Teorema de Bayes

Para llegar al colegio, un estudiante puede ir en bus ($80\,\%$ de las veces) o en bicicleta ($20\,\%$). Cuando va en bus, llega tarde el $10\,\%$ de los días debido al tráfico. Cuando va en bicicleta, solo llega tarde el $5\,\%$ de las veces. Si un día el estudiante llega tarde a clase, calcula la probabilidad de que haya ido en bus.

Una marca de tenis fabrica sus modelos en dos fábricas diferentes: el $70\,\%$ en la fábrica $A$ y el $30\,\%$ en la fábrica $B$. El control de calidad ha detectado que el $2\,\%$ de los tenis de la fábrica $A$ tienen algún defecto de costura, mientras que en la fábrica $B$ los defectos aparecen en el $5\,\%$ de la producción. Un cliente compra unos tenis y descubre que tienen un defecto de costura. Calcula la probabilidad de que hayan sido fabricados en la fábrica $B$.

Un influencer reparte sus publicaciones entre dos redes sociales: Instagram ($75\,\%$) y TikTok ($30\,\%$). Se sabe que el $40\,\%$ de sus fotos en Instagram reciben más de 10.000 "likes", mientras que en TikTok solo el $20\,\%$ de sus videos superan esa cifra. Si recibimos una notificación de que una de sus publicaciones ha superado los 10.000 "likes", ¿qué probabilidad hay de que sea un video de TikTok?

Un filtro de correo electrónico clasifica automáticamente los mensajes como spam. El filtro marca correctamente como spam el $98\,\%$ de los correos que realmente lo son. Sin embargo, también envía a la carpeta de spam el $4\,\%$ de los correos legítimos. Se estima que el $10\,\%$ del correo que llega a un buzón es spam. Si un correo elegido al azar ha sido marcado como spam, calcula la probabilidad de que realmente lo sea.

En una ciudad, el $70\,\%$ de los ciudadanos utiliza una aplicación móvil para pagar el transporte público, mientras que el resto usa tarjeta física. Se observa que el $15\,\%$ de los que usan la aplicación tienen problemas de lectura en el validador, frente al $5\,\%$ de los que usan tarjeta física. Si un validador emite una señal de error de lectura, ¿cuál es la probabilidad de que el usuario esté intentando pagar con la aplicación móvil?

Una factoría tiene dos máquinas, $M_1$ y $M_2$, que producen la misma pieza. $M_1$ produce el triple de piezas que $M_2$. El porcentaje de piezas defectuosas de $M_1$ es del $k\%$ y el de $M_2$ es del $4\%$. Se sabe que si se elige una pieza al azar y resulta ser defectuosa, la probabilidad de que proceda de la máquina $M_2$ es de $4/13$. Calcula el valor de $k$ y, a continuación, la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.

Un fabricante de componentes electrónicos para smartphones tiene tres líneas de producción: A, B y C. La línea A produce el $45\,\%$ de los componentes, la B el $30\,\%$ y la C el $25\,\%$. Se sabe que la probabilidad de que un componente sea defectuoso es del $1\,\%$ en la línea A, del $2\,\%$ en la línea B y del $3\,\%$ en la línea C. Si se selecciona un componente al azar y resulta ser defectuoso, determina razonadamente qué línea de producción es más probable que lo haya fabricado.

Un centro de reciclaje procesa envases que provienen de dos distritos de la ciudad, Norte y Sur. El $60\,\%$ de los envases provienen del distrito Norte. En la planta de procesado se detecta que el $10\,\%$ de los envases del Norte están mal clasificados por los ciudadanos, mientras que en el distrito Sur este porcentaje asciende al $15\,\%$. Si el operario de la cinta selecciona un envase al azar y comprueba que está correctamente clasificado, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del distrito Norte?

En un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes, se dividió a la muestra en tres grupos según el tiempo diario frente a pantallas: Bajo ($20\%$), Medio ($50\%$) y Alto ($30\%$). La probabilidad de que un joven del grupo Bajo lea al menos un libro al mes es de $0,7$; para el grupo Medio es de $0,4$ y para el grupo Alto es de $0,15$. Si seleccionamos a un adolescente al azar y afirma no haber leído ningún libro el último mes, calcula la probabilidad de que pertenezca al grupo de consumo de pantallas "Alto".

Una red social utiliza un algoritmo de inteligencia artificial para detectar comentarios de odio. Se sabe que el $5\,\%$ de los comentarios publicados son realmente inapropiados. El algoritmo identifica correctamente como "inapropiado" el $98\,\%$ de los comentarios que realmente lo son. Sin embargo, etiqueta erróneamente como "inapropiado" el $3\,\%$ de los comentarios que son respetuosos. Si el sistema acaba de bloquear un comentario por marcarlo como "inapropiado", ¿cuál es la probabilidad de que el comentario fuera realmente respetuoso?

Una fábrica de piezas de precisión utiliza una máquina de visión artificial para controlar la calidad de su producción. Se sabe que solo el $0,5\%$ de las piezas fabricadas presenta algún defecto. La máquina detecta correctamente el $96\%$ de las piezas defectuosas, pero también marca erróneamente como defectuosa el $2\%$ de las piezas correctas. Si la máquina acaba de marcar una pieza como defectuosa, calcula la probabilidad de que la pieza esté realmente en perfecto estado.

Una multinacional tecnológica utiliza tres proveedores distintos para los microchips de sus nuevos computadores portátiles para gaming. El proveedor $A$ suministra el $45\%$ de los chips, el proveedor $B$ el $35\%$, y el resto proceden del proveedor $C$. Se sabe por controles de calidad previos que el $1\%$ de los chips de $A$ son defectuosos, mientras que para $B$ y $C$ estos porcentajes son del $2\%$ y el $3\%$, respectivamente. Un usuario compra un portátil y, al mes de uso, sufre una falla crítica debido al microchip. Calcula la probabilidad de que el chip defectuoso haya sido suministrado por el proveedor $B$.