Exercicis: Successos

Classifica els experiments següents en deterministes o aleatoris:

1. a) Mesurar el temps que triga a caure un objecte des de $10$ metres en el buit.
2. b) Anotar el color del pròxim cotxe que passi pel carrer.
3. c) Calcular l'interès generat per un dipòsit bancari a termini fix coneixent el capital i el tipus d'interès.
4. d) Extreure una bola d'un bombo de loteria.

S'introdueix en una bossa una fitxa per cada lletra de la paraula "ALGORITMO". Si l'experiment consisteix a extreure una fitxa a l'atzar i anotar la lletra obtinguda, escriu l'espai mostral $E$.

En l'experiment de fer girar la ruleta següent i anotar el número en què s'atura, considerem els successos $A = \{1, 2\}$ i $B = \{2, 3, 4\}$.

Escriu els elements que formen els successos unió $A \cup B$ i intersecció $A \cap B$.

En extreure una carta d'una baralla espanyola de $40$ cartes, considerem el succés $C = \{\text{treure una figura}\}$. Descriu amb paraules què significa el succés contrari $\bar{C}$ i quants elements de l'espai mostral el componen.

Es llença un dau de $8$ cares numerades del $1$ al $8$. Indica si els parells de successos següents són compatibles o incompatibles:

1. a) $A = \{\text{treure un nombre parell}\}$ i $B = \{\text{treure un múltiple de } 3\}$
2. b) $C = \{\text{treure un nombre més gran que } 6\}$ i $D = \{\text{treure un nombre més petit que } 5\}$

En una urna hi ha $5$ boles vermelles i $3$ boles verdes. Si extraiem una bola a l'atzar i en observem el color, inventa un succés que sigui segur i un altre que sigui impossible.

Considera l'experiment de triar a l'atzar un nombre enter del $1$ al $10$. Siguin els successos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ i $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Determina els elements del succés diferència $A - B$.

Escriu l'espai mostral corresponent a l'experiment aleatori que consisteix a llençar una moneda d'un euro i una moneda de dos euros simultàniament, anotant si surt cara ($C$) o creu ($X$) en cadascuna.

A la xarxa de Rodalies de Madrid, s'analitzen tres situacions a l'estació d'Atocha relacionades amb la línia C-5:

1) El temps que triga un comboi a frenar de $60\text{ km/h}$ fins a aturar-se del tot si el maquinista aplica la frenada de servei amb una desacceleració constant d'$1,2\text{ m/s}^2$ en via recta i eixuta.

2) El nombre de minuts de retard amb què arriba a la via el pròxim tren programat per a les $08:15$.

3) El tipus de títol de transport que valida el següent usuari al torn: Abonament Jove ($J$), Bitllet Senzill ($S$) o Targeta Multi de 10 viatges ($M$).

1. a) Classifica cadascuna de les tres situacions en experiment determinista o aleatori, justificant breument la teva decisió en cada cas.
2. b) Per a la situació 3, escriu l'espai mostral $E$.
3. c) En la situació 3, defineix l'esdeveniment $A = \text{«el viatger no fa servir bitllet senzill»}$ enumerant-ne els elements. Tot seguit, escriu els elements de l'esdeveniment contrari $\bar{A}$ i indica si $\bar{A}$ és un esdeveniment elemental o compost.

En Pablo està resolent una tasca sobre el llançament d'un dau cúbic equilibrat amb cares numerades de l'$1$ al $6$, l'espai mostral del qual és $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Es defineixen dos esdeveniments: $A = \text{«obtenir un nombre menor o igual que } 2\text{»}$ ($A = \{1, 2\}$) i $B = \text{«obtenir un múltiple de } 5\text{»}$ ($B = \{5\}$).

En Pablo escriu al seu quadern la conclusió següent:

«Com que els esdeveniments $A$ i $B$ no tenen cap element en comú, és a dir, $A \cap B = \emptyset$, es dedueix necessàriament que $B$ és l'esdeveniment contrari d'$A$ ($B = \bar{A}$), de manera que són esdeveniments incompatibles i alhora contraris».

1. a) Troba i explica l'error conceptual que comet en Pablo en deduir que $B$ és el contrari d'$A$. Quina condició fonamental li falta complir a la parella d'esdeveniments per ser contraris?
2. b) Corregeix la resposta d'en Pablo: escriu quin és realment l'esdeveniment contrari $\bar{A}$ enumerant-ne els elements.
3. c) Escriu un exemple d'esdeveniment $C$ (diferent de $\emptyset$) que sigui incompatible amb $A$, però que tampoc en sigui l'esdeveniment contrari.

En un control de qualitat d'una fàbrica de components electrònics, s'extreuen peces d'una en una fins a trobar la primera peça defectuosa, moment en què s'atura el procés. Per normativa, es fa un màxim de $3$ extraccions. Si $D$ representa una peça defectuosa i $N$ una peça no defectuosa, escriu l'espai mostral d'aquest experiment.

En un estudi de mercat sobre preferències de vehicles, es defineixen els successos $A = \{\text{el client prefereix cotxe elèctric}\}$ i $B = \{\text{el client prefereix cotxe automàtic}\}$. Expressa amb paraules el significat dels successos següents:

1. a) $A \cap \bar{B}$
2. b) $\overline{A \cup B}$

El diagrama de Venn següent representa un espai mostral $E$ i dos successos $A$ i $B$. Els nombres $1, 2, 3, 4$ indiquen les diferents regions del diagrama.

Identifica quina regió o regions (indicades pels seus nombres) corresponen als successos següents:

1. a) $A \cap B$
2. b) $\bar{A} \cap B$
3. c) $\overline{A \cup B}$

Es llencen dos daus amb forma de tetraedre regular, les cares dels quals estan numerades del $1$ al $4$. L'experiment consisteix a anotar la suma de les puntuacions obtingudes a les cares ocultes (les que es recolzen a la taula).

1. a) Escriu l'espai mostral $E$.
2. b) Defineix per extensió el succés $S = \{\text{la suma és un nombre primer}\}$.

En una estació meteorològica es defineixen els successos $L = \{\text{plou avui}\}$ i $V = \{\text{fa vent avui}\}$. Escriu utilitzant les operacions matemàtiques amb successos (unió, intersecció, contrari) les situacions següents:

1. a) Avui plou però no fa vent.
2. b) Avui ni plou ni fa vent.
3. c) O bé plou, o bé fa vent, però no totes dues coses a la vegada.

S'extreuen simultàniament dues cartes d'una baralla espanyola de $40$ cartes. Considerem els successos $O = \{\text{almenys una carta és d'ors}\}$ i $R = \{\text{almenys una carta és un rei}\}$.

Són $O$ i $R$ successos compatibles? Justifica la teva resposta descrivint un succés elemental que pertanyi a la intersecció $O \cap R$.

Una empresa de logística classifica els paquets rebuts segons el seu pes ($L$: lleuger, $P$: pesat) i segons la seva destinació ($N$: nacional, $I$: internacional). Es tria un paquet a l'atzar. Determina si els successos $A = \{\text{el paquet és lleuger i nacional}\}$ i $B = \{\text{el paquet és pesat i internacional}\}$ són compatibles o incompatibles, justificant la teva resposta basant-te en l'espai mostral.

Es llença un dau cúbic tradicional. Considerem els successos $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 4, 6\}$ i $C = \{4, 5, 6\}$.

Calcula els elements que formen els successos següents:

1. a) $(A \cup B) \cap C$
2. b) $\overline{A \cap B}$

A partir d'una mostra representativa de $100$ joves d'entre $18$ i $24$ anys a Espanya, basada en dades de l'Enquesta de Població Activa (EPA) de l'INE, s'analitza la seva situació formativa i laboral. Es defineixen els esdeveniments $E = \text{«la persona cursa estudis reglats»}$ i $T = \text{«la persona té feina»}$. Les dades reflecteixen que $62$ joves estudien, $36$ treballen i $14$ compaginen estudis i feina alhora.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, estima de manera raonada: creus que el nombre de joves que ni estudien ni treballen (esdeveniment $\bar{E} \cap \bar{T}$) serà superior a $25$ o inferior a $25$? Explica en què et bases per a la teva estimació intuïtiva.
2. b) Descriu amb les teves pròpies paraules què representen els esdeveniments $E \cup T$ i $E - T$ en el context d'aquesta mostra.
3. c) Calcula el nombre exacte de joves que pertanyen a $E \cup T$ i a $\bar{E} \cap \bar{T}$. Comprova si la teva estimació de l'apartat a) ha estat encertada i reflexiona sobre el resultat obtingut.
4. d) Justifica mitjançant la definició matemàtica si els esdeveniments $E$ i $T$ són compatibles o incompatibles.

En un sorteig benèfic organitzat en un centre escolar, s'extreu una bola d'una urna que conté $10$ boles numerades de l'$1$ al $10$, per la qual cosa l'espai mostral és $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

No coneixem directament els esdeveniments $A$ i $B$, però sabem que compleixen simultàniament les quatre condicions següents:

1. $A \cap B = \{3, 7\}$

2. $A - B = \{1, 5, 9\}$

3. $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 9\}$

4. Tots els elements de l'esdeveniment $B$ són nombres senars excepte dos.

1. a) Reconstrueix raonadament els esdeveniments $A$ i $B$, detallant quins elements conté cadascun.
2. b) Determina els elements de l'esdeveniment contrari de la unió, $\overline{A \cup B}$, i interpreta què significa aquest esdeveniment en el context del sorteig.
3. c) Comprova si els esdeveniments $(A - B)$ i $B$ són compatibles o incompatibles. Justifica la teva resposta raonant sobre la definició d'ambdues operacions.

Demostra, utilitzant la lògica d'operacions amb conjunts, que per a dos successos qualsevol $A$ i $B$, el succés $(A \cup B) \cap (A \cup \bar{B})$ és equivalent al succés $A$.

Un joc de taula consisteix a llençar una moneda repetidament fins que surtin dues cares segguides o dues creus segguides. Escriu l'espai mostral d'aquest experiment aleatori. És un espai mostral finit o infinit?

El diagrama de Venn següent mostra tres successos $A$, $B$ i $C$ dins d'un espai mostral $E$. La regió ombrejada de color taronja representa una operació específica entre aquests successos.

Escriu l'expressió matemàtica que defineix la regió ombrejada utilitzant les operacions de unió, intersecció i/o contrari. Com s'expressaria amb paraules aquest succés?

En un estudi de genètica vegetal, s'analitzen tres característiques d'una planta: resistència a plagues ($R$), tolerància a la sequera ($T$) i alta producció ($P$). Expressa utilitzant operacions amb successos les situacions següents:

1. a) La planta presenta exactament dues de les tres característiques.
2. b) La planta presenta almenys una de les tres característiques, però no és resistent a plagues.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori. Simplifica la següent expressió de successos utilitzant les propietats de les operacions (commutativa, associativa, distributiva, lleis de De Morgan, etc.):

$((A \cap \bar{B}) \cup (A \cap B)) \cup (\bar{A} \cap B)$

En un sistema de control de trànsit aeri, tres radars $R_1$, $R_2$ i $R_3$ detecten la presència d'aeronaus. Sabem per disseny que és impossible que els tres radars fallin simultàniament, però qualsevol parell de radars pot fallar al mateix temps. Si el succés $F_i$ representa "el radar $i$ falla", tradueix aquesta informació a expressions matemàtiques utilitzant unions i interseccions dels successos $F_1, F_2, F_3$.

En l'experiment d'extreure una carta d'una baralla francesa de $52$ cartes, definim els successos:

$C = \{\text{la carta és de cors}\}$

$D = \{\text{la carta és un diamant}\}$

$F = \{\text{la carta és una figura (J, Q, K)}\}$

Determina els elements que componen el succés $(C \cup D) - F$ i descriu-lo amb paraules.

Considera un experiment aleatori amb un espai mostral $E$. Si $A, B$ i $C$ són tres successos tals que formen una partició de l'espai mostral (és a dir, són mútuament excloents dos a dos i la seva unió és el succés segur $E$), determina a quin succés equival la següent expressió simplificada:

$\overline{\overline{(A \cup B)} \cap \bar{C}}$

En un torneig local de pàdel, una parella disputa dos partits consecutius. En cada partit hi ha dos resultats possibles: guanyar ($G$) o perdre ($P$). Si la parella guanya, s'anota si ha estat per la via ràpida en dos sets ($G_2$) o necessitant el set de desempat ($G_3$); si perd, s'anota si ha guanyat almenys un set ($P_1$) o cap ($P_0$).

Es vol estudiar l'espai mostral complet $E$ i, en particular, l'esdeveniment $S = \text{«la parella no pateix cap derrota en blanc (és a dir, en cap partit no perd per } P_0\text{)»}$.

Dos companys discuteixen quina és la millor manera d'organitzar la informació:

• La Clara proposa utilitzar un diagrama d'arbre ramificant primer el resultat del primer partit (amb $4$ branques) i, de cadascuna d'elles, obrir $4$ branques més per al segon partit.

• En Daniel proposa construir una taula de doble entrada de $4 \times 4$, col·locant els quatre resultats possibles del primer partit a les files i els del segon a les columnes.

1. a) Representa l'espai mostral $E$ utilitzant el mètode d'en Daniel (la taula de doble entrada) i indica quants esdeveniments elementals componen $E$.
2. b) Assenyala a la taula i escriu els elements que formen l'esdeveniment $S$.
3. c) Compara tots dos mètodes: analitza els avantatges i els desavantatges del diagrama d'arbre respecte a la taula de doble entrada per a aquest experiment de dues etapes amb $4$ opcions cadascuna. Justifica quin dels dos mètodes consideres més clar i amb menys probabilitat d'error per identificar esdeveniments com $S$.
4. d) Escriu amb paraules què significa l'esdeveniment contrari $\bar{S}$ i determina'n els elements. Resulta més ràpid definir $S$ identificant directament els seus casos o identificant primer els de $\bar{S}$? Raona la teva resposta.

A les Zones de Baixes Emissions (ZBE) regulades per la DGT en ciutats espanyoles com Madrid o Sevilla, es monitoritzen els vehicles que accedeixen al centre urbà. Cada vehicle es classifica segons dues variables: el seu distintiu ambiental, que pertany a $D = \{0, E, C, B, A\}$ (on $0$ és Zero emissions, $E$ és Eco, $C$ i $B$ són de combustió segons normativa Euro, i $A$ representa els vehicles sense distintiu), i la paritat de l'últim dígit de la seva matrícula, $M = \{P, I\}$ (Parell o Senar). Cada esdeveniment elemental de l'experiment és un parell $(d, m)$.

Es defineixen els esdeveniments següents:

• $V_1$: «El vehicle té etiqueta Zero o Eco» ($d \in \{0, E\}$).

• $V_2$: «El vehicle té etiqueta $B$ o $C$».

• $V_3$: «El vehicle té matrícula parella» ($m = P$).

• $R$: «El vehicle té restringit l'accés en un episodi d'alta contaminació», protocol que afecta tots els vehicles sense etiqueta ($A$), i també els vehicles amb etiqueta $B$ la matrícula dels quals sigui senar.

1. a) Escriu l'espai mostral $E$ detallant-ne els esdeveniments elementals. Quants elements té?
2. b) Expressa formalment l'esdeveniment $R$ utilitzant operacions de conjunts (unió, intersecció, diferència o contrari) a partir dels esdeveniments $V_1$, $V_2$, $V_3$ o d'esdeveniments elementals.
3. c) Analitza matemàticament si els esdeveniments $V_1$ i $R$ són incompatibles. Són a més esdeveniments contraris ($V_1 = \bar{R}$)? Justifica rigorosament la teva resposta a partir dels elements de l'espai mostral.
4. d) Una nova ordenança municipal proposa: «Podran circular tots els vehicles que pertanyin a $(V_2 \cap V_3) \cup V_1$». Tradueix amb total precisió aquesta regla al llenguatge que entendria un conductor en un panell informatiu de la DGT.