Ejercicios: Proporcionalidad directa

Indica cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales, justificando tu respuesta en cada caso:

• El tiempo que funciona un grifo a caudal constante y los litros de agua que arroja.

• La edad de una persona y su altura en centímetros.

• El número de obreros que pintan una valla y el tiempo que tardan en terminarla.

• Los kilogramos de naranjas comprados en la frutería y el precio total a pagar.

Las magnitudes $A$ y $B$ son directamente proporcionales. Sabiendo que cuando $A = 5$, el valor de $B = 15$:

• Calcula la constante de proporcionalidad directa $k = \frac{B}{A}$.

• Si $A = 2$, ¿cuánto vale $B$?

• Si $B = 24$, ¿cuánto vale $A$?

• Si $A = 12$, ¿cuánto vale $B$?

Para preparar una receta de bizcocho para 4 personas se necesitan 200 gramos de harina, 150 gramos de azúcar y 2 huevos. Calcula las cantidades exactas necesarias de cada uno de estos ingredientes si queremos preparar el bizcocho para 10 personas.

En una papelería, un paquete cerrado con 8 cuadernos idénticos cuesta 14,40 €. Utiliza el método de reducción a la unidad para calcular cuánto costaría comprar exactamente 5 de esos cuadernos.

Calcula el valor de la incógnita $x$ en la siguiente proporción para que las fracciones sean equivalentes:

$\frac{18}{x} = \frac{45}{20}$

Dos amigos, Alba y Bruno, deciden comprar un décimo de lotería que cuesta 20 €. Alba aporta 8 € y Bruno aporta 12 €. Si el décimo resulta premiado con 50.000 €, ¿cómo deben repartir el premio para que las cantidades recibidas sean directamente proporcionales a lo que aportó cada uno?

En un mapa diseñado a escala 1:50.000, la distancia medida en línea recta entre dos pueblos es de 8 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos expresada en kilómetros?

En una oficina de cambio de divisas del aeropuerto, nos informan de que por 50 euros nos entregan 55 dólares americanos. ¿Cuántos dólares nos darán si decidimos cambiar 320 euros?

Unas zapatillas que cuestan $60\ \text{€}$ tienen una rebaja del $25\%$ y, sobre el precio ya rebajado, se aplica un cupón adicional del $10\%$ de descuento. Calcula el precio final que se paga por las zapatillas.

La cuota mensual de un gimnasio era de $40\ \text{€}$. En enero subió un $10\%$ y en junio volvió a subir otro $10\%$ sobre la cuota vigente. Calcula la cuota actual y razona si las dos subidas equivalen a una única subida del $20\%$.

Tres socios deciden abrir un negocio de hostelería y aportan un capital inicial de 15.000 €, 25.000 € y 40.000 € respectivamente. Al cabo de un año, el negocio ha generado unos beneficios netos de 12.800 €. Si acuerdan repartir los beneficios de forma directamente proporcional al capital aportado por cada uno, ¿cuánto dinero le corresponde a cada socio?

La siguiente gráfica muestra la relación entre la distancia recorrida por un coche a velocidad constante y los litros de combustible consumidos.

A partir de la gráfica, determina la constante de proporcionalidad que representa el consumo del vehículo (litros consumidos por cada 100 km). Después, calcula matemáticamente cuántos litros consumirá el coche en un viaje largo de 425 km.

Un grifo industrial arroja un caudal constante de agua. Se ha cronometrado que en 15 minutos vierte 45 litros exactos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar por completo una piscina vacía cuya capacidad es de 13,5 m³? Expresa el resultado final en horas y minutos. (Dato: 1 m³ equivale a 1000 litros).

En el plano de un arquitecto, dibujado a escala 1:150, el salón de una vivienda tiene forma rectangular y mide 4 cm de ancho por 6 cm de largo. Calcula primero el área del salón en el plano y después deduce cuál es su área real expresada en metros cuadrados.

Un sistema mecánico está compuesto por tres ruedas dentadas conectadas: A, B y C. Se sabe que el número de vueltas que dan mantiene una relación de proporcionalidad directa. Por cada 4 vueltas completas que da la rueda A, la rueda B da 3 vueltas. Además, por cada 5 vueltas de la rueda B, la rueda C da 2 vueltas. Si el motor hace que la rueda A gire 600 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la rueda C?

Un abuelo decide repartir 25.200 € entre sus tres nietos de forma directamente proporcional a sus edades, que son 12, 15 y 18 años. Sin embargo, antes de hacer el reparto oficial, calcula cuánto le tocaría a cada uno y se da cuenta de que el nieto mediano recibiría una cantidad concreta. ¿Cuál es esa cantidad? Calcula también el dinero que reciben los otros dos nietos.

Un orfebre funde dos metales para crear una aleación especial. La proporción de plata y cobre en la aleación es de 9 a 2. Si para una pieza ha utilizado exactamente 45 gramos de cobre, ¿cuántos gramos de plata ha necesitado fundir? ¿Cuál es el peso total de la aleación creada?

A cierta hora de la mañana, los rayos del sol inciden con el mismo ángulo, creando sombras proporcionales a las alturas de los objetos. Un poste vertical de 3,2 metros de altura proyecta una sombra de 2,4 metros. En ese mismo instante, un edificio cercano proyecta una sombra que mide 18 metros. Aplicando la proporcionalidad directa, ¿cuál es la altura real del edificio?

El precio de un teléfono móvil sin IVA es de $350\ \text{€}$. Se le aplica primero el IVA del $21\%$ y, sobre el precio resultante, un descuento del $15\%$ por pago al contado.

• Calcula el precio final que se paga por el móvil.

• ¿Qué tanto por ciento de aumento supone el precio final respecto al precio sin IVA?

Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, razonando tu respuesta: «si el precio del alquiler de un piso sube un $5\%$ un año y al año siguiente baja un $5\%$, el alquiler vuelve a costar exactamente lo mismo que al principio». Compruébalo con un alquiler inicial de $800\ \text{€}$ y justifícalo también usando los índices de variación.

Tres amigos deciden invertir sus ahorros en un fondo común para un proyecto. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del capital total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ del total y el tercero aporta el resto del dinero necesario. Al finalizar la inversión, obtienen unos beneficios netos de 8.400 €. Si el reparto debe ser directamente proporcional a la fracción del capital aportado, ¿cuánto dinero en euros recibe cada uno de los amigos?

Una empresa fabrica maquetas de coches deportivos a escala 1:24. El maletero de la maqueta tiene un volumen interior de 15 cm³. Calcula el volumen real del maletero del coche expresado en litros. Además, si la maqueta pesa 1,2 kg y está fabricada exactamente con los mismos materiales y densidades que el coche real, ¿cuál sería el peso del coche real expresado en toneladas?

Resuelve la siguiente ecuación basada en una proporción directa, encontrando el valor de $x$ que hace que las dos razones sean equivalentes:

$\frac{3x - 1}{4} = \frac{2x + 5}{3}$

La siguiente gráfica representa la distancia recorrida por dos trenes, A y B, en función del tiempo, viajando a velocidad constante desde la misma estación de origen.

Observando la gráfica, determina la velocidad constante de cada tren. Si ambos mantienen su ritmo, ¿a qué distancia exacta se encontrará el tren A de su origen en el momento en que el tren B haya recorrido 400 km?

En una competición deportiva local, se reparte un premio económico de forma directamente proporcional a los puntos obtenidos por los tres primeros clasificados en la final. Los puntos han sido 120, 150 y 180 respectivamente. Si se sabe que el primer clasificado recibió 900 € más que el tercer clasificado, ¿cuál fue la cantidad total de dinero repartida en los premios?

Para preparar una mezcla de cemento y arena de alta resistencia, la proporción técnica debe ser de 2 partes de cemento por cada 5 partes de arena. Un albañil necesita preparar 350 kg de mezcla en total. Calcula cuántos kilos de cemento y cuántos de arena debe utilizar inicialmente. Si por un error de cálculo echa 120 kg de cemento en la hormigonera, ¿cuánta arena en total deberá haber en la mezcla final para mantener la proporción correcta sin desperdiciar el cemento?

Las magnitudes $M$ y $N$ son directamente proporcionales, con constante de proporcionalidad $k$. Demuestra matemáticamente que si el valor de la magnitud $M$ se incrementa en un $25\%$, el valor correspondiente de la magnitud $N$ también se incrementará exactamente en un $25\%$.

Las variables $X$ e $Y$ son directamente proporcionales. Se ha registrado en un experimento que cuando $X = m + 2$, el valor de la variable dependiente es $Y = 15$. Por otro lado, bajo las mismas condiciones, cuando $X = m - 2$, el valor es $Y = 9$. Plantea una proporción algebraica para calcular el valor numérico del parámetro $m$ y, a continuación, determina la constante de proporcionalidad $k = \frac{Y}{X}$.

Una tienda de bicicletas aplica a un modelo una rebaja del $20\%$ y, después, le añade el IVA del $21\%$. El precio final en caja es de $484\ \text{€}$. ¿Cuál era el precio de la bicicleta antes de la rebaja, sin IVA?

Dos tiendas venden la misma consola a $300\ \text{€}$. La tienda A la rebaja un $30\%$ y ofrece un $10\%$ adicional sobre el precio rebajado si se paga con su tarjeta. La tienda B la rebaja directamente un $40\%$.

• Calcula el precio final en cada tienda.

• Calcula el tanto por ciento de descuento único equivalente a los dos descuentos encadenados de la tienda A y explica por qué no coincide con el $40\%$ de la tienda B.