Propiedades de las probabilidades

Un desarrollador de videojuegos está analizando la probabilidad de obtener objetos raros en un cofre sorpresa. Los posibles resultados son: "Objeto Común" ($C$), "Objeto Raro" ($R$) y "Objeto Épico" ($E$). Indica si la siguiente asignación de probabilidades es válida según los axiomas de Kolmogorov y justifica tu respuesta:

$P(C) = 0,65$

$P(R) = 0,20$

$P(E) = 0,25$

En un estudio sobre el uso de aplicaciones móviles entre adolescentes, se ha determinado que la probabilidad de que un estudiante tenga instalada una aplicación de edición de video es $P(V) = 0,35$. Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no tenga instalada dicha aplicación.

En una caja de materiales para un proyecto de tecnología hay 50 resistencias. Se sabe que algunas son de $100\ \Omega$ ($A$) y otras de $220\ \Omega$ ($B$), y algunas son nuevas y otras usadas. Se extrae una al azar. Si $P(A) = 0,6$ y los eventos $A$ y $B$ son contrarios, determina:

1. a) La probabilidad de extraer una resistencia de $220\ \Omega$.
2. b) ¿Cuál es el valor de $P(A \cap B)$? Justifica tu respuesta basándote en la relación entre eventos contrarios.

Para la fiesta de graduación, los alumnos de 2º de Bachillerato deben elegir entre tres destinos posibles: Mojácar, Mallorca o Tenerife. Se sabe que la probabilidad de que elijan Mojácar es $P(M) = 0,42$ y la de que elijan Mallorca es $P(L) = 0,38$. Sabiendo que los sucesos son incompatibles (solo pueden elegir un destino), calcula:

1. a) La probabilidad de que los alumnos viajen a Mojácar o a Mallorca.
2. b) La probabilidad de que no elijan ninguno de estos dos destinos y se vayan a Tenerife.

Sean $X$ e $Y$ dos eventos tales que $P(X) = 0,25$ y $P(Y) = 0,55$. Si sabemos que estos eventos son incompatibles, calcula la probabilidad de que:

1. a) Ocurra el evento $X$ o el evento $Y$.
2. b) No ocurra el evento $X$.
3. c) Ocurran $X$ e $Y$ al mismo tiempo.

Según las estadísticas de un colegio, el $75 \%$ de los alumnos usa habitualmente Instagram ($I$), el $60 \%$ usa TikTok ($T$) y el $45 \%$ utiliza ambas redes sociales simultáneamente. Calcula la probabilidad de que un alumno, seleccionado al azar, utilice Instagram o TikTok.

A partir de los datos representados en el siguiente diagrama de Venn, donde los valores indican las probabilidades de cada región, calcula las probabilidades solicitadas:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(B)$
3. c) $P(A \cup B)$

Consideramos los eventos $A$ y $B$ asociados a un experimento aleatorio. Si sabemos que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y que la probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$ es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$, aplica las leyes de Morgan para hallar la probabilidad de la unión, $P(A \cup B)$.

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa las probabilidades de distintas regiones para dos eventos $M$ y $N$ en un espacio muestral $E$.

A partir de los datos del diagrama, calcula las siguientes propiedades:

1. a) $P(M \cup N)$
2. b) $P(M - N)$, es decir, la probabilidad de que ocurra $M$ pero no $N$.
3. c) $P(\bar{M} \cup \bar{N})$ utilizando las Leyes de Morgan.
4. d) ¿Son los eventos $M$ y $N$ incompatibles? Justifica tu respuesta.

Sean $A$ y $B$ dos eventos asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. Además, se conoce que $P(A) = 0,5$ y que $P(B) = 0,4$.

Calcula razonadamente las siguientes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A} | B)$
4. d) Determina si los eventos $A$ y $B$ son independientes.

En una plataforma de contenido en streaming, el $60 \%$ de los suscriptores jóvenes ven series de ciencia ficción (evento $S$), el $45 \%$ ven documentales de naturaleza (evento $D$) y el $20 \%$ de los usuarios ven ambos tipos de contenidos.

Calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar:

1. a) Vea series de ciencia ficción o documentales de naturaleza.
2. b) No vea ninguno de los dos géneros.
3. c) Vea solo uno de los dos géneros.
4. d) Sabiendo que no ve series de ciencia ficción, ¿cuál es la probabilidad de que vea documentales de naturaleza?

En un estudio sobre movilidad sostenible entre estudiantes de bachillerato, se encontró que la probabilidad de que un alumno use la bicicleta para ir al colegio es $P(B) = 0,25$, la de que use el transporte público es $P(T) = 0,60$ y la de que no use ninguno de estos dos medios es $P(\bar{B} \cap \bar{T}) = 0,30$.

1. a) ¿Son los eventos "usar bicicleta" y "usar transporte público" compatibles?
2. b) Calcula la probabilidad de que un alumno use solo la bicicleta.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que use el transporte público si sabemos que no utiliza la bicicleta?

Dados dos eventos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio, se sabe que:

• La probabilidad de que ocurra $A$ es el triple que la de su complemento, $\bar{A}$.

• $P(B) = 0,4$.

• $P(A \cap B) = 0,3$.

Calcula razonadamente:

1. a) $P(A)$.
2. b) $P(A \cup B)$.
3. c) $P(\bar{A} \cap B)$.
4. d) $P(\bar{B} | \bar{A})$.

Un equipo de eSports está analizando su rendimiento en dos mapas distintos de un videojuego: Inferno (evento $I$) y Mirage (evento $M$). Las estadísticas muestran que ganan en Inferno con una probabilidad de $0,7$ y que la probabilidad de ganar en Mirage es de $0,5$. Se ha comprobado que la probabilidad de ganar en al menos uno de los dos mapas es de $0,85$.

1. a) Calcula la probabilidad de que ganen en ambos mapas.
2. b) ¿Es el hecho de ganar en Inferno independiente de ganar en Mirage?
3. c) Calcula la probabilidad de que ganen en Mirage sabiendo que perdieron en Inferno.

En un examen de admisión a la universidad, el $75\%$ de los estudiantes aprueba Matemáticas ($M$) y el $60\%$ aprueba Historia ($H$). Se sabe que el $10\%$ de los estudiantes no aprueba ninguna de las dos materias.

1. a) Calcula la probabilidad de que un estudiante apruebe ambas materias.

1. b) Sabiendo que un estudiante aprobó Historia, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado también Matemáticas?

1. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante apruebe Matemáticas pero no Historia? Explica la relación entre este resultado y la diferencia de eventos $P(M - H)$.

Se consideran dos eventos $X$ e $Y$ tales que son independientes. Se sabe que $P(X) = 0,6$ y $P(X \cup Y) = 0,8$. Utilizando las propiedades de la probabilidad y la definición de independencia, calcula:

1. a) La probabilidad del evento $Y$.
2. b) La probabilidad de que ocurra $X$ pero no ocurra $Y$.
3. c) La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos.

Una aplicación de gestión de tareas clasifica los avisos según su urgencia ($U$) y su tipo: personal ($P$) o trabajo ($T$). Se sabe que $P(U) = 0,35$, $P(P) = 0,55$ y que $P(U \cup P) = 0,75$.

Determina:

1. a) Si los eventos $U$ y $P$ son independientes.
2. b) La probabilidad de que un aviso sea urgente sabiendo que es personal.
3. c) La probabilidad de que un aviso sea personal pero no urgente.
4. d) Si los avisos son o de tipo personal ($P$) o de trabajo ($T$), calcula la probabilidad de que un aviso no sea urgente y sea de trabajo, es decir, $P(\bar{U} \cap T)$.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que sus probabilidades están dadas en función de un parámetro $k$. Se sabe que $P(A) = k$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cup B) = 0,7$.

1. a) Determina el valor de $k$ para que los eventos $A$ y $B$ sean incompatibles.

1. b) Determina el valor de $k$ para que los eventos $A$ y $B$ sean independientes.

1. c) Si $k = 0,4$, calcula la probabilidad de que ocurra $B$ sabiendo que no ha ocurrido $A$, es decir, $P(B | \bar{A})$.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres eventos tales que $A$ y $B$ son independientes entre sí, y $C$ es un evento incompatible con $A$ y con $B$. Se conocen las siguientes probabilidades: $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(C) = 0,1$. Calcula razonadamente:

1. a) $P(A \cup B \cup C)$

1. b) $P((A \cap B) \cup C)$

1. c) $P(\bar{A} | \bar{B})$

Un sistema de ciberseguridad monitoriza dos tipos de ataques: de Phishing ($A$) y de Malware ($B$). Las métricas del último mes indican que $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,15$ y que $P(A \cap B) = 0,25$. Si la probabilidad de sufrir un ataque de Phishing es el doble que la de sufrir uno de Malware ($P(A) = 2P(B)$), obtén:

1. a) La probabilidad de sufrir un ataque de tipo Malware.

1. b) La probabilidad de que, habiendo sufrido un ataque de Malware, este no sea de Phishing.

1. c) Utilizando las Leyes de Morgan, demuestra si es más probable la unión de los contrarios $P(\bar{A} \cup \bar{B})$ o el contrario de la intersección $\overline{P(A \cap B)}$.

En un torneo de E-sports, un jugador tiene una probabilidad $p$ de ganar la primera partida. Si gana la primera, la confianza aumenta y la probabilidad de ganar la segunda es de $0,7$. Si pierde la primera, la probabilidad de ganar la segunda cae a $0,3$. Sabiendo que la probabilidad de ganar la segunda partida es de $0,54$, calcula:

1. a) El valor de la probabilidad $p$.

1. b) La probabilidad de que el jugador haya ganado la primera partida sabiendo que ha perdido la segunda.

Una aplicación de música en streaming clasifica a sus usuarios en tres categorías según su tiempo de escucha: Free ($F$), Premium ($P$) y Family ($S$). El $50\%$ son usuarios Free, el $30\%$ Premium y el resto Family. Se sabe que el porcentaje de usuarios que escuchan podcasts habitualmente es del $20\%$ en la categoría Free, del $60\%$ en la Premium y del $40\%$ en la Family.

1. a) Si elegimos un usuario al azar que escucha podcasts, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la modalidad Premium?

1. b) Si se añade una nueva condición: "Ningún usuario Family que escucha podcasts tiene menos de 18 años". Si elegimos un usuario al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un usuario Family, escuche podcasts y tenga menos de 18 años? Justifica tu respuesta usando el evento imposible.

Demuestra formalmente, utilizando la axiomática de Kolmogorov y las propiedades de la probabilidad, la siguiente afirmación: "Si $A$ y $B$ son dos eventos independientes, entonces sus complementarios $\bar{A}$ y $\bar{B}$ también son independientes".

Ayuda: Debes partir de la definición de independencia $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ y llegar a que $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$.

En un estudio sobre el uso de redes sociales entre jóvenes de 2º de Bachillerato, se analizan dos plataformas: InstaPlus (suceso $A$) y TikToker (suceso $B$). Se sabe que la probabilidad de que un alumno use al menos una de las dos es de $0,8$. Además, la probabilidad de que use la primera pero no la segunda es de $0,3$. Si se sabe que la probabilidad de que use ambas plataformas es la mitad de la probabilidad de que no use ninguna de las dos, calcula:

1. a) La probabilidad de que un alumno, elegido al azar, use la plataforma TikToker.

1. b) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Justifica matemáticamente tu respuesta comparando $P(A \cap B)$ con el producto de sus probabilidades individuales.

1. c) Calcula la probabilidad de que use solo una de las dos plataformas.