Exercicis: Problemes amb equacions de segon grau

Troba un nombre positiu tal que el triple del seu quadrat sigui exactament igual a dotze vegades aquest mateix nombre.

El producte de dos nombres enters consecutius és $156$. Quins són aquests nombres?

La base d'una parcel·la rectangular mesura $5$ metres més que la seva altura. Si la seva àrea total és de $150 \text{ m}^2$, calcula les seves dimensions.

Si al quadrat de l'edat que tindrà la Lucía d'aquí a $3$ anys li restem el triple de l'edat que tenia fa $2$ anys, obtenim $55$. Quina edat té la Lucía actualment?

En un triangle rectangle, un catet mesura $7 \text{ cm}$ més que l'altre. Si la hipotenusa mesura $13 \text{ cm}$, calcula la longitud de tots dos catets.

El producte de dos nombres parells positius consecutius és $288$. Troba aquests nombres.

La suma dels quadrats de dos nombres naturals senars consecutius és $130$. Determina de quins nombres es tracta.

Si s'augmenta el costat d'un quadrat de ceràmica en $4 \text{ cm}$, la seva àrea es quadruplica. Quant mesurava el costat inicialment?

En Marcos resol en el seu examen el problema següent: «El terra d'un magatzem rectangular té una llargada que fa $5\text{ m}$ més que la seva amplada. Si la superfície total és de $66\text{ m}^2$, quines són les seves dimensions?».

Per resoldre'l, planteja $x(x+5) = 66 \implies x^2 + 5x - 66 = 0$. Aplica la fórmula general i obté correctament les arrels algebraiques $x_1 = 6$ i $x_2 = -11$. Tot seguit, conclou: «Hi ha dos magatzems possibles: un de $6\text{ m}$ d'amplada per $11\text{ m}$ de llargada, i un altre d' $11\text{ m}$ d'amplada per $16\text{ m}$ de llargada, perquè com que les distàncies no poden ser negatives, li canviem el signe al $-11$ i li sumem $5$».

1. a) Identifica amb precisió l'error conceptual d'en Marcos en interpretar la solució negativa $x_2 = -11$.
2. b) Explica per què l'equació algebraica dóna dues solucions mentre que el problema geomètric només n'admet una.
3. c) Corregeix la resposta final determinant les veritables dimensions del magatzem i calcula quants metres lineals de sòcol es necessitaran per vorejar tot el seu perímetre (sense descomptar portes).

Un artesà de ceràmica de Talavera de la Reina dissenya una rajola decorativa quadrada. Per a una comanda especial, modifica el motlle augmentant-ne la base en $3\text{ cm}$ i reduint-ne l'altura en $2\text{ cm}$, i obté una peça rectangular la superfície de la qual és de $84\text{ cm}^2$.

1. a) Sense resoldre l'equació, fes una estimació prèvia: tenint en compte que l'àrea final ($84\text{ cm}^2$) ha de ser molt semblant a la del quadrat inicial, estima entre quins dos nombres enters consecutius s'ha de trobar la longitud del costat original de la rajola.
2. b) Defineix la incògnita, planteja l'equació de segon grau corresponent i resol-la pas a pas per trobar la mesura exacta del costat de la rajola original.
3. c) Comprova si la teva solució matemàtica encaixa amb la teva estimació inicial i verifica en l'enunciat que les dimensions del nou rectangle compleixen l'àrea indicada.

Una piscina rectangular de $10 \text{ m}$ de llargada per $6 \text{ m}$ d'amplada està envoltada per un passadís de gespa d'amplada uniforme $x$. Si l'àrea exclusiva del passadís és de $80 \text{ m}^2$, quina és l'amplada del passadís?

Per fabricar un estel, es necessita una tela en forma de rombe. Es sap que la diagonal major mesura $4 \text{ cm}$ més que la diagonal menor, i que l'àrea total de l'estel és de $96 \text{ cm}^2$. Calcula la longitud de totes dues diagonals.

Un grup d'amics decideix comprar un regal de casament que costa $120$ euros, a pagar a parts iguals. A última hora s'uneixen dos amics més al grup, la qual cosa fa que cadascun dels anteriors hagi de pagar $3$ euros menys del que s'havia previst inicialment. Quants amics conformaven el grup inicial?

Un projectil es llança verticalment cap amunt. La seva altura $h$ (en metres) en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió matemàtica $h = 40t - 5t^2$. En quins instants de temps el projectil es trobarà exactament a una altura de $75 \text{ metres}$?

El preu de cost d'un lot de samarretes és de $300$ euros. El venedor decideix quedar-se amb $5$ samarretes per a la seva família i vendre la resta a $2$ euros més del que li va costar cadascuna. Si després de vendre-les totes obté un benefici net de $60$ euros (és a dir, ingressa $360$ euros en total), quantes samarretes va comprar inicialment?

Una empresa de tecnologia fabrica panells solars amb forma rectangular. La llargada del panell ha de ser el doble de la seva amplada menys $1 \text{ metre}$. Si per a un nou model es requereix que la superfície del panell sigui de $28 \text{ m}^2$, troba les seves dimensions.

La diferència entre les edats d'un avi i el seu nét és de $56$ anys. Fa $4$ anys, l'edat de l'avi era exactament el quadrat de l'edat del nét. Quines edats tenen actualment?

En una competició d'atletisme, es llança un pes. La trajectòria segueix una paràbola donada per l'equació $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, on $x$ és la distància horitzontal en metres i $y$ l'altura en metres. A quina distància horitzontal tocarà el terra?

Per fomentar la mobilitat sostenible, un municipi dissenya un nou aparcament tancat per a bicicletes de $180\text{ m}^2$ de superfície. Per les limitacions de la vorera de vianants, el fons (amplada) del recinte ha de fer exactament $8\text{ m}$ menys que la seva façana (llargada).

1. a) Anomena $x$ la longitud de la façana en metres, escriu l'expressió que representa el fons i planteja una única equació de segon grau que modeli la superfície.
2. b) Resol l'equació, analitza el significat de les dues solucions matemàtiques obtingudes i determina les dimensions reals de la parcel·la.
3. c) L'ajuntament disposa d'un pressupost màxim de $8000\text{ euros}$. Si el paviment drenant costa $35\text{ euros/m}^2$ i la tanca de seguretat perimetral que envolta els quatre costats costa $25\text{ euros}$ per metre lineal, comprova numèricament si el pressupost assignat és suficient per executar l'obra.

Un docent vol preparar per a la seva classe un problema de disseny geomètric la resolució del qual condueixi a l'equació de segon grau $x^2 - 15x + 54 = 0$, les solucions de la qual són $x_1 = 9$ i $x_2 = 6$.

1. a) Redacta l'enunciat d'un problema contextualitzat (per exemple, tancar un hort o dissenyar una terrassa) en el qual intervinguin el semiperímetre ($15\text{ m}$) i la superfície ($54\text{ m}^2$), de manera que en plantejar-lo sorgeixi directament aquesta equació.
2. b) Resol l'equació i interpreta per què en aquest cas particular TOTES DUES solucions numèriques són positives i vàlides, explicant què representen geomètricament.
3. c) Modifica únicament la dada de la superfície en el teu enunciat per plantejar una situació físicament impossible (és a dir, que no existeixi cap rectangle que es pugui construir amb aquest semiperímetre). Justifica la teva proposta analitzant el signe del discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) de la nova equació resultant.

Es disposa d'una planxa de cartró rectangular de $30 \text{ cm}$ de llargada per $20 \text{ cm}$ d'amplada. Es vol construir una caixa sense tapa tallant un quadrat de costat $x$ a cada cantonada i doblant les pestanyes cap amunt. Si l'àrea de la base de la caixa resultant ha de ser de $336 \text{ cm}^2$, calcula el valor de $x$ i el volum de la caixa.

Dues canonades omplen juntes un dipòsit d'aigua en $6$ hores. Si s'obrís només la primera canonada, trigaria $5$ hores menys a omplir el dipòsit que si s'obrís només la segona. Quant trigaria cada canonada a omplir el dipòsit de manera independent?

Dos cotxes parteixen a la vegada des de la mateixa cruïlla per dues carreteres perpendiculars. Un circula a $10 \text{ km/h}$ més ràpid que l'altre. Al cap de $2$ hores, la distància en línia recta que els separa és de $100 \text{ km}$. A quina velocitat circula cadascun?

Un inversor col·loca un capital de $5000$ euros a un determinat tipus d'interès compost anual. Al cap de dos anys, el capital acumulat és de $5408$ euros. Quin va ser el tipus d'interès anual aplicat?

Un ciclista viatja d'un poble A a un poble B, separats per $60 \text{ km}$. A la tornada, a causa de la fatiga, la seva velocitat mitjana és $5 \text{ km/h}$ menor que a l'anada, per la qual cosa triga $1$ hora més a realitzar el mateix trajecte. A quina velocitat va circular a l'anada?

Un artesà vol dissenyar un marc de fusta per a un mirall rectangular. Les dimensions del mirall són $80 \text{ cm}$ d'altura per $60 \text{ cm}$ d'amplada. El marc tindrà un gruix uniforme de $x \text{ cm}$ a la part superior i inferior, però als laterals el gruix serà el doble, és a dir, $2x \text{ cm}$. Si l'àrea total del marc (sense incloure el mirall) ha de ser de $2400 \text{ cm}^2$, determina el valor de $x$.

Una companyia de teatre lloga una sala per $800$ euros per a una representació. Per cobrir les despeses, decideixen fixar un preu per a l'entrada. El dia de la funció hi assisteixen $40$ espectadors més dels esperats, per la qual cosa l'organitzador decideix rebaixar el preu de l'entrada en $1$ euro, recaptant exactament els $800$ euros necessaris. Quants espectadors van assistir finalment a la representació?

Una llauna cilíndrica de conserves es dissenya de manera que la seva altura és exactament igual al diàmetre de la seva base. Si per fabricar la llauna (incloent-hi les dues tapes circulars i la cara lateral) s'han utilitzat exactament $150\pi \text{ cm}^2$ de llauna, calcula el radi de la base.

Una comunitat de veïns a Logroño disposa d'un pati interior quadrat de costat desconegut. En una reforma, decideixen reduir $2\text{ m}$ en un lateral per instal·lar una rampa d'accessibilitat i ampliar $6\text{ m}$ en el costat perpendicular aprofitant un magatzem en desús. El nou pati rectangular resultant té una superfície de $105\text{ m}^2$.

Per trobar les dimensions del pati original, dos membres de la junta plantegen camins diferents:

• Mètode A (Carlos): Tria com a incògnita $x$ el costat del pati quadrat original i planteja l'equació: $(x - 2)(x + 6) = 105$.

• Mètode B (Lucía): Tria com a incògnita $y$ l'amplada menor del nou pati rectangular, dedueix que la llargada farà $y + 8$ i planteja l'equació: $y(y + 8) = 105$, calculant el costat original al final com a $y + 2$.

1. a) Desenvolupa i resol els dos mètodes completament. Comprova que amb tots dos s'arriba a les mateixes dimensions inicials i finals.
2. b) Compara algebraicament les dues equacions: quina presenta coeficients més manejables per al càlcul mental del discriminant? Quins avantatges i inconvenients té cadascuna pel que fa al risc de badada a l'hora de respondre a la pregunta final del problema?

Un tren d'alta velocitat cobreix habitualment el trajecte directe de $300\text{ km}$ entre Madrid i Saragossa a una velocitat mitjana constant $v$ (en $\text{km/h}$). A causa d'unes obres a la infraestructura, en una jornada ha de reduir la seva velocitat mitjana en tot el recorregut en $50\text{ km/h}$, fet que provoca un retard de mitja hora ($0,5\text{ h}$) respecte al seu horari habitual.

1. a) Defineix amb claredat què representa la incògnita $v$ i planteja una única equació que relacioni la distància fixa, les dues velocitats mitjanes i la diferència de temps entre els dos viatges.
2. b) Transforma la relació anterior en una equació de segon grau en forma general ($av^2+bv+c=0$), resol-la i determina la velocitat mitjana habitual del tren i la durada normal del trajecte.
3. c) L'equació matemàtica dóna dues solucions reals ($v_1$ i $v_2$). Explica raonadament per què es descarta l'arrel negativa en aquest context físic.
4. d) La normativa de qualitat ferroviària exigeix que les demores per obres no superin els $20\text{ minuts}$ ($\frac{1}{3}\text{ d'hora}$). Sense necessitat de resoldre una altra equació quadràtica completa, raona qualitativament si la reducció de velocitat admissible hauria de ser més gran o més petita de $50\text{ km/h}$ per complir aquest estàndard.