Ejercicios: Proporcionalidad inversa

Indica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son inversamente proporcionales:

• La velocidad a la que circula un tren y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.

• El número de kilos de manzanas que compras y el precio total que pagas.

• El número de obreros que trabajan en una obra y los días que tardan en finalizarla.

• La edad de una persona y su altura.

• El caudal de agua que arroja un grifo y el tiempo necesario para llenar una piscina.

Completa la siguiente tabla sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales, y calcula la constante de proporcionalidad $k$.

Un equipo de $4$ pintores tarda $6$ días en pintar la fachada de un edificio. Si la empresa decide enviar a solo $3$ pintores, ¿cuántos días tardarán en realizar exactamente el mismo trabajo?

Un coche circula a una velocidad constante de $90\text{ km/h}$ y tarda $4$ horas en llegar a su destino. Si en el viaje de vuelta quiere hacer el mismo recorrido en $3$ horas, ¿a qué velocidad constante debe circular?

Un grifo arroja un caudal de $15$ litros por minuto y tarda $20$ minutos en llenar un depósito. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar el mismo depósito otro grifo cuyo caudal es de $25$ litros por minuto?

Reparte la cantidad de $300$ € en partes inversamente proporcionales a los números $2$ y $3$.

Un engranaje de $20$ dientes está conectado a un motor y da $30$ vueltas por minuto. Si está acoplado a otro engranaje más pequeño que tiene $15$ dientes, ¿cuántas vueltas por minuto dará este segundo engranaje?

La siguiente gráfica representa una relación de proporcionalidad inversa entre las magnitudes $X$ e $Y$. Observa el punto destacado y determina la constante de proporcionalidad $k$. A continuación, calcula qué valor tomará la magnitud $Y$ cuando $X = 4$.

Una cuadrilla de $12$ obreros se compromete a terminar la reforma de un parque en $15$ días. Al cabo de $5$ días de trabajo, $2$ obreros se dan de baja por enfermedad y no pueden ser sustituidos. ¿Cuántos días tardarán en terminar el resto de la obra los obreros que quedan?

Un abuelo decide repartir $4500$ € entre sus tres nietos de forma inversamente proporcional a sus edades, que son $10$, $12$ y $15$ años. Calcula la cantidad exacta de dinero que le corresponde a cada uno de los nietos.

Un grifo $A$ es capaz de llenar un depósito en $6$ horas, mientras que un grifo $B$ lo llenaría en $4$ horas. Si ambos grifos se abren simultáneamente estando el depósito vacío, ¿cuánto tiempo tardarán en llenarlo? Expresa el resultado en horas y minutos.

Un tren de mercancías realiza un trayecto a una velocidad media de $120\text{ km/h}$ y tarda $2$ horas y $45$ minutos. Si en el viaje de vuelta, con mayor carga, el trayecto dura $3$ horas y $18$ minutos, ¿cuál ha sido su velocidad media en el viaje de regreso?

Para envasar la cosecha de aceite de una cooperativa se necesitan $420$ garrafas de $5$ litros de capacidad. Si finalmente se decide utilizar botellas de cristal de $1,5$ litros, ¿cuántas botellas serán necesarias? Además, si cada botella vacía cuesta $0,20$ €, ¿cuál será el coste total de los envases?

Un grupo de amigos quiere comprar en conjunto un regalo de cumpleaños. La siguiente gráfica muestra cuánto debe pagar cada uno (en euros) dependiendo del número de amigos que participen finalmente. Observa los puntos destacados para deducir el precio total del regalo. Si al final solo participan $3$ amigos, ¿cuánto pagará cada uno?

Una fundación protectora de animales debe repartir $1550\text{ kg}$ de pienso entre tres refugios. Deciden hacerlo de forma inversamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$ (que representan índices de recursos propios de cada refugio). Calcula cuántos kilogramos de pienso recibirá cada uno.

En una carrera de relevos solidaria, un equipo de corredores mantiene una velocidad media de $12\text{ km/h}$ y tarda $40$ minutos en completar su recorrido. Si en la próxima edición entrenan para mantener una velocidad media de $15\text{ km/h}$, ¿cuánto tiempo ganarán respecto a su marca anterior? Expresa la diferencia en minutos.

Un depósito de agua para riego dispone de dos grifos de llenado y un desagüe. El primer grifo lo llenaría estando vacío en $4$ horas, y el segundo grifo lo llenaría en $6$ horas. Por su parte, el desagüe es capaz de vaciar el depósito por completo en $8$ horas. Si el depósito está vacío y se abren los tres conductos simultáneamente, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse? Expresa el resultado en horas, minutos y segundos.

Una empresa reparte una bonificación de $7200$ € entre tres de sus empleados de forma inversamente proporcional al número de faltas de asistencia que han tenido durante el año: $2$, $3$ y $6$ faltas respectivamente. Antes de ingresarles el dinero, la empresa aplica una retención de impuestos escalonada: al que más cobra le retiene un $15\%$, al mediano un $10\%$ y al que menos cobra un $5\%$. ¿Qué cantidad neta de dinero recibe cada empleado finalmente?

Una empresa constructora calcula que una plantilla de $20$ obreros terminará un edificio en $40$ días. Después de $10$ días de trabajo ininterrumpido, una huelga de transporte de materiales obliga a detener la obra durante $5$ días. Para no incumplir el contrato, la empresa decide contratar a más personal. ¿Cuántos obreros adicionales habrá que contratar para terminar el edificio en el plazo total inicialmente previsto?

Un mecanismo industrial consta de tres engranajes $A$, $B$ y $C$ conectados en línea (el $A$ mueve al $B$, y el $B$ mueve al $C$). El engranaje $A$ tiene $24$ dientes, el $B$ tiene $36$ dientes y el $C$ tiene $16$ dientes. Si el motor hace girar el engranaje $A$ a una velocidad de $120$ revoluciones por minuto (rpm), calcula la velocidad de giro del engranaje $C$. ¿Influye el número de dientes del engranaje intermedio $B$ en la velocidad final del engranaje $C$? Justifica tu respuesta.

Las dos curvas del siguiente gráfico muestran relaciones de proporcionalidad inversa del tipo $y = \frac{k}{x}$. La curva $A$ pasa por el punto $(2, 6)$ y la curva $B$ pasa por el punto $(3, 8)$. Halla las constantes de proporcionalidad $k_A$ y $k_B$. A continuación, calcula el valor exacto de $x$ para el cual la curva $B$ toma el valor $y = 6$.

Tres socios de un negocio deben repartirse los gastos de una reparación en el local de forma inversamente proporcional a los años de antigüedad de sus vehículos de empresa, que son $2$, $4$ y $x$ años. Si el gasto total de la reparación asciende a $1400$ € y se sabe que el primer socio (el del vehículo de $2$ años) ha tenido que pagar $800$ €, ¿cuál es la antigüedad del coche del tercer socio y cuánto pagará el segundo?

Un ciclista aficionado realiza una ruta de montaña lineal (ida y vuelta por el mismo camino). Durante el trayecto de subida mantiene una velocidad media de $12\text{ km/h}$, y durante el trayecto de bajada su velocidad media es de $36\text{ km/h}$. Si el tiempo total pedaleando ha sido exactamente de $4$ horas, ¿cuál es la distancia total que ha recorrido el ciclista sumando la ida y la vuelta?

Una novela tiene un total de $240$ páginas. En su formato original, cada página contiene $30$ líneas y cada línea tiene una media de $60$ caracteres. La editorial decide lanzar una edición de bolsillo, reduciendo el tamaño de la letra de modo que ahora caben $40$ líneas por página y $75$ caracteres por línea. Si además deciden añadir $15$ páginas extra de ilustraciones a color (que no llevan texto), ¿cuántas páginas tendrá en total la nueva edición de bolsillo?