Ejercicios: Problemas con ecuaciones de segundo grado

Encuentra un número positivo tal que el triple de su cuadrado sea exactamente igual a doce veces ese mismo número.

El producto de dos números enteros consecutivos es $156$. ¿Cuáles son esos números?

La base de una parcela rectangular mide $5$ metros más que su altura. Si su área total es de $150 \text{ m}^2$, calcula sus dimensiones.

Si al cuadrado de la edad que tendrá Lucía dentro de $3$ años le restamos el triple de la edad que tenía hace $2$ años, obtenemos $55$. ¿Qué edad tiene Lucía actualmente?

En un triángulo rectángulo, un cateto mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Si la hipotenusa mide $13 \text{ cm}$, calcula la longitud de ambos catetos.

El producto de dos números pares positivos consecutivos es $288$. Halla dichos números.

La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es $130$. Determina de qué números se trata.

Si se aumenta el lado de un cuadrado de cerámica en $4 \text{ cm}$, su área se cuadruplica. ¿Cuánto medía el lado inicialmente?

Una piscina rectangular de $10 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho está rodeada por un pasillo de césped de anchura uniforme $x$. Si el área exclusiva del pasillo es de $80 \text{ m}^2$, ¿cuál es la anchura del pasillo?

Para fabricar una cometa, se necesita una tela en forma de rombo. Se sabe que la diagonal mayor mide $4 \text{ cm}$ más que la diagonal menor, y que el área total de la cometa es de $96 \text{ cm}^2$. Calcula la longitud de ambas diagonales.

Un grupo de amigos decide comprar un regalo de bodas que cuesta $120$ euros, a pagar a partes iguales. A última hora se unen dos amigos más al grupo, lo que hace que cada uno de los anteriores deba pagar $3$ euros menos de lo inicialmente previsto. ¿Cuántos amigos conformaban el grupo inicial?

Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ (en metros) en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión matemática $h = 40t - 5t^2$. ¿En qué instantes de tiempo el proyectil se encontrará exactamente a una altura de $75 \text{ metros}$?

El precio de coste de un lote de camisetas es de $300$ euros. El vendedor decide quedarse con $5$ camisetas para su familia y vender el resto a $2$ euros más de lo que le costó cada una. Si tras venderlas todas obtiene un beneficio neto de $60$ euros (es decir, ingresa $360$ euros en total), ¿cuántas camisetas compró inicialmente?

Una empresa de tecnología fabrica paneles solares con forma rectangular. El largo del panel debe ser el doble de su ancho menos $1 \text{ metro}$. Si para un nuevo modelo se requiere que la superficie del panel sea de $28 \text{ m}^2$, halla sus dimensiones.

La diferencia entre las edades de un abuelo y su nieto es de $56$ años. Hace $4$ años, la edad del abuelo era exactamente el cuadrado de la edad del nieto. ¿Qué edades tienen actualmente?

En una competición de atletismo, se lanza un peso. La trayectoria sigue una parábola dada por la ecuación $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros e $y$ la altura en metros. ¿A qué distancia horizontal tocará el suelo?

Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Se desea construir una caja sin tapa cortando un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblando las solapas hacia arriba. Si el área de la base de la caja resultante debe ser de $336 \text{ cm}^2$, calcula el valor de $x$ y el volumen de la caja.

Dos tuberías llenan juntas un depósito de agua en $6$ horas. Si se abriera solo la primera tubería, tardaría $5$ horas menos en llenar el depósito que si se abriera solo la segunda. ¿Cuánto tardaría cada tubería en llenar el depósito de forma independiente?

Dos coches parten a la vez desde el mismo cruce por dos carreteras perpendiculares. Uno circula a $10 \text{ km/h}$ más rápido que el otro. Al cabo de $2$ horas, la distancia en línea recta que los separa es de $100 \text{ km}$. ¿A qué velocidad circula cada uno?

Un inversor coloca un capital de $5000$ euros a un determinado tipo de interés compuesto anual. Al cabo de dos años, el capital acumulado es de $5408$ euros. ¿Cuál fue el tipo de interés anual aplicado?

Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60 \text{ km}$. A la vuelta, debido a la fatiga, su velocidad media es $5 \text{ km/h}$ menor que a la ida, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo trayecto. ¿A qué velocidad circuló a la ida?

Un artesano quiere diseñar un marco de madera para un espejo rectangular. Las dimensiones del espejo son $80 \text{ cm}$ de alto por $60 \text{ cm}$ de ancho. El marco tendrá un grosor uniforme de $x \text{ cm}$ en la parte superior e inferior, pero en los laterales el grosor será el doble, es decir, $2x \text{ cm}$. Si el área total del marco (sin incluir el espejo) debe ser de $2400 \text{ cm}^2$, determina el valor de $x$.

Una compañía de teatro alquila una sala por $800$ euros para una representación. Para cubrir los gastos, deciden fijar un precio para la entrada. El día de la función asisten $40$ espectadores más de los esperados, por lo que el organizador decide rebajar el precio de la entrada en $1$ euro, recaudando exactamente los $800$ euros necesarios. ¿Cuántos espectadores asistieron finalmente a la representación?

Una lata cilíndrica de conservas se diseña de modo que su altura es exactamente igual al diámetro de su base. Si para fabricar la lata (incluyendo las dos tapas circular y la cara lateral) se han utilizado exactamente $150\pi \text{ cm}^2$ de hojalata, calcula el radio de la base.