Discusión de un sistema de dos ecuaciones
Dos drones sobrevuelan los Llanos, cerca de Barquisimeto, siguiendo trayectorias rectas que dependen de un parámetro $v$, relacionado con la velocidad del viento. Según el valor de $v$, las trayectorias se cruzan en un único punto o van paralelas (en otros sistemas, incluso podrían coincidir por completo). Discutir un sistema es responder esa pregunta para todos los valores posibles del parámetro, sin resolver el sistema valor por valor.
Qué significa «discutir» un sistema
Recuerda la clasificación y su significado geométrico (cada ecuación es una recta):
| Tipo | Soluciones | Rectas |
|---|---|---|
| Compatible determinado (SCD) | una sola | secantes |
| Compatible indeterminado (SCI) | infinitas | coincidentes |
| Incompatible (SI) | ninguna | paralelas distintas |
Prueba con el deslizador: las rectas son $x-2y=3$ y $mx+4y=-6$. ¿Para qué valor de $m$ se superponen?
Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $x - 2y = 3$ $mx + 4y = -6$
Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$x - 2y = 3$
$mx + 4y = -6$
Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Clasificar con el determinante
Para el sistema $\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$ se define el determinante de los coeficientes:
$$\Delta=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1$$Si los denominadores no se anulan, es lo mismo que comparar razones: $\dfrac{a_1}{a_2}\neq\dfrac{b_1}{b_2}$ da SCD. El determinante tiene la ventaja de que no obliga a dividir, así que no se rompe cuando el parámetro anula un coeficiente.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible: $3x + ky = 5$ $6x - 4y = 2$
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible:
$3x + ky = 5$
$6x - 4y = 2$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$: $tx + y = t$ $x + ty = 1$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$:
$tx + y = t$
$x + ty = 1$
Discute el sistema dependiente del parámetro $c$: $cx - 2y = 1$ $x - cy = 2$
Discute el sistema dependiente del parámetro $c$:
$cx - 2y = 1$
$x - cy = 2$
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $3x - 2y = 4$ $x + y = m$ ¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu…
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$3x - 2y = 4$
$x + y = m$
¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu respuesta matemáticamente.
Valores especiales y solución general
Hay que buscar todos los valores del parámetro que anulan $\Delta$, y estudiar cada uno por separado. Muchas veces $\Delta$ da una ecuación de segundo grado con dos valores.
Cuando el sistema es SCI, las infinitas soluciones se escriben con un parámetro libre. En el caso $k=3$ anterior, hacemos $y=\lambda$ y despejamos de $x+3y=1$:
$$x=1-3\lambda,\qquad y=\lambda,\qquad \lambda\in\mathbb{R}$$Son todos los puntos de la recta $x+3y=1$.
Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso. $2x - y = a$ $-4x + 2y = 8$
Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso.
$2x - y = a$
$-4x + 2y = 8$
Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado: $x + by = 2$ $bx + y = 2$
Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado:
$x + by = 2$
$bx + y = 2$
Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:…
Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:
$mx + (m+1)y = m$
$mx + 2my = 2$
Parámetros en distintos lugares y contextos
El parámetro puede aparecer también en los términos independientes, o en más de un coeficiente a la vez. El método es el mismo: calcula $\Delta$, halla los valores que lo anulan y estudia cada uno. Cuando el parámetro está solo en los términos independientes, $\Delta$ no depende de él.
Para los drones, $\Delta=v\cdot v-2\cdot2=v^2-4$. Se anula en $v=2$ y $v=-2$; para cualquier otro viento las trayectorias se cruzan en un punto. En los dos valores especiales hay que reemplazar y comparar las ecuaciones.
Dos situaciones que conviene revisar:
-
Parámetro en una cuenta con letras en el término independiente, como $cx+4y=c^2$: al reemplazar un valor especial, calcula también el $c^2$.
-
Condiciones extra, como «la solución está sobre el eje de ordenadas ($x=0$)» o «no existe punto de equilibrio»: primero discute, y después resuelve el sistema solo en el caso SCD, o impón la condición.
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:…
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:
$vx + 2y = 4$
$2x + vy = v$
Discute para qué valores de $v$ las trayectorias de los drones se cruzan en un único punto, son paralelas o coinciden exactamente.
Discute, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones: $(k+1)x + y = 2$ $kx + (k-1)y = 1$
Discute, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones:
$(k+1)x + y = 2$
$kx + (k-1)y = 1$
En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$: $2x - ty = 3$…
En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$:
$2x - ty = 3$
$tx + 2y = 4$
Discute la compatibilidad del sistema según los valores de $t$. ¿Puede darse el caso de que no exista un punto de equilibrio (es decir, que el sistema sea incompatible) si $t$ es un número real?
Determina para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre…
Determina para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre exactamente sobre el eje de ordenadas ($x=0$):
$ax + 3y = 6$
$2x - ay = a$
En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo…
En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo específico:
$cx + 4y = c^2$
$x + cy = 2$
Discute la compatibilidad del sistema en función de la concentración $c$.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$: $ax + y = b$ $x + ay = 2$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$:
$ax + y = b$
$x + ay = 2$
Discute el siguiente sistema lineal en función del parámetro $k$ (considera que $k \neq 0$ y $k \neq 1$): $\frac{x}{k} + \frac{y}{k-1} = 1$ $kx + (k-1)y = 2$
Discute el siguiente sistema lineal en función del parámetro $k$ (considera que $k \neq 0$ y $k \neq 1$):
$\frac{x}{k} + \frac{y}{k-1} = 1$
$kx + (k-1)y = 2$
En un circuito eléctrico, las intensidades $I_1$ e $I_2$ cumplen el siguiente sistema dependiente de una resistencia variable $R$: $R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$…
En un circuito eléctrico, las intensidades $I_1$ e $I_2$ cumplen el siguiente sistema dependiente de una resistencia variable $R$:
$R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$
$(R-1) I_1 + R I_2 = R^2$
Discute la existencia y unicidad de las intensidades en función del valor de la resistencia $R$.
Algunos casos con trampa:
-
Si la ecuación tiene fracciones con el parámetro en el denominador (como $\frac{x}{k}$), multiplica para eliminarlas, sabiendo que $k$ no puede ser cero.
-
Si el parámetro es un ángulo $\alpha$ con senos y cosenos, calcula igual $\Delta$ y usa $\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
-
Si hay dos parámetros ($m$ y $n$), separa casos: primero cuándo $\Delta=0$ (una condición entre $m$ y $n$), y dentro de ella mira los términos independientes.
Discute el sistema en función del parámetro $m$: $x + y = m$ $m^2 x + y = m^2$
Discute el sistema en función del parámetro $m$:
$x + y = m$
$m^2 x + y = m^2$
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función…
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función del parámetro $k$ para evitar posibles cortocircuitos.
Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$: $mx + ny = 1$ $nx + my = 1$ Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea…
Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$:
$mx + ny = 1$
$nx + my = 1$
Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea incompatible.
Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$: $(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$ $(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$ ¿Existe algún…
Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$:
$(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$
$(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$
¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el sistema no sea compatible determinado? Justifica tu respuesta matemáticamente.
Recta y curva: cuántos puntos de intersección
Si una de las ecuaciones no es lineal, ya no hay determinante. Pero la idea de discutir se mantiene: sustituyes una ecuación en la otra, llegas a una ecuación cuadrática, y el discriminante $\Delta=b^2-4ac$ te dice cuántas soluciones hay:
-
$\Delta>0$: dos puntos (la recta es secante a la curva).
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$\Delta=0$: un punto (tangente).
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$\Delta<0$: ningún punto.
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el…
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el número de puntos de intersección entre el proyectil y el láser en función del parámetro $m$ (que representa la pendiente del láser).
Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$: $x^2 - y^2 = k$ $x + y = 2$
Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$:
$x^2 - y^2 = k$
$x + y = 2$
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación…
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación $x + y = c$, donde $c$ es un parámetro que depende de su posición inicial. Discute el número de puntos de colisión entre el satélite y el cometa en función de $c$.
Vuelta al principio: para clasificar las trayectorias de los drones calculas $\Delta=v^2-4$. Si $v\neq\pm2$ se cruzan en un único punto; para $v=2$ y $v=-2$ reemplazas y comparas las ecuaciones: en ambos casos las razones de los términos independientes son distintas, así que van paralelas (SI). En este sistema nunca llegan a coincidir (no hay caso SCI).