Exercicis: Interès compost i variació percentual

Escriu l'índex de variació que correspon a cadascuna d'aquestes variacions percentuals:

1. a) Un augment del $25\ \%$.

1. b) Una disminució del $15\ \%$.

1. c) Un augment del $3\ \%$.

1. d) Una disminució del $60\ \%$.

1. e) Un augment del $130\ \%$.

Quin augment o quina disminució percentual correspon a cadascun d'aquests índexs de variació?

1. a) $1,45$

1. b) $0,82$

1. c) $2,1$

1. d) $0,05$

1. e) $1,06$

Aplica l'índex de variació corresponent per calcular el valor final:

1. a) Una entrada de festival que costa $80\ \text{€}$ puja un $15\ \%$.

1. b) Unes sabatilles de $64\ \text{€}$ es rebaixen un $25\ \%$.

1. c) El lloguer de $950\ \text{€}$ al mes d'un local puja un $4\ \%$.

Un estalviador diposita $2.000\ \text{€}$ en un dipòsit al $4\ \%$ anual d'interès compost, és a dir, cada any els interessos se sumen al capital i també generen interessos.

1. a) En quant es converteix el capital al final del primer any?

1. b) I al final del segon any?

1. c) Per què l'augment del segon any és més gran que el del primer, si el percentatge és el mateix?

Els percentatges poden ser més grans que $100\ \%$:

1. a) La població d'un barri nou ha augmentat un $150\ \%$ en deu anys. Quin és l'índex de variació? Si hi havia $1.200$ veïns, quants n'hi ha ara?

1. b) La reserva de punts d'un club s'ha triplicat. A quin augment percentual equival?

1. c) És el mateix «augmentar un $200\ \%$» que «duplicar»? Raona la resposta amb un exemple.

Els percentatges també poden ser més petits que el $1\ \%$:

1. a) Una entitat cobra una comissió del $0,3\ \%$ per cada transferència urgent. Quant cobra per una transferència de $4.500\ \text{€}$?

1. b) En una piscina olímpica de $2.500.000\ \text{L}$ d'aigua, el $0,02\ \%$ correspon a l'aigua que es renova diàriament per les aportacions de clor i equilibrat. Quants litres són?

1. c) Expressa el $0,5\ \%$ com a índex de variació i com a fracció.

En una botiga de roba en període de rebaixes, un abric costa inicialment $90\ \text{€}$. A la primera setmana se li aplica un descompte del $20\ \%$, i a la segona setmana se li aplica un descompte addicional del $15\ \%$ sobre el preu que ja estava rebaixat.

En Marcos calcula el preu final sumant tots dos percentatges: $20\ \% + 15\ \% = 35\ \%$, de manera que aplica un únic índex de variació d'$1 - 0,35 = 0,65$ i afirma que l'abric costa $90 \cdot 0,65 = 58,50\ \text{€}$.

1. a) Identifica i explica raonadament l'error conceptual d'en Marcos. Sobre quina quantitat s'ha d'aplicar en realitat el segon descompte?
2. b) Escriu els índexs de variació de cada rebaixa i calcula, mitjançant índexs encadenats, el preu final correcte de l'abric.
3. c) Sense fixar-te només en el nombre obtingut, raona per què el preu real resulta més car del que va calcular en Marcos.

El rebut bimestral de l'aigua d'una família ha pujat un $5\ \%$ a causa d'un recàrrec extraordinari per sequera, i ha assolit un import final de $42\ \text{€}$.

1. a) Abans de fer operacions complexes, fes una estimació mental: el preu abans de la pujada era d'aproximadament $40\ \text{€}$, $35\ \text{€}$ o menys? Justifica la teva resposta calculant mentalment quant representaria un augment del $5\ \%$ sobre $40\ \text{€}$.
2. b) Escriu l'índex de variació associat a l'augment i calcula el preu original exacte dividint l'import final entre aquest índex.
3. c) Comprova si el resultat exacte valida la teva estimació. Si als $42\ \text{€}$ finals els restessis directament el $5\ \%$ ($42 \cdot 0,95$), obtindries el preu original? Fes la comprovació numèrica i raona per què no coincideixen.

Una botiga puja el preu dels seus productes un $20\ \%$ i, un mes després, els rebaixa un $20\ \%$.

1. a) Uns auriculars costaven inicialment $50\ \text{€}$. Quant costen després de la pujada? I després de la rebaixa?

1. b) Calcula l'índex de variació total multiplicant els índexs de cada variació.

1. c) Han tornat els preus al valor inicial? Quina ha estat la variació percentual total?

Uns avis dipositen $3.000\ \text{€}$ en un compte d'estalvi al $5\ \%$ anual d'interès compost per a la seva neta.

1. a) Escriu l'expressió que dóna el capital final al cap de $4$ anys fent servir una potència.

1. b) Calcula el capital final amb la calculadora.

1. c) Quants euros corresponen a interessos?

Després d'aplicar-li una rebaixa del $25\ \%$, un abric costa $54\ \text{€}$.

1. a) Quin és l'índex de variació de la rebaixa?

1. b) Calcula el preu inicial dividint entre l'índex de variació.

1. c) Comprova el resultat aplicant la rebaixa al preu inicial que has obtingut.

Compara dues formes d'invertir $1.000\ \text{€}$ durant $3$ anys al $6\ \%$ anual, com es mostra a la figura:

• Interès simple: cada any es generen els mateixos interessos sobre el capital inicial.

• Interès compost: cada any els interessos se sumen al capital.

1. a) Calcula el capital final amb interès simple.

1. b) Calcula el capital final amb interès compost.

1. c) Quina diferència hi ha? D'on surt aquesta diferència?

Un banc ofereix un dipòsit de $1.200\ \text{€}$ al $6\ \%$ anual amb pagament d'interessos cada mes (interès compost mensual).

1. a) Quin percentatge d'interès s'aplica cada mes?

1. b) Escriu l'expressió del capital final al cap de $2$ anys, tenint en compte que hi ha $24$ períodes mensuals.

1. c) Calcula el capital final i compara'l amb el que s'obtindria amb pagament d'interessos anual: $1.200 \cdot 1,06^2$. Quin és més gran?

Les accions d'una empresa tecnològica van pujar un $40\ \%$ el primer any, van baixar un $30\ \%$ el segon i van pujar un $10\ \%$ el tercer.

1. a) Calcula l'índex de variació de cada any i l'índex de variació total dels tres anys.

1. b) Si un paquet d'accions valia $2.500\ \text{€}$ al principi, quant val al final del tercer any?

1. c) Quina ha estat la variació percentual total? Per què no coincideix amb la suma dels tres percentatges?

Un compte d'estalvi per a joves ofereix un interès compost del $3\ \%$ anual. Una persona hi ingressa $1.500\ \text{€}$ i decideix no tocar els diners durant $4$ anys. Dues estudiants proposen dos camins diferents per calcular el capital acumulat al final del període:

• L'Elena proposa el mètode pas a pas: calcular el $3\ \%$ de $1.500\ \text{€}$ i sumar-l'hi; al resultat obtingut, calcular-li de nou el $3\ \%$ i sumar-l'hi, repetint el procés quatre vegades consecutives.

• La Lucía proposa el mètode global: plantejar la fórmula de l'interès compost utilitzant l'índex de variació: $C_f = 1.500 \cdot 1,03^4$.

1. a) Demostra algebraicament que tots dos mètodes donen el mateix resultat traient factor comú en els dos primers anys del mètode de l'Elena.
2. b) Compara tots dos camins: quins són els avantatges i els inconvenients de cadascun? Si el termini fos de $20$ anys, quin triaries i per què?
3. c) Calcula el capital final acumulat i els interessos totals guanyats després dels $4$ anys utilitzant el mètode que consideris més eficient.

Segons les dades del padró de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), un municipi rural de Zamora tenia $1.200$ habitants a data 1 de gener de 2020. A causa de la despoblació, el seu nombre d'habitants disminueix a un ritme constant estimat del $4\ \%$ anual.

1. a) Escriu l'expressió algebraica que modelitza la població $P(t)$ en funció dels anys transcorreguts $t$ des de 2020, indicant amb claredat l'índex de variació anual emprat.
2. b) Utilitza el model per estimar la població que tindrà el municipi l'1 de gener de 2024 (arrodoneix el resultat al nombre enter de persones més proper).
3. c) Quin percentatge total de població haurà perdut el poble en aquests $4$ anys? Compara aquest percentatge global amb la multiplicació directa $4\ \text{anys} \cdot 4\ \% = 16\ \%$ i raona matemàticament per què la pèrdua real acumulada és menor que el $16\ \%$.

El preu de la targeta de transport d'una ciutat ha baixat un $20\ \%$ amb una ajuda pública.

1. a) Si el bitllet senzill costava $1,55\ \text{€}$, quant costa ara?

1. b) Si l'ajuda es retira i el preu torna a l'inicial, quin percentatge ha de pujar el preu actual per recuperar l'original?

1. c) Raona, fent servir índexs de variació, per què la resposta no és el $20\ \%$, i enuncia la regla general: després d'una baixada del $r\ \%$, quina pujada percentual torna el preu a l'inici?

Dos bancs ofereixen un dipòsit a un any per a $5.000\ \text{€}$:

• Banc A: $4,9\ \%$ anual amb pagament d'interessos semestral (la meitat del percentatge cada semestre, és a dir, $2,45\ \%$, amb interès compost).

• Banc B: $5\ \%$ anual amb un únic pagament d'interessos al final de l'any.

1. a) Calcula el capital final al banc A, tenint en compte que s'aplica un $2,45\ \%$ cada semestre.

1. b) Calcula el capital final al banc B.

1. c) La TAE (Taxa Anual Equivalent) és el percentatge anual real que rendeix un dipòsit tenint en compte la freqüència dels pagaments. Quina és la TAE de cada oferta? Quin banc és millor?

Tasca de decisió. La Inés ha estalviat $900\ \text{€}$ treballant els caps de setmana i vol guardar-los durant $3$ anys per comprar-se un ordinador en acabar batxillerat. Compara tres opcions, com es mostra a la figura:

• Opció 1: compte jove al $2\ \%$ anual d'interès simple.

• Opció 2: dipòsit al $1,8\ \%$ anual d'interès compost.

• Opció 3: lletres al $2,5\ \%$ anual d'interès compost, però amb una penalització de $15\ \text{€}$ si es retira abans dels $3$ anys.

1. a) Calcula el capital final de cada opció.

1. b) Quants euros de diferència hi ha entre la millor i la pitjor opció?

1. c) La Inés creu que potser necessitarà els diners abans dels $3$ anys per a un curs d'estiu. Canvia això la teva recomanació? Raona la teva decisió.

El preu del menú del dia en un barri ha seguit la inflació: va pujar un $6\ \%$ el 2023, un $3,5\ \%$ el 2024 i un $2\ \%$ el 2025. El 2022 el menú costava $11\ \text{€}$.

1. a) Calcula el preu del menú al final de cada any fent servir índexs de variació.

1. b) Quin percentatge total ha pujat el menú en els tres anys?

1. c) El salari dels treballadors del barri només ha pujat un $9\ \%$ en aquest període. Han guanyat o perdut poder adquisitiu per pagar el menú? Justifica-ho comparant índexs de variació.

Una cooperativa agrària va sol·licitar un préstec de $8.000\ \text{€}$ a retornar d'un sol cop al cap de $3$ anys mitjançant un sistema d'interès compost anual per renovar la seva maquinària. En complir-se el termini dels $3$ anys, la cooperativa cancel·la el deute abonant un total de $9.528,13\ \text{€}$ (capital inicial més interessos acumulats).

1. a) Planteja l'equació de l'interès compost on l'única incògnita sigui l'índex de variació anual $I_v$.
2. b) Aïlla $I_v$ utilitzant l'arrel cúbica i determina la taxa d'interès anual nominal $r\ \%$ que va aplicar l'entitat financera (arrodoneix $r$ al nombre enter).
3. c) Si en el contracte s'hagués pactat liquidar els interessos mensualment en lloc d'anualment amb aquesta mateixa taxa $r\ \%$, escriu l'expressió completa que permetria calcular l'import total a retornar després dels $36$ mesos. Raona si amb capitalització mensual la cooperativa pagaria més o menys diners que amb l'anual.

Durant un període de dos anys consecutius, la inflació a Espanya segons l'IPC va registrar una pujada del $6\ \%$ el primer any i del $4\ \%$ el segon any. En aquest mateix període, el conveni laboral de la Irene va fixar una pujada salarial del $5\ \%$ el primer any i un altre $5\ \%$ el segon any. La Irene afirma: «Com que $5 + 5 = 10\ \%$ i la inflació també suma $6 + 4 = 10\ \%$, el meu poder adquisitiu no ha variat en absolut».

1. a) Detecta l'error de la Irene. Calcula l'índex de variació acumulat dels preus (inflació) i l'índex de variació acumulat del sou de la Irene després dels dos anys.
2. b) L'índex de variació del poder adquisitiu es defineix com el quocient entre l'índex salarial acumulat i l'índex de preus acumulat: $I_p = \frac{I_{\text{sou}}}{I_{\text{preus}}}$. Calcula aquest valor amb quatre decimals i dedueix el percentatge exacte de poder adquisitiu que la Irene ha guanyat o perdut realment.
3. c) Si el salari de la Irene era de $1.500\ \text{€}$ a l'inici del bienni, calcula el seu salari final després dels dos anys. A continuació, calcula quin percentatge de pujada única s'hauria d'aplicar a aquest salari final per recuperar exactament el poder adquisitiu que tenia al principi.

Repte del tema. Imagina que organitzes el finançament d'una cooperativa escolar i has de presentar un pla econòmic realista en un full de càlcul o document digital.

1. Dades reals i variació: Consulta al web de l'INE la dada oficial d'inflació (IPC) interanual actual. Aplica aquesta variació percentual per actualitzar un pressupost base de $1500$ €.

2. Modelització directa i inversa: Expressa la funció directa del cost de transport segons la distància ($y = 0,18x$). Després, amb GeoGebra o un full de càlcul, representa la funció de proporcionalitat inversa del cost per soci en llogar un estand de $360$ € segons el nombre de participants ($y = 360/x$).

3. Repartiment i interessos: Reparteix $450$ € de guanys de manera directament proporcional a les hores dedicades per tres membres ($10$, $15$ i $25$ hores). Després, compara en una taula el capital final obtingut en dipositar un fons de $1000$ € durant $3$ anys al $2,5$ % d'interès simple enfront de l'interès compost.

4. Proposta final: Redacta un informe justificant quina fórmula d'estalvi convé més i adjunta les teves taules i gràfiques.

Es valorarà:

• Precisió matemàtica en els càlculs de percentatges, repartiments i interessos.

• Correcció tècnica en la modelització i gràfica de la proporcionalitat inversa.

• Rigor en integrar la dada real de l'INE i coherència en les conclusions de l'informe.