estos datos como puntos $(x, y)$ en el plano cartesiano, donde el eje $X$ representa el tiempo y el eje $Y$ la temperatura.
- b) Une los puntos con segmentos para trazar la gráfica.
- c) ¿Qué significado tiene el punto donde la gráfica corta al eje de abscisas? Indica sus coordenadas de forma aproximada.
- d) ¿Qué significado tiene el punto donde la gráfica corta al eje de ordenadas? Indica sus coordenadas.
Leer gráficas: dominio y rango
Una gráfica en el plano cartesiano relaciona dos variables, por ejemplo el tiempo (eje $X$) y la distancia (eje $Y$). Para describirla:
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El dominio son los valores que toma la variable del eje $X$.
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El rango son los valores que toma la variable del eje $Y$.
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Si la gráfica sube, la variable $y$ aumenta; si baja, disminuye; si es horizontal, no cambia.
Una relación es una función si a cada valor de $x$ le corresponde un solo valor de $y$. Una forma de verlo: una recta vertical dibujada en cualquier lugar corta la gráfica en un solo punto como máximo. Una circunferencia no es función, porque a un mismo $x$ le tocan dos valores de $y$.
Un dron de vigilancia realiza un recorrido de ida y vuelta desde su base. Su distancia a la base (en metros) respecto al tiempo (en segundos) viene dada por la siguiente…
Un dron de vigilancia realiza un recorrido de ida y vuelta desde su base. Su distancia a la base (en metros) respecto al tiempo (en segundos) viene dada por la siguiente gráfica:
a) Determina el dominio y el recorrido de esta función según la gráfica.
b) Identifica los intervalos de tiempo en los que el dron se aleja de la base, se acerca o permanece estático.
c) ¿Cuál es la velocidad del dron (en m/s) durante los primeros $10$ segundos? Recuerda que $v = \frac{distancia}{tiempo}$.
Analiza las siguientes dos gráficas, $G_1$ y $G_2$, representadas en un mismo sistema de ejes, y responde razonadamente. La gráfica $G_1$ es la recta $y=0{,}5x+4$ y la…
Analiza las siguientes dos gráficas, $G_1$ y $G_2$, representadas en un mismo sistema de ejes, y responde razonadamente. La gráfica $G_1$ es la recta $y=0{,}5x+4$ y la gráfica $G_2$ es una circunferencia con centro en el origen y radio $3$.
a) ¿Cuáles de ellas representan una función? Justifica tu respuesta usando el concepto de "unicidad de imagen".
b) Para las que sean funciones, indica si son crecientes o decrecientes en todo su dominio.
c) Fíjate en los puntos de $G_2$ con $x=0$: ¿qué valores de $y$ les corresponden? ¿Qué concluyes sobre si $G_2$ cumple la unicidad de imagen? Pon también otro valor de $x$ distinto de $0$ para el que ocurra lo mismo.
Un biólogo mide la profundidad de un lago en diferentes puntos a lo largo de una línea recta que cruza de una orilla a la otra. La orilla de inicio está en $x=0$ y la…
Un biólogo mide la profundidad de un lago en diferentes puntos a lo largo de una línea recta que cruza de una orilla a la otra. La orilla de inicio está en $x=0$ y la orilla final en $x=10$. La profundidad $y$ (en metros, expresada en valores negativos para indicar profundidad) sigue la función $y = x^2 - 10x$.
a) Crea una tabla de valores para $x \in \{0, 2, 4, 5, 6, 8, 10\}$.
b) Representa los puntos en el plano cartesiano y únelos con una curva suave.
c) ¿En qué punto se alcanza la profundidad máxima del lago y cuál es ese valor?
d) ¿Qué representa el hecho de que en $x=0$ y $x=10$ el valor de $y$ sea $0$?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Una empresa de alquiler de patinetas eléctricas utiliza una tarifa "por tramos" para evitar trayectos demasiado cortos. El costo $y$ (en pesos) depende del tiempo $x$…
Una empresa de alquiler de patinetas eléctricas utiliza una tarifa "por tramos" para evitar trayectos demasiado cortos. El costo $y$ (en pesos) depende del tiempo $x$ (en minutos) según estas reglas:
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Si el trayecto dura entre $0$ y $10$ minutos (inclusive), el costo es de $8\,000$ pesos.
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Si dura más de $10$ y hasta $20$ minutos, el costo es de $16\,000$ pesos.
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A partir de los $20$ minutos, el costo es de $16\,000$ pesos fijos más $400$ pesos por cada minuto adicional que pase de los $20$.
a) Representa gráficamente esta función en el plano cartesiano para un tiempo de $0$ a $40$ minutos.
b) Indica si la función es continua o discontinua. Si es discontinua, señala los puntos de salto.
c) ¿Cuánto pagará una persona que use la patineta durante $25$ minutos? ¿Y una que la use $10$ minutos y un segundo?
Figuras con simetrías y condiciones
Con lo anterior puedes resolver problemas más largos. Estas ideas ayudan:
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Un rombo tiene lados iguales y sus diagonales se cortan en el punto medio de cada una. Si conoces tres vértices, el cuarto sale de reflejar el vértice opuesto respecto al centro.
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El centro de un segmento tiene como coordenadas el promedio de las abscisas y el promedio de las ordenadas de sus extremos.
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Para duplicar una figura desde un vértice fijo, se multiplica por $2$ la distancia de cada vértice al fijo.
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Para dibujar la frontera de una condición como $|x| + |y| = 4$, busca puntos que la cumplan, como $(4, 0)$, $(0, 4)$, $(-4, 0)$, $(0, -4)$ y únelos.
El diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa deportiva se basa en un rombo $ABCD$ (con los vértices en ese orden). Se conocen tres de sus vértices: $A(-2, 1)$,…
El diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa deportiva se basa en un rombo $ABCD$ (con los vértices en ese orden). Se conocen tres de sus vértices: $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$ y $C(4, 1)$, que aparecen en la figura.
a) Determina las coordenadas del cuarto vértice, $D$, para que la figura $ABCD$ sea un rombo, y represéntalo en el plano cartesiano.
b) Calcula las coordenadas del centro del rombo (el punto donde se cortan sus diagonales).
c) Si quisiéramos duplicar el tamaño del logotipo manteniendo el vértice $A$ en su sitio (es decir, multiplicando por 2 las distancias desde $A$ a cada vértice), ¿cuáles serían las nuevas coordenadas de los puntos $B$ y $C$?
En un videojuego de estrategia, el área de influencia de una torre de defensa está limitada por los puntos $(x, y)$ que cumplen la siguiente condición: el valor absoluto…
En un videojuego de estrategia, el área de influencia de una torre de defensa está limitada por los puntos $(x, y)$ que cumplen la siguiente condición: el valor absoluto de su abscisa más el valor absoluto de su ordenada debe ser menor o igual que $4$, es decir, $|x| + |y| \leq 4$.
a) Representa en el plano cartesiano todos los puntos que forman la frontera de esta región (donde $|x| + |y| = 4$). ¿Qué figura geométrica obtienes?
b) Comprueba si los puntos $P(2, 2)$, $Q(-3, 2)$ y $R(0, -4)$ están dentro, fuera o en el borde del área de influencia.
c) Calcula el área de esta región en unidades cuadradas.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En una clase de diseño artístico, los alumnos deben crear figuras mediante simetrías. Se dibuja un triángulo cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ y $C(2, 5)$. a)…
En una clase de diseño artístico, los alumnos deben crear figuras mediante simetrías. Se dibuja un triángulo cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ y $C(2, 5)$.
a) Representa el triángulo original.
b) Dibuja el triángulo simétrico respecto al eje $Y$. Escribe las coordenadas de los nuevos vértices $A'$, $B'$ y $C'$.
c) Dibuja el triángulo simétrico del original respecto al origen de coordenadas $O(0,0)$. Escribe las coordenadas de estos nuevos vértices $A''$, $B''$ y $C''$.
d) ¿Cómo han cambiado los signos de las coordenadas en cada caso?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dos barcos, el Alfa* y el Beta*, se desplazan por el océano. Sus posiciones en el plano cartesiano (donde cada unidad del eje vertical representa $1$ milla náutica)…
Dos barcos, el Alfa y el Beta, se desplazan por el océano. Sus posiciones en el plano cartesiano (donde cada unidad del eje vertical representa $1$ milla náutica) vienen dadas por las siguientes funciones respecto al tiempo $t$ (en horas):
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Barco Alfa: $y = 2t - 4$
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Barco Beta: $y = -t + 5$
Usa los ejes de la figura (cópialos en tu cuaderno) para resolver los apartados.
a) Representa ambas trayectorias en los mismos ejes de coordenadas para valores de $t$ entre $0$ y $6$.
b) ¿En qué punto del mapa se cruzarán ambos barcos? Halla las coordenadas $(t, y)$ de dicho punto visualmente en la gráfica.
c) ¿A qué hora ($t$) sucederá ese encuentro?
Vuelve al principio: para decirle a Santiago dónde está la panadería, Valentina solo necesita dar un par ordenado $(x, y)$ y los ejes de referencia.