Ejercicios: Parámetros estadísticos

Para realizar un estudio sobre los hábitos de consumo de los adolescentes en una red social, se han analizado los perfiles de $50$ estudiantes de un instituto. Clasifica las siguientes variables estadísticas obtenidas en el estudio como cualitativas o cuantitativas (indicando si son discretas o continuas):

• a) Marca del teléfono móvil utilizado.

• b) Número de "me gusta" recibidos en la última publicación.

• c) Tiempo total (en minutos) de uso de la aplicación durante el día.

• d) Temática principal de los vídeos que visualiza (deportes, humor, música, etc.).

Un grupo de amigos ha anotado el número de mensajes de WhatsApp que tienen sin leer al final del día. Los datos obtenidos son:

Calcula la moda de esta distribución y explica brevemente qué representa este valor en el contexto del ejercicio.

La siguiente tabla muestra la cantidad de libros que han leído los alumnos de una clase de $2º$ ESO durante el primer trimestre:

Calcula la media aritmética del número de libros leídos por alumno.

Siete estudiantes han cronometrado cuánto tiempo tardan (en segundos) en resolver un cubo de Rubik. Los tiempos registrados son:

Calcula la mediana de estos tiempos. Recuerda que debes ordenar los datos previamente.

En una encuesta sobre el sabor de helado preferido en la cafetería del instituto, se han obtenido los resultados que se muestran en el siguiente gráfico:

A partir del gráfico de barras, identifica cuál es la moda y calcula el rango (o recorrido) de las frecuencias de los sabores.

Se ha medido la estatura (en centímetros) de los seis jugadores titulares de un equipo de baloncesto escolar:

Calcula la mediana de las estaturas. Al ser un número par de datos, recuerda cómo debes proceder con los dos valores centrales.

Un joven ahorra semanalmente distintas cantidades de dinero. Durante las últimas $5$ semanas, sus ahorros han sido:

• a) Calcula la media de sus ahorros.

• b) Calcula la mediana.

• c) ¿Cuál de los dos parámetros crees que representa mejor el ahorro "normal" de este joven? Justifica tu respuesta mencionando el efecto del valor $54€$.

Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante una semana de primavera se muestran en el siguiente gráfico de líneas:

Sabiendo que la temperatura mínima de la semana fue de $14ºC$ (Lunes) y la máxima de $22ºC$ (Sábado), calcula el rango o recorrido de las temperaturas en ese periodo.

Las temperaturas máximas registradas durante una semana de abril en Sevilla han sido: $22$, $25$, $19$, $24$, $27$, $26$ y $21$ °C. Calcula el rango (o recorrido) de las temperaturas de esa semana.

Las edades de los integrantes de un club de robótica son: $12$, $13$, $12$, $14$, $13$, $12$ y $15$ años. Calcula la media, la mediana y el rango de las edades.

Las notas de los últimos $5$ exámenes de Inglés de Carla son: $6$, $7$, $8$, $5$ y $9$.

a) Calcula la media de las notas.

b) Calcula la desviación de cada nota respecto de la media (en valor absoluto) y la desviación media.

En dos clases de $2.º$ ESO se han anotado los minutos que tardan los alumnos en llegar al instituto. En $2.º$ A los tiempos van de $5$ a $40$ minutos y en $2.º$ B van de $15$ a $25$ minutos.

a) Calcula el rango de los tiempos de cada clase.

b) ¿En qué clase son los tiempos más parecidos entre sí? ¿Por qué?

Un grupo de amigos ha anotado el número de horas semanales que dedican a jugar a videojuegos online. Los datos obtenidos son los siguientes:

$12, 15, 9, 12, 18, 20, 12, 14, 15, 10$

Calcula los parámetros de centralización: la media aritmética ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) y la moda ($Mo$).

Una aplicación de salud ha registrado los pasos diarios (en miles) de una adolescente durante las últimas dos semanas:

$8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$

Representa estos datos en una tabla de frecuencias y calcula:

1. a) El rango o recorrido de la distribución.
2. b) La desviación media ($DM$) respecto a la media aritmética.

En un entrenamiento de baloncesto, se ha registrado el número de triples encestados por cada jugador en 25 intentos. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico:

A partir del diagrama de barras:

1. a) Elabora la tabla de frecuencias absolutas.
2. b) Calcula la media, la mediana y la moda de los triples encestados.

Se ha realizado un estudio sobre la duración de la batería (en horas) de dos modelos diferentes de smartphones, $A$ y $B$, realizando 10 pruebas con cada uno.

Modelo $A$: $14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 14, 15, 16$

Modelo $B$: $10, 20, 15, 12, 18, 11, 19, 15, 14, 16$

1. a) Calcula la media de ambos modelos. ¿Qué observas?
2. b) Calcula el rango y la desviación media de cada modelo.
3. c) Si tuvieras que comprar uno basándote en la fiabilidad de la duración, ¿cuál elegirías y por qué?

A continuación se presenta un diagrama de caja (box-plot) que representa las notas obtenidas por los alumnos de una clase en un examen de recuperación:

Observa el gráfico e identifica los siguientes parámetros de posición:

1. a) Valor mínimo y valor máximo.
2. b) Primer cuartil ($Q_1$), Mediana ($Me$) y Tercer cuartil ($Q_3$).
3. c) ¿Qué porcentaje de alumnos ha obtenido una nota superior a $8$?

Lucía ha realizado 4 exámenes de Matemáticas este trimestre y sus notas han sido: $6,5$; $8,2$; $7,4$ y $9,1$.

1. a) ¿Qué nota media tiene actualmente?
2. b) Si todavía queda un último examen, ¿qué nota debe sacar Lucía para que su media final sea exactamente de $8,0$?

En una encuesta sobre el color favorito de los alumnos de 2º ESO, se han obtenido los siguientes resultados:

1. a) ¿Qué tipo de variable estadística se está estudiando?
2. b) Calcula, si es posible, la media, la mediana y la moda. En caso de que algún parámetro no se pueda calcular, explica razonadamente el porqué.

Calcula la media aritmética y la moda de la siguiente distribución de datos agrupados en intervalos, que corresponden al peso (en kg) de los integrantes de un equipo de judo:

Los goles marcados por un equipo de fútbol sala en sus últimos $5$ partidos han sido: $2$, $5$, $1$, $4$ y $3$.

a) Calcula la media de goles por partido.

b) Calcula la varianza y la desviación típica, redondeando a las centésimas.

Dos jugadores de baloncesto han anotado en sus últimos $6$ partidos:

• Jugador A: $7$, $8$, $8$, $9$, $6$, $10$ puntos

• Jugador B: $2$, $14$, $5$, $11$, $9$, $7$ puntos

a) Comprueba que ambos jugadores tienen la misma media de puntos.

b) Calcula el rango de las anotaciones de cada uno.

c) El entrenador necesita un jugador de rendimiento regular para el próximo partido. ¿A cuál elegirías? ¿Por qué?

Dos atletas entrenan los $100$ metros lisos y registran sus tiempos con el reloj inteligente. Sus últimos $5$ tiempos, en segundos, son:

• Ana: $13,2$; $13,0$; $13,1$; $13,2$; $13,0$

• Bea: $12,6$; $13,8$; $12,9$; $13,4$; $12,8$

a) Calcula la media y el rango de los tiempos de cada atleta.

b) Calcula la desviación típica de cada una, redondeando a las centésimas.

c) El entrenador debe elegir a una de las dos para la final y busca regularidad. ¿A quién elegirías? Justifica la respuesta.

Las notas de $11$ alumnos en un examen han sido: $5$, $7$, $3$, $8$, $6$, $9$, $4$, $7$, $5$, $6$ y $10$.

a) Ordena las notas y calcula la mediana.

b) Calcula los cuartiles primero y tercero.

c) ¿Entre qué valores se concentra, aproximadamente, el $50\%$ central de las notas?

Los diagramas de puntos muestran los puntos anotados por dos jugadoras en sus últimos $6$ partidos.

a) Calcula la media de puntos de cada jugadora.

b) Calcula el rango de cada una.

c) A la vista de los gráficos y de los cálculos, ¿cuál de las dos es más regular? Explica qué significa eso.

Para estudiar la dispersión de sus notas ($5$, $6$, $7$ y $8$), un alumno resta la media a cada dato y obtiene: $-1,5$; $-0,5$; $0,5$ y $1,5$. Como la suma de esas diferencias es $0$, afirma: «La desviación típica es $0$, así que mis notas no se dispersan nada».

a) Explica el error que ha cometido en su razonamiento.

b) Calcula correctamente la desviación típica de las cuatro notas, redondeando a las centésimas.

Un conocido streamer está analizando las visualizaciones de sus últimos 5 vídeos. La media de visualizaciones de los primeros 4 vídeos es de $12\,500$ personas. Si quiere que la media total de los 5 vídeos suba hasta las $15\,000$ visualizaciones para atraer a un nuevo patrocinador, ¿cuántas visualizaciones debe conseguir, como mínimo, en su quinto vídeo? Explica el proceso razonando si es posible que la mediana de visualizaciones sea mayor que la media en este caso.

En una competición de E-sports, dos equipos, el "Team Alpha" y el "Team Beta", han obtenido los siguientes tiempos de respuesta (en milisegundos) en una prueba de reflejos. Los datos se presentan en los siguientes diagramas de caja (Box-plot):

Basándote en los gráficos:

1. a) ¿Qué equipo tiene un tiempo de respuesta mediano más bajo?
2. b) ¿Cuál de los dos equipos es más "regular" o consistente en sus reflejos? Justifica tu respuesta usando el rango intercuartílico.
3. c) Si para ganar la competición se valora no superar nunca los $200$ ms, ¿qué equipo tiene mejores expectativas?

Un grupo de 10 amigos tiene una media de edad de exactamente $14$ años. Al unirse al grupo el hermano mayor de uno de ellos, la media aumenta a $15$ años.

1. a) Calcula la edad del hermano mayor.
2. b) Si después se une una niña de $10$ años, ¿cuál será la nueva media del grupo de 12 personas?
3. c) ¿Es posible que, tras unirse la niña, la mediana del grupo siga siendo $14$? Pon un ejemplo de las edades de los 10 amigos originales que cumpla esta condición.

Se ha realizado una encuesta sobre el tiempo diario (en minutos) que pasan los adolescentes de un instituto utilizando redes sociales. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla:

Sabiendo que el tiempo medio de uso es de $57$ minutos:

1. a) Calcula el valor de $x$ (frecuencia absoluta del intervalo $[60, 90)$).
2. b) Determina la moda (intervalo modal) y la mediana (intervalo mediano) de la distribución.
3. c) ¿Qué porcentaje de alumnos dedica $90$ minutos o más a las redes sociales?

Dos jugadoras de baloncesto, Lucía y María, han anotado las siguientes cantidades de puntos en sus últimos 6 partidos:

• Lucía: $18, 22, 20, 19, 21, 20$

• María: $10, 35, 5, 40, 12, 18$

1. a) Calcula la media aritmética de puntos de cada jugadora.
2. b) Calcula el rango y la desviación media de ambas.
3. c) Si el entrenador busca una jugadora fiable que asegure una cantidad constante de puntos, aunque no sea muy alta, ¿a quién debería elegir? Justifica tu respuesta comparando su dispersión.

El siguiente histograma muestra la distribución de las notas obtenidas en un examen de recuperación por 40 alumnos. Sin embargo, el eje de frecuencias se ha borrado parcialmente.

Sabiendo que el total de alumnos es $40$ y que las alturas de las barras son proporcionales a las frecuencias:

1. a) Determina la frecuencia absoluta de cada intervalo.
2. b) Calcula la nota media estimada utilizando las marcas de clase.
3. c) Si para aprobar se necesita un $5$, ¿qué porcentaje de alumnos ha suspendido el examen?

Se tiene un conjunto de 5 números enteros positivos. Se sabe que:

• La media es $10$.

• La mediana es $12$.

• La moda es $15$ y es única.

• El rango (recorrido) es $12$.

Encuentra los 5 números que forman este conjunto. Explica los pasos lógicos que has seguido para deducirlos.

En una empresa de desarrollo de aplicaciones, los sueldos de los 10 empleados son los siguientes: ocho empleados cobran $1\,500\ €$ al mes, el subdirector cobra $4\,000\ €$ y el director cobra $7\,000\ €$.

1. a) Calcula la media, la mediana y la moda de los sueldos.
2. b) El director afirma: "El sueldo medio en nuestra empresa es de $2\,300\ €$, somos muy generosos". Un empleado responde: "La mayoría de nosotros solo cobramos $1\,500\ €$". Explica, usando los parámetros calculados, por qué ambos dicen la verdad pero dan impresiones tan distintas.
3. c) ¿Cuál de los tres parámetros estadísticos representa mejor la realidad de lo que cobra un trabajador típico de esa empresa? Justifica tu elección.

Iker compara dos aplicaciones de transporte para ir al instituto. En los últimos $8$ viajes, los minutos de espera han sido:

• App A: $4$, $6$, $5$, $7$, $5$, $6$, $4$, $7$

• App B: $2$, $9$, $3$, $10$, $4$, $8$, $3$, $5$

a) Calcula la media de espera de cada aplicación.

b) Calcula la desviación típica de cada una, redondeando a las centésimas.

c) Si Iker dispone de $10$ minutos justos cada mañana, ¿qué aplicación le recomendarías? Razona la respuesta usando la media y la dispersión.

Los gráficos muestran los puntos anotados por dos equipos de baloncesto en sus últimos $6$ partidos.

a) Calcula la media de puntos de cada equipo.

b) Calcula el rango y la desviación típica de cada equipo, redondeando a las centésimas.

c) Un comentarista afirma: «Los dos equipos rinden igual, porque tienen la misma media». ¿Estás de acuerdo? Argumenta tu respuesta usando las medidas de dispersión.

Las alturas de $5$ amigos son: $160$, $165$, $170$, $168$ y $162$ cm.

a) Calcula la media y el rango de las alturas.

b) Se incorpora un sexto amigo al grupo y la media no cambia. ¿Cuánto mide el nuevo amigo?

c) Escribe dos alturas posibles para el nuevo amigo que hubieran hecho aumentar el rango, y calcula el nuevo rango en cada caso.

El número de libros leídos este trimestre por los $20$ alumnos de una clase viene dado por esta tabla:

a) Calcula la media de libros leídos.

b) Calcula la varianza y la desviación típica, redondeando a las centésimas.

Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones, poniendo ejemplos cuando convenga:

a) Si dos conjuntos de datos tienen la misma media, tienen la misma dispersión.

b) La desviación típica no puede ser negativa.

c) Si todos los datos de un conjunto son iguales, su desviación típica es $0$.

d) Si añadimos a un conjunto un dato igual a su media, el rango no cambia.

La tabla muestra las temperaturas medias mensuales (en °C) del último año en dos ciudades costeras:

a) Calcula la media anual de temperatura de cada ciudad.

b) Calcula el rango de temperaturas de cada una.

c) Una familia quiere mudarse a una ciudad «sin temperaturas extremas». ¿Cuál le recomendarías? Justifica la respuesta con los datos calculados.