Secciones cónicas y lugares geométricos
El plato parabólico de una antena, la órbita de un planeta, el cable de un puente colgante y el reflector de un faro parecen no tener nada en común. Sin embargo, las curvas que describen son solo cuatro, y las cuatro salen de cortar un cono con un plano. En esta página las vas a conocer como lugares geométricos: conjuntos de puntos que cumplen una condición de distancias. La circunferencia ya la conoces. Ahora se suman la elipse, la hipérbola y la parábola.
Cortar un cono: de dónde salen las cónicas
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene?…
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifica tu respuesta basándote en la definición geométrica de las secciones cónicas.
El lugar geométrico: puntos que equidistan
Los tres ejemplos más sencillos son la circunferencia, la mediatriz y la bisectriz. Arrastra el punto $P$ y observa qué distancia se mantiene.
Para pasar de la idea a la ecuación, usa siempre la fórmula de la distancia entre dos puntos:
$$d(P,A)=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}$$Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se…
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se toman tres puntos de su contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ y $C(4, 1)$. Utilizando el concepto de lugar geométrico (intersección de mediatrices), calcula las coordenadas del centro original del plato y su radio.
Puntos que equidistan de rectas
Cuando intervienen rectas, necesitas la distancia de un punto $P(x_0,y_0)$ a la recta $Ax+By+C=0$.
Dos casos importantes:
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Puntos que equidistan de dos rectas secantes: son las dos bisectrices de los ángulos que forman, que son rectas perpendiculares entre sí.
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Puntos a distancia constante $k$ de una recta: son dos rectas paralelas a ella, una a cada lado.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de…
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de ambas avenidas y que, por restricciones urbanísticas, esté situado sobre la calle peatonal $x + y = 5$. Calcula las coordenadas de las posibles ubicaciones para la plaza.
Construir la ecuación paso a paso
El método es siempre el mismo:
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Llama $P(x,y)$ al punto genérico.
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Escribe la condición con las fórmulas de distancia.
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Elimina las raíces elevando al cuadrado.
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Simplifica y reconoce la curva, completando cuadrados si hace falta.
Elevar al cuadrado es válido aquí porque ambos miembros son distancias, así que son positivos.
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de…
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halla la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifica de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su…
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su distancia al punto de anclaje $F(-1,0)$. Determina la ecuación de la trayectoria que describe el extremo del brazo e identifica qué tipo de cónica representa.
Condiciones con distancias al cuadrado
Hay condiciones que ya vienen sin raíces: piden la suma o la diferencia de los cuadrados de dos distancias. Son más rápidas de trabajar.
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir,…
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los…
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres sensores se mantiene constante e igual a $50$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y describe la figura resultante.
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es…
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del velero y demuestra analíticamente que dicha trayectoria es una recta perpendicular al segmento que une las dos boyas.
Parábola, elipse e hipérbola como lugares geométricos
Las tres curvas nuevas se definen por una condición de distancias. Entenderlas así permite deducir sus ecuaciones desde cero.
La elipse se traza con una cuerda: clavas dos estacas (los focos), atas la cuerda y la mantienes tensa con una punta. La longitud de la cuerda es la suma constante.
Con focos sobre el eje $x$ en $(\pm c,0)$ y constante $2a$, se llega a estas ecuaciones. Los pasos son los mismos de antes: elevar al cuadrado y simplificar, dos veces.
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es…
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determina la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos…
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos de una cuerda de $10\text{ m}$ de longitud a ambas estacas y, manteniendo la cuerda tensa con un punzón, traza el contorno sobre la tierra. Halla la ecuación del lugar geométrico del borde del parterre.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5,0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km).…
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5,0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km). El retardo en la recepción de la señal indica que el barco se encuentra siempre $60\text{ km}$ más cerca de la estación $B$ que de la estación $A$. Obtén la ecuación del lugar geométrico sobre el cual navega el barco.
Otras condiciones geométricas
La misma técnica sirve para condiciones diferentes. Estas son las más comunes:
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Producto de distancias a los ejes: $\lvert x\rvert\cdot\lvert y\rvert=k$.
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Producto de pendientes de dos rectas que unen $P$ con puntos fijos: $m_1\cdot m_2=k$.
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Ángulo recto en $P$: las pendientes $m_1$ y $m_2$ cumplen $m_1\cdot m_2=-1$.
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Circunferencia que pasa por un punto y toca una recta: el centro está a la misma distancia del punto (el radio) y de la recta.
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Para que…
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Para que los sensores de la cámara funcionen de manera óptima, el ángulo de visión $\angle APB$ debe ser exactamente de $90^\circ$. Halla analíticamente el lugar geométrico de las posibles posiciones de la cámara, excluyendo los puntos $A$ y $B$. Describe la figura resultante.
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de…
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de abscisas y pasar obligatoriamente por un sensor fijo situado en $P(0,2)$. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describen los posibles centros $C(x,y)$ de dicha sección transversal e identifica la cónica.
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el…
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el producto de las distancias a ambos ejes es constante e igual a $16$ define unas curvas isofónicas. Halla la ecuación del lugar geométrico y demuestra que está formado por dos hipérbolas equiláteras, calculando la distancia exacta entre los vértices de cada una de ellas.
La excentricidad: una receta para las cuatro curvas
La excentricidad mide cuánto se aparta la curva de la circunferencia. En una parábola, $d(P,F)=d(P,r)$ es justo el caso $e=1$ que ya viste.
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determina la ecuación…
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determina la ecuación del lugar geométrico en función del parámetro $k$. ¿Para qué valor exacto de $k$ el lugar geométrico degenera en una recta en lugar de formar una parábola?
Demuestra analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con…
Demuestra analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con $e > 0$ y $d > 0$) representa una elipse si $e < 1$, una parábola si $e = 1$ y una hipérbola si $e > 1$. Escribe la ecuación general obtenida antes de clasificarla.
Vuelve al principio: las órbitas de los planetas son elipses, el reflector de un faro y el plato de una antena parabólica tienen forma de parábola, y los sistemas de navegación con estaciones costeras usan hipérbolas. Las cuatro curvas son lugares geométricos de puntos que cumplen una condición de distancias.