Ejercicios: Funciones definidas a trozos

Al definir la función con valor absoluto $f(x) = |2x - 6|$ como una función a trozos, un estudiante escribe que $f(x) = 2x - 6$ para $x > 0$ y $f(x) = -2x + 6$ para $x \le 0$. Identifica el error cometido en la condición de los intervalos y escribe la definición a trozos correcta.

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 5 & \text{si } x < -1 \\ 3 & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ -x + 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Calcula el valor de la función en los puntos $x = -3$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ y $x = 5$.

Representa gráficamente la siguiente función definida a trozos en tu cuaderno:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x \le 1 \\ 3 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Indica si la función es continua en $x = 1$.

Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |x - 4|$ como una función definida a trozos, eliminando las barras de valor absoluto.

Un aparcamiento público tiene la siguiente tarifa: cobra $2$ euros por la primera hora (o fracción) y, a partir de ahí, cobra $1$ euro por cada hora adicional. Escribe la expresión analítica de la función $C(t)$ que determina el coste en euros en función del tiempo $t$ en horas, para un estacionamiento máximo de $3$ horas.

Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Representa gráficamente la función definida por:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x < -2 \\ x & \text{si } -2 \le x \le 2 \\ 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Observa la siguiente gráfica de una función definida a trozos y escribe su expresión analítica. Presta atención a los puntos donde cambia de tramo.

Determina el dominio y el recorrido de la función definida a trozos cuya expresión analítica es:

$f(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } -3 \le x < 0 \\ 1 & \text{si } 0 \le x \le 3 \end{cases}$

Al pedirle que represente la función $f(x) = |x^2 - 4|$, un alumno entrega la siguiente gráfica, argumentando que "como los números están elevados al cuadrado, el resultado ya es positivo y el valor absoluto no cambia nada en la parábola".

Identifica el error conceptual del alumno, indica en qué intervalo exacto de $x$ la gráfica dibujada es incorrecta y explica cómo debería ser la gráfica real de la función.

Representa gráficamente la siguiente función y clasifica sus puntos de discontinuidad, si los tiene:

$f(x) = \begin{cases} -2x - 4 & \text{si } x < -1 \\ 2 & \text{si } -1 \le x < 2 \\ x - 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Expresa la función $f(x) = |2x + 6| - 3$ como una función definida a trozos y represéntala gráficamente. Halla las coordenadas de su vértice (punto donde cambia la pendiente).

La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno de cerámica industrial varía en función del tiempo $t$ (en horas) desde que se enciende. Durante las primeras $2$ horas, la temperatura sube desde $20^\circ\text{C}$ a un ritmo constante de $400^\circ\text{C}$ por hora. Luego, se mantiene constante durante $3$ horas. Finalmente, se apaga y la temperatura desciende a un ritmo constante de $200^\circ\text{C}$ por hora hasta volver a los $20^\circ\text{C}$.

Escribe la expresión analítica de la función $T(t)$ definida a trozos.

La gráfica resume el comportamiento del horno:

Encuentra el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} 3x - k & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 3x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Representa gráficamente la función definida a trozos formada por una parábola y una recta:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x \le 1 \\ -2x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

A partir de la siguiente gráfica, determina la expresión analítica de la función definida a trozos $f(x)$. Observa detenidamente las coordenadas de los vértices y los puntos de corte.

Una compañía eléctrica factura a sus clientes residenciales en función de la energía consumida $x$ (en kWh) al mes. El coste mensual $C(x)$ se calcula de la siguiente manera:

• Una cuota fija de $10$ euros.

• Los primeros $100\text{ kWh}$ cuestan $0{,}15$ euros cada uno.

• El consumo que excede los $100\text{ kWh}$ cuesta $0{,}20$ euros cada uno.

Escribe la expresión analítica de la función $C(x)$ definida a trozos y calcula cuánto pagará una familia que ha consumido $140\text{ kWh}$.

La gráfica representa esta tarifa:

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{si } x < -1 \\ x^2 - 4 & \text{si } -1 \le x \le 3 \\ -x + 8 & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Resuelve la ecuación $f(x) = 0$, comprobando en cada caso si la solución obtenida pertenece al dominio del tramo correspondiente.

Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x < -1 \\ x^2 - 2x & \text{si } -1 \le x < 2 \\ \frac{a}{x} + b & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Expresa la función de valor absoluto cuadrática $f(x) = |x^2 - 2x - 8|$ como una función definida a trozos sin usar el símbolo de valor absoluto. A continuación, represéntala gráficamente indicando sus puntos de corte con los ejes y las coordenadas de su vértice.

La velocidad $v$ (en m/s) de un tren en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la siguiente gráfica: acelera uniformemente desde el reposo hasta alcanzar $30\text{ m/s}$ en $10\text{ s}$. Mantiene esa velocidad durante $40\text{ s}$. Finalmente, frena uniformemente hasta detenerse por completo en $5\text{ s}$.

Halla la expresión analítica de la función $v(t)$ definida a trozos e indica su dominio.

Escribe la función $f(x) = |x + 3| + |x - 1|$ como una función definida a trozos. Para ello, estudia el signo de las expresiones dentro de los valores absolutos en los distintos intervalos de la recta real.

Se considera la función:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x} & \text{si } x < -1 \\ -x^2 + 3 & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ 2x - 5 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Estudia su dominio, continuidad, puntos de corte con los ejes y extremos relativos. Represéntala gráficamente.

Determina la expresión analítica de la función definida a trozos representada en la siguiente gráfica. Fíjate en que el primer tramo es una parábola y el segundo una línea recta.

Una compañía de telecomunicaciones ofrece una tarifa de datos móviles con las siguientes condiciones:

• Por una cuota fija de $15$ euros, el cliente dispone de $10\text{ GB}$ a máxima velocidad.

• Si supera los $10\text{ GB}$, la velocidad se reduce y se le cobran $2$ euros por cada gigabyte adicional consumido, hasta un máximo facturable de $20\text{ GB}$ en total.

• A partir de los $20\text{ GB}$, se corta el servicio de datos y no se factura nada más.

Determina la expresión analítica de la función a trozos $P(x)$ que representa el precio de la factura mensual en función de los gigabytes $x$ consumidos.

Diseña la expresión analítica de una función definida a trozos $f(x)$ formada exclusivamente por dos tramos rectos que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• Su dominio es el intervalo $[-4, 5]$.

• Presenta una discontinuidad de salto finito en $x = 1$.

• Es estrictamente creciente en el intervalo $[-4, 1)$ y estrictamente decreciente en el intervalo $(1, 5]$.

• Pasa por el punto $(-4, -2)$.

• El límite por la izquierda en $x = 1$ es $4$, y por la derecha es $2$.

• Tiene una raíz (corta al eje de abscisas) en $x = 3$.