Ejercicios: Sucesos

Clasifica los siguientes experimentos en deterministas o aleatorios:

1. a) Medir el tiempo que tarda en caer un objeto desde $10$ metros en el vacío.
2. b) Anotar el color del próximo coche que pase por la calle.
3. c) Calcular el interés generado por un depósito bancario a plazo fijo conociendo el capital y el tipo de interés.
4. d) Extraer una bola de un bombo de lotería.

Se introduce en una bolsa una ficha por cada letra de la palabra "ALGORITMO". Si el experimento consiste en extraer una ficha al azar y anotar la letra obtenida, escribe el espacio muestral $E$.

En el experimento de hacer girar la siguiente ruleta y anotar el número en el que se detiene, consideramos los sucesos $A = \{1, 2\}$ y $B = \{2, 3, 4\}$.

Escribe los elementos que forman los sucesos unión $A \cup B$ e intersección $A \cap B$.

Al extraer una carta de una baraja española de $40$ cartas, consideramos el suceso $C = \{\text{sacar una figura}\}$. Describe con palabras qué significa el suceso contrario $\bar{C}$ y cuántos elementos del espacio muestral lo componen.

Se lanza un dado de $8$ caras numeradas del $1$ al $8$. Indica si los siguientes pares de sucesos son compatibles o incompatibles:

1. a) $A = \{\text{sacar un número par}\}$ y $B = \{\text{sacar un múltiplo de } 3\}$
2. b) $C = \{\text{sacar un número mayor que } 6\}$ y $D = \{\text{sacar un número menor que } 5\}$

En una urna hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas verdes. Si extraemos una bola al azar y observamos su color, inventa un suceso que sea seguro y otro que sea imposible.

Considera el experimento de elegir al azar un número entero del $1$ al $10$. Sean los sucesos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Determina los elementos del suceso diferencia $A - B$.

Escribe el espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda de un euro y una moneda de dos euros simultáneamente, anotando si sale cara ($C$) o cruz ($X$) en cada una.

En un control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, se extraen piezas una a una hasta encontrar la primera pieza defectuosa, momento en el que se detiene el proceso. Por normativa, se realiza un máximo de $3$ extracciones. Si $D$ representa una pieza defectuosa y $N$ una pieza no defectuosa, escribe el espacio muestral de este experimento.

En un estudio de mercado sobre preferencias de vehículos, se define el suceso $A = \{\text{el cliente prefiere coche eléctrico}\}$ y $B = \{\text{el cliente prefiere coche automático}\}$. Expresa con palabras el significado de los siguientes sucesos:

1. a) $A \cap \bar{B}$
2. b) $\overline{A \cup B}$

El siguiente diagrama de Venn representa un espacio muestral $E$ y dos sucesos $A$ y $B$. Los números $1, 2, 3, 4$ indican las distintas regiones del diagrama.

Identifica qué región o regiones (indicadas por sus números) corresponden a los siguientes sucesos:

1. a) $A \cap B$
2. b) $\bar{A} \cap B$
3. c) $\overline{A \cup B}$

Se lanzan dos dados con forma de tetraedro regular, cuyas caras están numeradas del $1$ al $4$. El experimento consiste en anotar la suma de las puntuaciones obtenidas en las caras ocultas (las que se apoyan en la mesa).

1. a) Escribe el espacio muestral $E$.
2. b) Define por extensión el suceso $S = \{\text{la suma es un número primo}\}$.

En una estación meteorológica se definen los sucesos $L = \{\text{llueve hoy}\}$ y $V = \{\text{hace viento hoy}\}$. Escribe utilizando las operaciones matemáticas con sucesos (unión, intersección, contrario) las siguientes situaciones:

1. a) Hoy llueve pero no hace viento.
2. b) Hoy no llueve ni hace viento.
3. c) O bien llueve, o bien hace viento, pero no ambas cosas a la vez.

Se extraen simultáneamente dos cartas de una baraja española de $40$ cartas. Consideramos los sucesos $O = \{\text{al menos una carta es de oros}\}$ y $R = \{\text{al menos una carta es un rey}\}$.

¿Son $O$ y $R$ sucesos compatibles? Justifica tu respuesta describiendo un suceso elemental que pertenezca a la intersección $O \cap R$.

Una empresa de logística clasifica los paquetes recibidos según su peso ($L$: ligero, $P$: pesado) y según su destino ($N$: nacional, $I$: internacional). Se elige un paquete al azar. Determina si los sucesos $A = \{\text{el paquete es ligero y nacional}\}$ y $B = \{\text{el paquete es pesado e internacional}\}$ son compatibles o incompatibles, justificando tu respuesta en base al espacio muestral.

Se lanza un dado cúbico tradicional. Consideramos los sucesos $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 4, 6\}$ y $C = \{4, 5, 6\}$.

Calcula los elementos que forman los siguientes sucesos:

1. a) $(A \cup B) \cap C$
2. b) $\overline{A \cap B}$

Demuestra, utilizando la lógica de operaciones con conjuntos, que para dos sucesos cualesquiera $A$ y $B$, el suceso $(A \cup B) \cap (A \cup \bar{B})$ es equivalente al suceso $A$.

Un juego de mesa consiste en lanzar una moneda repetidamente hasta que salgan dos caras seguidas o dos cruces seguidas. Escribe el espacio muestral de este experimento aleatorio. ¿Es un espacio muestral finito o infinito?

El siguiente diagrama de Venn muestra tres sucesos $A$, $B$ y $C$ dentro de un espacio muestral $E$. La región sombreada en color naranja representa una operación específica entre estos sucesos.

Escribe la expresión matemática que define la región sombreada utilizando las operaciones de unión, intersección y/o contrario. ¿Cómo se expresaría con palabras este suceso?

En un estudio de genética vegetal, se analizan tres características de una planta: resistencia a plagas ($R$), tolerancia a la sequía ($T$) y alta producción ($P$). Expresa utilizando operaciones con sucesos las siguientes situaciones:

1. a) La planta presenta exactamente dos de las tres características.
2. b) La planta presenta al menos una de las tres características, pero no es resistente a plagas.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio. Simplifica la siguiente expresión de sucesos utilizando las propiedades de las operaciones (conmutativa, asociativa, distributiva, leyes de De Morgan, etc.):

$((A \cap \bar{B}) \cup (A \cap B)) \cup (\bar{A} \cap B)$

En un sistema de control de tráfico aéreo, tres radares $R_1$, $R_2$ y $R_3$ detectan la presencia de aeronaves. Sabemos por diseño que es imposible que los tres radares fallen simultáneamente, pero cualquier par de radares puede fallar al mismo tiempo. Si el suceso $F_i$ representa "el radar $i$ falla", traduce esta información a expresiones matemáticas utilizando uniones e intersecciones de los sucesos $F_1, F_2, F_3$.

En el experimento de extraer una carta de una baraja francesa de $52$ cartas, definimos los sucesos:

$C = \{\text{la carta es de corazones}\}$

$D = \{\text{la carta es un diamante}\}$

$F = \{\text{la carta es una figura (J, Q, K)}\}$

Determina los elementos que componen el suceso $(C \cup D) - F$ y descríbelo con palabras.

Considera un experimento aleatorio con un espacio muestral $E$. Si $A, B$ y $C$ son tres sucesos tales que forman una partición del espacio muestral (es decir, son mutuamente excluyentes dos a dos y su unión es el suceso seguro $E$), determina a qué suceso equivale la siguiente expresión simplificada:

$\overline{\overline{(A \cup B)} \cap \bar{C}}$