Exercicis: Funcions definides a trossos

En definir la funció amb valor absolut $f(x) = |2x - 6|$ com una funció a trossos, un estudiant escriu que $f(x) = 2x - 6$ per a $x > 0$ i $f(x) = -2x + 6$ per a $x \le 0$. Identifica l'error comès en la condició dels intervals i escriu la definició a trossos correcta.

Donada la funció definida a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 5 & \text{si } x < -1 \\ 3 & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ -x + 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Calcula el valor de la funció en els punts $x = -3$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ i $x = 5$.

Representa gràficament la funció definida a trossos següent a la teva llibreta:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x \le 1 \\ 3 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Indica si la funció és contínua a $x = 1$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Expressa la funció de valor absolut $f(x) = |x - 4|$ com una funció definida a trossos, eliminant les barres de valor absolut.

Un aparcament públic té la tarifa següent: cobra $2$ euros per la primera hora (o fracció) i, a partir d'aquí, cobra $1$ euro per cada hora addicional. Escriu l'expressió analítica de la funció $C(t)$ que determina el cost en euros en funció del temps $t$ en hores, per a un estacionament màxim de $3$ hores.

Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Representa gràficament la funció definida per:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x < -2 \\ x & \text{si } -2 \le x \le 2 \\ 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa la gràfica següent d'una funció definida a trossos i escriu la seva expressió analítica. Para atenció als punts on canvia de tram.

Determina el domini i el recorregut de la funció definida a trossos l'expressió analítica de la qual és:

$f(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } -3 \le x < 0 \\ 1 & \text{si } 0 \le x \le 3 \end{cases}$

Una empresa de paqueteria ecològica en bicicleta calcula la tarifa de lliurament $C(x)$ (en euros) en funció del pes del paquet $x$ (en quilograms) mitjançant la funció a trossos:

$C(x) = \begin{cases} 4 & \text{si } 0 < x \le 2 \\ 4 + 1,50 \cdot (x - 2) & \text{si } 2 < x \le 5 \end{cases}$

1. a) Abans de fer el compte exacte, estima raonadament si enviar un paquet de $4,8\text{ kg}$ costarà més o menys de $9\text{ \euro}$. Explica el càlcul mental aproximat que has fet.
2. b) Calcula el cost exacte $C(4,8)$ i comprova si la teva estimació inicial ha estat encertada.
3. c) Comprova si la funció és contínua a $x = 2$. Per què és comercialment desitjable que no hi hagi cap salt en el preu just en aquest pes?

En una fruiteria de barri, el preu de les taronges per quilogram es calcula amb la següent funció a trossos segons la quantitat $x$ (en kg) que compra un client:

$P(x) = \begin{cases} 1,60 \cdot x & \text{si } 0 \le x < 5 \\ 7,50 + 1,10 \cdot (x - 5) & \text{si } 5 \le x \le 15 \end{cases}$

En Marcos vol calcular el preu que pagarà per $5\text{ kg}$ i per $3\text{ kg}$, i escriu el següent:

«Per a $x = 5\text{ kg}$, faig servir la primera fórmula perquè veig el nombre 5 en la seva condició: $P(5) = 1,60 \cdot 5 = 8\text{ \euro}$. Per a $x = 3\text{ kg}$, com que ja és una compra normal, faig servir la segona fórmula: $P(3) = 7,50 + 1,10 \cdot (3 - 5) = 7,50 - 2,20 = 5,30\text{ \euro}$».

1. a) Assenyala els dos errors de concepte que comet en Marcos respecte a l'ús dels símbols $<$ i $\le$ i l'elecció del tram adequat.
2. b) Corregeix la seva resolució: determina en quin tram s'ha de calcular cada cas i troba els imports correctes.
3. c) Té la funció un salt a $x = 5$ o és contínua? Justifica-ho calculant el valor que dóna cada tram a la frontera.

En demanar-li que representi la funció $f(x) = |x^2 - 4|$, un alumne lliura la gràfica següent, argumentant que "com que els nombres estan elevats al quadrat, el resultat ja és positiu i el valor absolut no canvia res a la paràbola".

Identifica l'error conceptual de l'alumne, indica en quin interval exacte de $x$ la gràfica dibuixada és incorrecta i explica com hauria de ser la gràfica real de la funció.

Representa gràficament la funció següent i classifica els seus punts de discontinuïtat, si en té:

$f(x) = \begin{cases} -2x - 4 & \text{si } x < -1 \\ 2 & \text{si } -1 \le x < 2 \\ x - 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Expressa la funció $f(x) = |2x + 6| - 3$ com una funció definida a trossos i representa-la gràficament. Troba les coordenades del seu vèrtex (punt on canvia el pendent).

La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) d'un forn de ceràmica industrial varia en funció del temps $t$ (en hores) des que s'encén. Durant les primeres $2$ hores, la temperatura puja des de $20^\circ\text{C}$ a un ritme constant de $400^\circ\text{C}$ per hora. Després, es manté constant durant $3$ hores. Finalment, s'apaga i la temperatura descendeix a un ritme constant de $200^\circ\text{C}$ per hora fins a tornar als $20^\circ\text{C}$.

Escriu l'expressió analítica de la funció $T(t)$ definida a trossos.

La gràfica resumeix el comportament del forn:

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la funció següent sigui contínua en tot el seu domini:

$f(x) = \begin{cases} 3x - k & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 3x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Representa gràficament la funció definida a trossos formada per una paràbola i una recta:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x \le 1 \\ -2x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir de la gràfica següent, determina l'expressió analítica de la funció definida a trossos $f(x)$. Observa detingudament les coordenades dels vèrtexs i els punts de tall.

Una companyia elèctrica factura als seus clients residencials en funció de l'energia consumida $x$ (en kWh) al mes. El cost mensual $C(x)$ es calcula de la manera següent:

• Una quota fixa de $10$ euros.

• Els primers $100\text{ kWh}$ costen $0{,}15$ euros cadascun.

• El consum que excedeix els $100\text{ kWh}$ costa $0{,}20$ euros cadascun.

Escriu l'expressió analítica de la funció $C(x)$ definida a trossos i calcula quant pagarà una família que ha consumit $140\text{ kWh}$.

La gràfica representa aquesta tarifa:

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{si } x < -1 \\ x^2 - 4 & \text{si } -1 \le x \le 3 \\ -x + 8 & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Resol l'equació $f(x) = 0$, comprovant en cada cas si la solució obtinguda pertany al domini del tram corresponent.

En una ciutat espanyola, la factura bimestral de l'aigua per a ús domèstic es tarifa per blocs de consum per penalitzar el malbaratament, segons la funció $C(x)$ (en euros), on $x$ és el volum d'aigua consumit en metres cúbics ($\text{m}^3$):

$C(x) = \begin{cases} 10 + 0,80 \cdot x & \text{si } 0 \le x \le 15 \\ 22 + 1,60 \cdot (x - 15) & \text{si } 15 < x \le 30 \\ 46 + 2,50 \cdot (x - 30) & \text{si } x > 30 \end{cases}$

1. a) Un habitatge gasta exactament $15\text{ m}^3$ i un altre de veí en gasta $15,1\text{ m}^3$. Calcula l'import d'ambdues factures i raona si el pas d'un tram al següent es fa de manera suau o amb una penalització brusca.
2. b) Demostra formalment si la funció de cost $C(x)$ és contínua en els punts de canvi de tram ($x = 15$ i $x = 30$).
3. c) Si a una família li arriba una factura d'aigua per un valor exacte de $34\text{ \euro}$, determina raonadament en quin tram de consum es troba i calcula quants metres cúbics ha gastat en aquest bimestre.

El poliesportiu del teu municipi ofereix lloguer de pistes de tennis. Durant les primeres 4 hores mensuals cobren una tarifa base de $6\text{ \euro/hora}$ (sense quota de soci). Per incentivar l'esport a partir de la quarta hora ($x > 4$), la direcció vol rebaixar el preu a $4\text{ \euro}$ per cada hora addicional. S'estan debatent dos models matemàtics per al segon tram:

• Model 1: $f(x) = 4 \cdot x$ si $x > 4$.

• Model 2: $f(x) = k + 4 \cdot (x - 4)$ si $x > 4$.

1. a) Analitza el Model 1 calculant el cost per a $x = 4\text{ hores}$ i per a $x = 4,1\text{ hores}$. Explica per què aquest model és un disbarat des del punt de vista del negoci i de la continuïtat.
2. b) Troba el valor del paràmetre $k$ en el Model 2 perquè la funció sigui contínua a $x = 4$ i no es produeixi cap salt.
3. c) Escriu la funció a trossos definitiva utilitzant el Model 2 amb el valor de $k$ trobat i calcula quant pagarà una persona que jugui 11 hores en un mes.

Calcula el valor dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua en tot el conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x < -1 \\ x^2 - 2x & \text{si } -1 \le x < 2 \\ \frac{a}{x} + b & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Expressa la funció de valor absolut quadràtica $f(x) = |x^2 - 2x - 8|$ com una funció definida a trossos sense fer servir el símbol de valor absolut. A continuació, representa-la gràficament indicant els seus punts de tall amb els eixos i les coordenades del seu vèrtex.

La velocitat $v$ (en $\text{m/s}$) d'un tren en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per la gràfica següent: accelera uniformement des del repòs fins a assolir $30\text{ m/s}$ en $10\text{ s}$. Manté aquesta velocitat durant $40\text{ s}$. Finalment, frena uniformement fins a aturar-se completament en $5\text{ s}$.

1. a) Troba l'expressió analítica de la funció $v(t)$ definida a trossos.
2. b) Indica el seu domini.

Escriu la funció $f(x) = |x + 3| + |x - 1|$ com una funció definida a trossos. Per fer-ho, estudia el signe de les expressions dins dels valors absoluts en els diferents intervals de la recta real.

Es considera la funció:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x} & \text{si } x < -1 \\ -x^2 + 3 & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ 2x - 5 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Estudia el seu domini, continuïtat, punts de tall amb els eixos i extrems relatius. Representa-la gràficament.

Determina l'expressió analítica de la funció definida a trossos representada en la gràfica següent. Fixa't que el primer tram és una paràbola i el segon una línia recta.

Una companyia de telecomunicacions ofereix una tarifa de dades mòbils amb les condicions següents:

• Per una quota fixa de $15$ euros, el client disposa de $10\text{ GB}$ a màxima velocitat.

• Si supera els $10\text{ GB}$, la velocitat es redueix i se li cobren $2$ euros per cada gigabyte addicional consumit, fins a un màxim facturable de $20\text{ GB}$ en total.

• A partir dels $20\text{ GB}$, es talla el servei de dades i no es factura res més.

Determina l'expressió analítica de la funció a trossos $P(x)$ que representa el preu de la factura mensual en funció dels gigabytes $x$ consumits.

Dissenya l'expressió analítica d'una funció definida a trossos $f(x)$ formada exclusivament per dos trams rectes que compleixi simultàniament totes les condicions següents:

• El seu domini és l'interval $[-4, 5]$.

• Presenta una discontinuïtat de salt finit en $x = 1$.

• És estrictament creixent en l'interval $[-4, 1)$ i estrictament decreixent en l'interval $(1, 5]$.

• Passa pel punt $(-4, -2)$.

• El límit per l'esquerra en $x = 1$ és $4$, i per la dreta és $2$.

• Té una arrel (talla l'eix d'abscisses) en $x = 3$.

En un tram d'autovia espanyola senyalitzat a $120\text{ km/h}$, un radar de trànsit mesura la velocitat $v$ dels vehicles en $\text{km/h}$. Es defineix la desviació absoluta respecte al límit legal com a $D(v) = |v - 120|$. Per saber quins vehicles circulen amb una desviació superior a $15\text{ km/h}$ (és a dir, els que van a menys de $105\text{ km/h}$ o a més de $135\text{ km/h}$), dos estudiants plantegen dos mètodes de resolució diferents:

• Mètode A (Geomètric): Interpretar $|v - 120|$ com la distància a la recta numèrica entre la velocitat $v$ i el $120$, buscant els punts que tinguin una distància al centre més gran que $15$.

• Mètode B (Algebraic a trossos): Escriure $D(v)$ com una funció a trossos traient les barres de valor absolut segons si $v \ge 120$ o $v < 120$, i resoldre una inequació independent a cada branca.

1. a) Desenvolupa completament ambdós mètodes i comprova que s'arriba a la mateixa solució.
2. b) Compara els dos camins: quin resulta més ràpid i intuïtiu per a aquest problema? En quins casos més complexos (per exemple, si la funció fos $g(v) = |2v - 100| + v$) el Mètode A deixa de ser útil i el Mètode B esdevé imprescindible?
3. c) La DGT només multa per excés de velocitat, no per defecte moderat. Escriu l'expressió analítica d'una funció a trossos $M(v)$ que retorni $0$ si no es comet cap infracció ($v \le 120$) i el nombre de $\text{km/h}$ sancionables si se supera el límit ($v > 120$). Justifica si $M(v)$ és contínua a $v = 120$.

A Espanya, l'IRPF es liquida per trams marginals progressius i no aplicant un percentatge únic al sou íntegre. Considera la següent escala simplificada sobre la base liquidable $x$ (en euros bruts anuals):

• Tram 1 (fins a $12.450\text{ \euro}$): tributa al $19\%$.

• Tram 2 (de $12.450\text{ \euro}$ a $20.200\text{ \euro}$): els primers $12.450\text{ \euro}$ tributen al $19\%$ i la resta al $24\%$.

• Tram 3 (de $20.200\text{ \euro}$ a $35.200\text{ \euro}$): els primers $20.200\text{ \euro}$ acumulen una quota fixa de $4.225,50\text{ \euro}$ i l'excés tributa al $30\%$.

1. a) Escriu l'expressió analítica completa de la funció a trossos $I(x)$ que calcula l'impost a pagar segons el sou brut anual $x$ per a $0 \le x \le 35.200$.
2. b) Demostra matemàticament que la funció $I(x)$ és contínua a les fronteres de tram $x = 12.450$ i $x = 20.200$.
3. c) Una treballadora que guanya $20.200\text{ \euro}$ a l'any rep una oferta d'augment de $600\text{ \euro}$ bruts anuals. El seu company l'adverteix: «No et convé acceptar, perquè en superar els $20.200\text{ \euro}$ entres al tram del $30\%$ i acabaràs cobrant menys sou net (net) que abans». Calcula el sou net (brut menys impostos) abans i després de l'augment. Explica per què l'argument del company és fals i com la continuïtat de la funció a trossos protegeix els treballadors d'aquest suposat perjudici.

Repte del tema. Com optimitzar la factura elèctrica a casa teva? Converteix-te en assessor energètic i elabora un informe matemàtic amb dades reals.

1. Presa de dades: Consulta al web de Red Eléctrica de España (REE) o en una factura domèstica el preu del kWh en els trams punta, pla i vall (cada tram té un preu diferent), juntament amb el cost fix per potència.

2. Modelització digital: Amb GeoGebra o en un full de càlcul:

3. Modela el cost del consum amb una funció definida a trossos segons les franges horàries.

4. Representa el cost unitari mitjà mitjançant una funció de proporcionalitat inversa $f(x)=\frac{k}{x}+b$.

5. Modela la intensitat de corrent elèctric mitjançant la funció lineal $I(P)=\frac{P}{230}$ (amb $U=230$ V) o simula el sobrecost per excés de consum amb una funció radical, una paràbola o una exponencial.

6. Informe i anàlisi crítica: Lliura una proposta raonada d'$1$ o $2$ pàgines. Destaca les idees clau: dominis reals, creixement i asímptotes. Assenyala errors típics que cal evitar, com ara oblidar la restricció de domini $x>0$ o confondre asímptotes amb talls amb els eixos. Proposa dues mesures d'estalvi sustentades en les teves gràfiques.

Es valorarà:

• Precisió en el plantejament i l'ajust de les funcions (a trossos, inversa, lineal o radical i quadràtica/exponencial).

• Anàlisi rigorosa de propietats matemàtiques i prevenció explícita d'errors comuns.

• Qualitat de la proposta d'estalvi energètic fonamentada en les dades reals de REE.