Inversa de una matriz usando determinantes

En un videojuego de estrategia, las coordenadas de transformación de una unidad se gestionan mediante la matriz $B$:

$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

Halla la matriz adjunta, $Adj(B)$, y comprueba si la matriz $B$ admite matriz inversa calculando previamente su determinante.

Determina los valores del parámetro real $a$ para los cuales el siguiente determinante de orden 4 se anula. Para resolverlo, utiliza exclusivamente las propiedades de los determinantes para simplificar la expresión antes de desarrollar por los elementos de una línea:

$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & 2 & -1 & 3 \\ a^2 & 4 & 1 & 9 \\ a^3 & 8 & -1 & 27 \end{vmatrix} $$

(Pista: Observa que se trata de una estructura similar a un determinante de Vandermonde).

Calcula la matriz inversa $A^{-1}$ de la siguiente matriz utilizando el método de los determinantes:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Recuerda que la fórmula es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

Un ingeniero está diseñando un sistema de control automático. Para que el sistema sea estable, la matriz de coeficientes $M$ no debe ser singular (su determinante debe ser distinto de cero). Dada la matriz:

$M = \begin{pmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{pmatrix}$

Determina para qué valores del parámetro real $m$ la matriz $M$ es singular y, por tanto, el sistema no tendría inversa.

En una pequeña empresa de logística, se registra la cantidad de palés de tres tipos de productos en tres almacenes distintos mediante la siguiente matriz $A$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Calcula el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus para verificar la consistencia de los datos de inventario.

Dada la matriz $A$ dependiente del parámetro real $k$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & k & 3 \\ 4 & 1 & -k \end{pmatrix}$$

1. a) Determina de forma razonada para qué valores de $k$ la matriz $A$ no posee matriz inversa.
2. b) Para el caso $k = 0$, calcula la matriz inversa $A^{-1}$ utilizando el método de los adjuntos.

En el diseño de un filtro digital para señales de audio, se utiliza una matriz de transferencia $H$ definida como:

$$H(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$$

1. a) Halla los valores del parámetro real $x$ para los cuales el determinante de la matriz es nulo.

1. b) Para $x = 2$, calcula la matriz inversa $H^{-1}$. ¿Qué significado tiene que el determinante sea muy próximo a cero en aplicaciones de ingeniería?

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$.

1. a) Halla el polinomio $P(x) = |A|$.
2. b) Determina los valores de $x$ para los que $A$ no tiene inversa.
3. c) Para los valores de $x$ en los que $A$ es inversible, encuentra la expresión de $A^{-1}$ en función de $x$.
4. d) Comprueba que para $x=0$, se cumple que $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 3I)$.

Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada $X$ de orden 3 es $|X| = -4$. Sin calcular los elementos de las matrices, obtén el valor de los siguientes determinantes:

• a) $|X^{-1}|$

• b) $|X^2|$

• c) $|X \cdot X^t|$

Dada la matriz de orden 2:

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

Calcula razonadamente, aplicando las propiedades de los determinantes:

• a) El valor de $|A|$.

• b) El valor del determinante de su traspuesta, $|A^t|$.

• c) El valor de $|2A|$.

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 tales que $|A| = 2$ y $|B| = -3$. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcula el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot B|$
2. b) $|(2A)^{-1}|$
3. c) $|A \cdot B^{-1} \cdot A^2|$
4. d) $|B \cdot adj(B)|$ (Recuerda la relación entre una matriz, su adjunta y su determinante).

Resuelve la ecuación matricial $A \cdot X = B$, donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

Para ello, calcula primero la inversa de $A$ mediante determinantes y despeja la matriz $X$.

Resuelve la siguiente ecuación matricial $X \cdot A + B = C$, donde:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Justifica previamente por qué es posible encontrar la matriz inversa de $A$ y despeja la incógnita $X$ antes de realizar los cálculos numéricos.

Se sabe que una matriz cuadrada $A$ verifica la siguiente igualdad: $A^2 - 5A + 6I = O$, donde $I$ es la matriz identidad y $O$ es la matriz nula.

1. a) Demuestra razonadamente que la matriz $A$ es inversible.
2. b) Expresa la matriz inversa $A^{-1}$ como una combinación lineal de las matrices $A$ e $I$.
3. c) Si $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, comprueba que cumple la ecuación inicial y halla su inversa utilizando el resultado del apartado (b).