Ejercicios: Interés compuesto y variación porcentual

Escribe el índice de variación que corresponde a cada una de estas variaciones porcentuales:

1. a) Un aumento del $25\ \%$.

1. b) Una disminución del $15\ \%$.

1. c) Un aumento del $3\ \%$.

1. d) Una disminución del $60\ \%$.

1. e) Un aumento del $130\ \%$.

¿Qué aumento o disminución porcentual corresponde a cada uno de estos índices de variación?

1. a) $1,45$

1. b) $0,82$

1. c) $2,1$

1. d) $0,05$

1. e) $1,06$

Aplica el índice de variación correspondiente para calcular el valor final:

1. a) Una entrada de festival que cuesta $80\ \text{€}$ sube un $15\ \%$.

1. b) Unas zapatillas de $64\ \text{€}$ se rebajan un $25\ \%$.

1. c) El alquiler de $950\ \text{€}$ al mes de un local sube un $4\ \%$.

Un ahorrador deposita $2.000\ \text{€}$ en un depósito al $4\ \%$ anual de interés compuesto, es decir, cada año los intereses se suman al capital y también generan intereses.

1. a) ¿En cuánto se convierte el capital al final del primer año?

1. b) ¿Y al final del segundo año?

1. c) ¿Por qué el aumento del segundo año es mayor que el del primero, si el porcentaje es el mismo?

Los porcentajes pueden ser mayores que $100\ \%$:

1. a) La población de un barrio nuevo ha aumentado un $150\ \%$ en diez años. ¿Cuál es el índice de variación? Si había $1.200$ vecinos, ¿cuántos hay ahora?

1. b) La reserva de puntos de un club se ha triplicado. ¿A qué aumento porcentual equivale?

1. c) ¿Es lo mismo «aumentar un $200\ \%$» que «duplicar»? Razona la respuesta con un ejemplo.

Los porcentajes también pueden ser menores que el $1\ \%$:

1. a) Una entidad cobra una comisión del $0,3\ \%$ por cada transferencia urgente. ¿Cuánto cobra por una transferencia de $4.500\ \text{€}$?

1. b) En una piscina olímpica de $2.500.000\ \text{L}$ de agua, el $0,02\ \%$ corresponde al agua que se renueva a diario por las aportaciones de cloro y equilibrado. ¿Cuántos litros son?

1. c) Expresa el $0,5\ \%$ como índice de variación y como fracción.

Una tienda sube el precio de sus productos un $20\ \%$ y, un mes después, los rebaja un $20\ \%$.

1. a) Unos auriculares costaban inicialmente $50\ \text{€}$. ¿Cuánto cuestan tras la subida? ¿Y tras la rebaja?

1. b) Calcula el índice de variación total multiplicando los índices de cada variación.

1. c) ¿Han vuelto los precios al valor inicial? ¿Cuál ha sido la variación porcentual total?

Unos abuelos depositan $3.000\ \text{€}$ en una cuenta de ahorro al $5\ \%$ anual de interés compuesto para su nieta.

1. a) Escribe la expresión que da el capital final al cabo de $4$ años usando una potencia.

1. b) Calcula el capital final con la calculadora.

1. c) ¿Cuántos euros corresponden a intereses?

Tras aplicarle una rebaja del $25\ \%$, un abrigo cuesta $54\ \text{€}$.

1. a) ¿Cuál es el índice de variación de la rebaja?

1. b) Calcula el precio inicial dividiendo entre el índice de variación.

1. c) Comprueba el resultado aplicando la rebaja al precio inicial que has obtenido.

Compara dos formas de invertir $1.000\ \text{€}$ durante $3$ años al $6\ \%$ anual, como se muestra en la figura:

• Interés simple: cada año se generan los mismos intereses sobre el capital inicial.

• Interés compuesto: cada año los intereses se suman al capital.

1. a) Calcula el capital final con interés simple.

1. b) Calcula el capital final con interés compuesto.

1. c) ¿Qué diferencia hay? ¿De dónde sale esa diferencia?

Un banco ofrece un depósito de $1.200\ \text{€}$ al $6\ \%$ anual con pago de intereses cada mes (interés compuesto mensual).

1. a) ¿Qué porcentaje de interés se aplica cada mes?

1. b) Escribe la expresión del capital final al cabo de $2$ años, teniendo en cuenta que hay $24$ periodos mensuales.

1. c) Calcula el capital final y compáralo con el que se obtendría con pago de intereses anual: $1.200 \cdot 1,06^2$. ¿Cuál es mayor?

Las acciones de una empresa tecnológica subieron un $40\ \%$ el primer año, bajaron un $30\ \%$ el segundo y subieron un $10\ \%$ el tercero.

1. a) Calcula el índice de variación de cada año y el índice de variación total de los tres años.

1. b) Si un paquete de acciones valía $2.500\ \text{€}$ al principio, ¿cuánto vale al final del tercer año?

1. c) ¿Cuál ha sido la variación porcentual total? ¿Por qué no coincide con la suma de los tres porcentajes?

El precio de la tarjeta de transporte de una ciudad ha bajado un $20\ \%$ con una ayuda pública.

1. a) Si el billete sencillo costaba $1,55\ \text{€}$, ¿cuánto cuesta ahora?

1. b) Si la ayuda se retira y el precio vuelve al inicial, ¿qué porcentaje debe subir el precio actual para recuperar el original?

1. c) Razona, usando índices de variación, por qué la respuesta no es el $20\ \%$, y enuncia la regla general: tras una bajada del $r\ \%$, ¿qué subida porcentual devuelve el precio al inicio?

Dos bancos ofrecen un depósito a un año para $5.000\ \text{€}$:

• Banco A: $5\ \%$ anual con pago de intereses semestral (la mitad del porcentaje cada semestre, con interés compuesto).

• Banco B: $4,9\ \%$ anual con un único pago de intereses al final del año.

1. a) Calcula el capital final en el banco A, teniendo en cuenta que se aplica un $2,5\ \%$ cada semestre.

1. b) Calcula el capital final en el banco B.

1. c) La TAE (Tasa Anual Equivalente) es el porcentaje anual real que rinde un depósito teniendo en cuenta la frecuencia de los pagos. ¿Cuál es la TAE de cada oferta? ¿Qué banco es mejor aunque su porcentaje «de anuncio» sea menor?

Tarea de decisión. Inés ha ahorrado $900\ \text{€}$ trabajando los fines de semana y quiere guardarlos durante $3$ años para comprarse un ordenador al terminar bachillerato. Compara tres opciones, como se muestra en la figura:

• Opción 1: cuenta joven al $2\ \%$ anual de interés simple.

• Opción 2: depósito al $1,8\ \%$ anual de interés compuesto.

• Opción 3: letras al $2,5\ \%$ anual de interés compuesto, pero con una penalización de $15\ \text{€}$ si se retira antes de los $3$ años.

1. a) Calcula el capital final de cada opción.

1. b) ¿Cuántos euros de diferencia hay entre la mejor y la peor opción?

1. c) Inés cree que quizá necesite el dinero antes de los $3$ años para un curso de verano. ¿Cambia eso tu recomendación? Razona tu decisión.

El precio del menú del día en un barrio ha seguido la inflación: subió un $6\ \%$ en 2023, un $3,5\ \%$ en 2024 y un $2\ \%$ en 2025. En 2022 el menú costaba $11\ \text{€}$.

1. a) Calcula el precio del menú al final de cada año usando índices de variación.

1. b) ¿Qué porcentaje total ha subido el menú en los tres años?

1. c) El salario de los trabajadores del barrio solo ha subido un $9\ \%$ en ese periodo. ¿Han ganado o perdido poder adquisitivo para pagar el menú? Justifícalo comparando índices de variación.