Exercicis: Paràmetres estadístics

Per realitzar un estudi sobre els hàbits de consum dels adolescents en una xarxa social, s'han analitzat els perfils de $50$ estudiants d'un institut. Classifica les variables estadístiques següents obtingudes en l'estudi com a qualitatives o quantitatives (indicant si són discretes o contínues):

• a) Marca del telèfon mòbil utilitzat.

• b) Nombre de "m'agrada" rebuts en l'última publicació.

• c) Temps total (en minuts) d'ús de l'aplicació durant el dia.

• d) Temàtica principal dels vídeos que visualitza (esports, humor, música, etc.).

Un grup d'amics ha anotat el nombre de missatges de WhatsApp que tenen sense llegir al final del dia. Les dades obtingudes són:

Calcula la moda d'aquesta distribució i explica breument què representa aquest valor en el context de l'exercici.

La taula següent mostra la quantitat de llibres que han llegit els alumnes d'una classe de $2º$ d'ESO durant el primer trimestre:

Calcula la mitjana aritmètica del nombre de llibres llegits per alumne.

Set estudiants han cronometrat quant de temps triguen (en segons) a resoldre un cub de Rubik. Els temps registrats són:

Calcula la mediana d'aquests temps. Recorda que has d'ordenar les dades prèviament.

En una enquesta sobre el gust de gelat preferit a la cafeteria de l'institut, s'han obtingut els resultats que es mostren en el gràfic següent:

A partir del gràfic de barres, identifica quina és la moda i calcula el rang (o recorregut) de les freqüències dels gustos.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha mesurat l'alçada (en centímetres) dels sis jugadors titulars d'un equip de bàsquet escolar:

Calcula la mediana de les alçades. Com que és un nombre parell de dades, recorda com has de procedir amb els dos valors centrals.

Un jove estalvia setmanalment diferents quantitats de diners. Durant les últimes $5$ setmanes, els seus estalvis han estat:

• a) Calcula la mitjana dels seus estalvis.

• b) Calcula la mediana.

• c) Quin dels dos paràmetres creus que representa millor l'estalvi "normal" d'aquest jove? Justifica la teva resposta esmentant l'efecte del valor $54€$.

Durant una setmana de primavera, la temperatura mínima registrada en una ciutat va ser de $14\ ^\circ\text{C}$ (dilluns) i la màxima de $22\ ^\circ\text{C}$ (dissabte). Calcula el rang o recorregut de les temperatures en aquest període.

Les temperatures màximes enregistrades durant una setmana d'abril a Sevilla han estat: $22$, $25$, $19$, $24$, $27$, $26$ i $21$ °C. Calcula el rang (o recorregut) de les temperatures d'aquesta setmana.

Les edats dels integrants d'un club de robòtica són: $12$, $13$, $12$, $14$, $13$, $12$ i $15$ anys. Calcula la mitjana, la mediana i el rang de les edats.

Les notes dels últims $5$ exàmens d'Anglès de la Salma són: $6$, $7$, $8$, $5$ i $9$.

a) Calcula la mitjana de les notes.

b) Calcula la desviació de cada nota respecte de la mitjana (en valor absolut) i la desviació mitjana.

En dues classes de $2.º$ d'ESO s'han anotat els minuts que triguen els alumnes a arribar a l'institut. A $2.º$ A els temps van de $5$ a $40$ minuts i a $2.º$ B van de $15$ a $25$ minuts.

a) Calcula el rang dels temps de cada classe.

b) En quina classe els temps són més semblants entre si? Per què?

En Lucas ha anotat els gols marcats pel seu equip de futbol sala en els últims $6$ partits de la lliga escolar: $1$, $5$, $0$, $4$, $2$, $6$.

Per analitzar el rendiment de l'equip, en Lucas afirma a la seva llibreta:

«Com que hi ha $6$ dades, els dos valors del mig són el $0$ i el $4$. Per tant, la mediana és $(0 + 4) / 2 = 2$ gols. A més, el rang és $6 - 1 = 5$ gols perquè el $0$ no compta com a gol anotat».

a) Troba i explica de manera raonada els dos errors conceptuals que ha comès en Lucas.

b) Corregeix el seu treball calculant de manera correcta la mitjana aritmètica, la mediana i el rang de gols de l'equip.

Escriu un conjunt de $5$ nombres enters (que representen el nombre de llibres llegits durant l'últim curs per $5$ estudiants de $2n$ d'ESO) que compleixi simultàniament totes aquestes condicions:

1. La moda és $3$.

2. La mediana és $4$.

3. La mitjana aritmètica és exactament $5$.

4. El rang de dades és $6$.

Explica detalladament el raonament que has seguit per deduir cadascun dels cinc valors i justifica si existeix una única combinació possible de nombres o si hi podria haver diverses solucions diferents.

Un grup d'amics ha anotat el nombre d'hores setmanals que dediquen a jugar a videojocs en línia. Les dades obtingudes són les següents:

$12, 15, 9, 12, 18, 20, 12, 14, 15, 10$

Calcula els paràmetres de centralització: la mitjana aritmètica ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) i la moda ($Mo$).

Una aplicació de salut ha registrat els passos diaris (en milers) d'una adolescent durant les últimes dues setmanes:

$8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$

Representa aquestes dades en una taula de freqüències i calcula:

1. a) El rang o recorregut de la distribució.
2. b) La desviació mitjana ($DM$) respecte a la mitjana aritmètica.

En un entrenament de bàsquet, s'ha registrat el nombre de triples encistellats per cada jugador en 25 intents. Els resultats es mostren en el gràfic següent:

A partir del diagrama de barres:

1. a) Elabora la taula de freqüències absolutes.
2. b) Calcula la mitjana, la mediana i la moda dels triples encistellats.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha realitzat un estudi sobre la durada de la bateria (en hores) de dos models diferents de telèfons intel·ligents, $A$ i $B$, realitzant 10 proves amb cadascun.

Model $A$: $14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 14, 15, 16$

Model $B$: $10, 20, 15, 12, 18, 11, 19, 15, 14, 16$

1. a) Calcula la mitjana de tots dos models. Què observes?
2. b) Calcula el rang i la desviació mitjana de cada model.
3. c) Si n'haguessis de comprar un basant-te en la fiabilitat de la durada, quin triaries i per què?

A continuació es presenta un diagrama de caixes (box-plot) que representa les notes obtingutes pels alumnes d'una classe en un examen de recuperació:

Observa el gràfic i identifica els paràmetres de posició següents:

1. a) Valor mínim i valor màxim.
2. b) Primer quartil ($Q_1$), Mediana ($Me$) i Tercer quartil ($Q_3$).
3. c) Quin percentatge d'alumnes ha obtingut una nota superior a $8$?

La Aisha ha realitzat 4 exàmens de Matemàtiques aquest trimestre i les seves notes han estat: $6,5$; $8,2$; $7,4$ i $9,1$.

1. a) Quina nota mitjana té actualment?
2. b) Si encara queda un últim examen, quina nota ha de treure la Aisha perquè la seva mitjana final sigui exactament de $8,0$?

En una enquesta sobre el color preferit dels alumnes de 2n d'ESO, s'han obtingut els resultats següents:

1. a) Quin tipus de variable estadística s'està estudiant?
2. b) Calcula, si és possible, la mitjana, la mediana i la moda. En cas que algun paràmetre no es pugui calcular, explica raonadament el perquè.

Calcula la mitjana aritmètica i la moda de la distribució de dades agrupades en intervals següent, que corresponen al pes (en kg) dels integrants d'un equip de judo:

Els gols marcats per un equip de futbol sala en els seus últims $5$ partits han estat: $2$, $5$, $1$, $4$ i $3$.

a) Calcula la mitjana de gols per partit.

b) Calcula la variància i la desviació típica, arrodonint a les centèsimes.

Dos jugadors de bàsquet han anotat en els seus últims $6$ partits:

• Jugador A: $7$, $8$, $8$, $9$, $6$, $10$ punts

• Jugador B: $2$, $14$, $5$, $11$, $9$, $7$ punts

a) Comprova que tots dos jugadors tenen la mateixa mitjana de punts.

b) Calcula el rang de les anotacions de cadascun.

c) L'entrenador necessita un jugador de rendiment regular per al pròxim partit. Quin triaries? Per què?

Dues atletes entrenen els $100$ metres llisos i me registren els seus temps amb el rellotge intel·ligent. Els seus últims $5$ temps, en segons, són:

• Mei: $13,2$; $13,0$; $13,1$; $13,2$; $13,0$

• Bea: $12,6$; $13,8$; $12,9$; $13,4$; $12,8$

a) Calcula la mitjana i el rang dels temps de cada atleta.

b) Calcula la desviació típica de cadascuna, arrodonint a les centèsimes.

c) L'entrenador ha de triar una de les dues per a la final i busca regularitat. Qui triaries? Justifica la resposta.

Les notes de $11$ alumnes en un examen han estat: $5$, $7$, $3$, $8$, $6$, $9$, $4$, $7$, $5$, $6$ i $10$.

a) Ordena les notes i calcula la mediana.

b) Calcula els quartils primer i tercer.

c) Entre quins valors es concentra, aproximadament, el $50\%$ central de les notes?

Els diagrames de punts mostren els punts anotats per dues me jugadores en els seus últims $6$ partits.

a) Calcula la mitjana de punts de cada jugadora.

b) Calcula el rang de cadascuna.

c) A la vista dels gràfics i dels càlculs, quina de les dues és més regular? Explica què significa això.

Per estudiar la dispersió de les seves notes ($5$, $6$, $7$ i $8$), un alumne resta la mitjana a cada dada i obté: $-1,5$; $-0,5$; $0,5$ i $1,5$. Com que la suma d'aquestes diferències és $0$, afirma: «La desviació típica és $0$, així que les meves notes no es dispersen gens».

a) Explica l'error que ha comès en el seu raonament.

b) Calcula correctament la desviació típica de les quatre notes, arrodonint a les centèsimes.

Dues jugadores de bàsquet d'un equip cadet, la Lucía i la Marta, han anotat els següents punts en els seus últims $5$ partits:

• Lucía: $14$, $15$, $16$, $17$, $18$

• Marta: $8$, $12$, $16$, $20$, $24$

a) Comprova ràpidament que totes dues jugadores tenen exactament la mateixa mitjana aritmètica de punts.

b) Sense calcular encara la desviació mitjana ($DM$), observa la distribució de les dades al voltant de la mitjana i estima de manera raonada quina de les dues jugadores tindrà una $DM$ més gran. Aproximadament quant creus que valdrà la $DM$ de cadascuna?

c) Calcula de manera exacta el rang i la desviació mitjana ($DM$) de totes dues jugadores.

d) Compara els teus resultats amb la teva estimació prèvia i explica quina de les dues jugadores és més regular. Per què en l'esport la mitjana sola no n'hi ha prou per jutjar la regularitat d'un esportista?

A partir de dades meteorològiques registrades per l'AEMET en una setmana de primavera, s'han obtingut les següents temperatures màximes diàries (en $^\circ\text{C}$) en dues ciutats espanyoles:

• Santander: $15$, $17$, $16$, $18$, $14$

• Córdoba: $12$, $29$, $15$, $30$, $24$

a) Calcula per a cadascuna de les dues ciutats la mitjana aritmètica, la mediana i el rang de les temperatures màximes.

b) Calcula la desviació mitjana ($DM$) de les temperatures de totes dues localitats.

c) Interpreta els paràmetres obtinguts: si una persona ha de preparar una maleta per viatjar aquesta setmana i només l'informen de la temperatura mitjana, a quina de les dues ciutats és més probable que passi fred o calor imprevist? Justifica la teva resposta indicant quin paràmetre estadístic de dispersió descriu millor aquesta situació.

Un conegut streamer està analitzant les visualitzacions dels seus últims 5 vídeos. La mitjana de visualitzacions dels primers 4 vídeos és de $12\,500$ persones. Si vol que la mitjana total dels 5 vídeos pugi fins a les $15\,000$ visualitzacions per atreure un nou patrocinador, quantes visualitzacions ha d'aconseguir, com a mínim, en el seu cinquè vídeo? Explica el procés raonant si és possible que la mediana de visualitzacions sigui més gran que la mitjana en aquest cas.

En una competició d'E-sports, dos equips, el "Team Alpha" i el "Team Beta", han obtingut els temps de resposta següents (en mil·lisegons) en una prova de reflexos. Les dades es presenten en els diagrames de caixes (Box-plot) següents:

Basant-te en els gràfics:

1. a) Quin equip té un temps de resposta medià més baix?
2. b) Quin dels dos equips és més "regular" o consistent en els seus reflexos? Justifica la teva resposta fent servir el rang interquartílic.
3. c) Si per guanyar la competició es valora no superar mai els $200$ ms, quin equip té millors expectatives?

Un grup de 10 amics té una mitjana d'edat d'exactament $14$ anys. En unir-se al grup el germà gran d'un d'ells, la mitjana augmenta a $15$ anys.

1. a) Calcula l'edat del germà gran.
2. b) Si després s'hi uneix una nena de $10$ anys, quina serà la nova mitjana del grup de 12 persones?
3. c) És possible que, després d'unir-s'hi la nena, la mediana del grup continuï sent $14$? Posa un exemple de les edats dels 10 amics originals que compleixi aquesta condició.

S'ha realitzat una enquesta sobre el temps diari (en minuts) que passen els adolescents d'un institut utilitzant xarxes socials. Les dades s'han agrupat a la taula següent:

Sabent que el temps mitjà d'ús és de $57$ minuts:

1. a) Calcula el valor de $x$ (freqüència absoluta de l'interval $[60, 90)$).
2. b) Determina la moda (interval modal) i la mediana (interval medià) de la distribució.
3. c) Quin percentatge d'alumnes dedica $90$ minuts o més a les xarxes socials?

Dues jugadores de bàsquet, Lucía i María, han anotat les quantitats de punts següents en els seus últims 6 partits:

• Lucía: $18, 22, 20, 19, 21, 20$

• María: $10, 35, 5, 40, 12, 18$

1. a) Calcula la mitjana aritmètica de punts de cada jugadora.
2. b) Calcula el rang i la desviació mitjana de totes dues.
3. c) Si l'entrenador busca una jugadora fiable que asseguri una quantitat constant de punts, encara que no sigui molt alta, a qui hauria de triar? Justifica la teva resposta comparant la seva dispersió.

L'histograma següent mostra la distribució de les notes obtingudes en un examen de recuperació per 40 alumnes. Tanmateix, l'eix de freqüències s'ha esborrat parcialment.

Sabent que el total d'alumnes és $40$ i que les altures de les barres són proporcionals a les freqüències:

1. a) Determina la freqüència absoluta de cada interval.
2. b) Calcula la nota mitjana estimada utilitzant les marques de classe.
3. c) Si per aprovar es necessita un $5$ i suposem que les notes es reparteixen de manera uniforme dins de cada interval, quin percentatge estimat d'alumnes ha suspès l'examen?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es té un conjunt de 5 nombres enters positius. Es sap que:

• La mitjana és $10$.

• La mediana és $12$.

• La moda és $15$ i és única.

• El rang (recorregut) és $12$.

Troba els 5 nombres que formen aquest conjunt. Explica els passos lògics que has seguit per deduir-los.

En una empresa de desenvolupament d'aplicacions, els sous dels 10 empleats són els següents: vuit empleats cobren $1\,500\ €$ al mes, el sotsdirector cobra $4\,000\ €$ i el director cobra $7\,000\ €$.

1. a) Calcula la mitjana, la mediana i la moda dels sous.
2. b) El director afirma: «El sou mitjà a la nostra empresa és de $2\,300\ €$, som molt generosos». Un empleat respon: «La majoria de nosaltres només cobrem $1\,500\ €$». Explica, fent servir els paràmetres calculats, per què tots dos diuen la veritat però donen impressions tan distintes.
3. c) Quin dels tres paràmetres estadístics representa millor la realitat del que cobra un treballador típic d'aquesta empresa? Justifica la teva elecció.

L'Iker compara dues aplicacions de transport per anar a l'institut. En els últims $8$ viatges, els minuts d'espera han estat:

• App A: $4$, $6$, $5$, $7$, $5$, $6$, $4$, $7$

• App B: $2$, $9$, $3$, $10$, $4$, $8$, $3$, $5$

a) Calcula la mitjana d'espera de cada aplicació.

b) Calcula la desviació típica de cadascuna, arrodonint a les centèsimes.

c) Si l'Iker disposa de $10$ minuts justos cada matí, quina aplicació li recomanaries? Raona la resposta utilitzant la mitjana i la dispersió.

Els gràfics mostren els punts anotats per dos equips de bàsquet en els seus últims $6$ partits.

a) Calcula la mitjana de punts de cada equip.

b) Calcula el rang i la desviació típica de cada equip, arrodonint a les centèsimes.

c) Un comentarista afirma: «Tots dos equips rendeixen igual, perquè tenen la mateixa mitjana». Hi estàs d'acord? Argumenta la teva resposta utilitzant les mesures de dispersió.

Les alçades de $5$ amics són: $160$, $165$, $170$, $168$ i $162$ cm.

a) Calcula la mitjana i el rang de les alçades.

b) S'incorpora un sisè amic al grup i la mitjana no canvia. Quant mesura el nou amic?

c) Escriu dues alçades possibles per al nou amic que haurien fet augmentar el rang, i calcula el nou rang en cada cas.

El nombre de llibres llegits aquest trimestre pels $20$ alumnes d'una classe ve donat per aquesta taula:

a) Calcula la mitjana de llibres llegits.

b) Calcula la variància i la desviació típica, arrodonint a les centèsimes.

Raona si són verdaderes o falses aquestes afirmacions, posant exemples quan convingui:

a) Si dos conjunts de dades tenen la mateixa mitjana, tenen la mateixa dispersió.

b) La desviació típica no pot ser negativa.

c) Si totes les dades d'un conjunt són iguals, la seva desviació típica és $0$.

d) Si afegim a un conjunt una dada igual a la seva mitjana, el rang no canvia.

La taula mostra les temperatures mitjanes mensuals (en °C) de l'últim any en dues ciutats costaneres:

a) Calcula la mitjana anual de temperatura de cada ciutat.

b) Calcula el rang de temperatures de cadascuna.

c) Una família vol mudar-se a una ciutat «sense temperatures extremes». Quina li recomanaries? Justifica la resposta amb les dades calculades.

En una petita empresa de desenvolupament de programari a Espanya hi treballen $8$ persones. Els seus sous nets mensuals (en euros) són els següents:

L'últim sou correspon a la directora general i fundadora de l'empresa. La direcció vol contractar un nou programador i redactar una oferta indicant el «sou representatiu» de la plantilla.

a) Calcula la mitjana aritmètica, la mediana i la moda del sou dels treballadors.

b) La direcció proposa publicar a l'oferta la mitjana aritmètica, mentre que el representant sindical exigeix publicar la mediana. Compara tots dos mètodes i justifica de manera crítica quin dels dos reflecteix amb més fidelitat el sou típic de la majoria dels treballadors.

c) Si la directora decideix apujar-se el sou el mes vinent a $8\,500\text{ \euro}$ mentre els altres sous romanen intactes, raona sense fer càlculs quin paràmetre (entre la mitjana i la mediana) canviarà i quin romandrà inalterat. Quina propietat fonamental de la mediana demostra aquesta situació?

En un assaig clínic realitzat en un hospital espanyol s'han mesurat els temps de resposta (en mil·lisegons) davant d'un estímul en un grup de $5$ pacients, i s'han obtingut els registres següents:

a) Calcula la mitjana aritmètica $\bar{x}$, el rang i la desviació mitjana ($DM$) d'aquest grup inicial de pacients.

b) S'incorporarà un sisè pacient a l'assaig. Quin valor exacte ha de registrar el seu temps perquè la mitjana aritmètica del grup es mantingui intacta en $220\text{ ms}$? Justifica com ho dedueixes.

c) Si incorporem aquest sisè pacient amb el valor obtingut a l'apartat b), raona si la nova desviació mitjana augmentarà, disminuirà o es mantindrà igual respecte a la inicial abans de fer el càlcul. A continuació, calcula la nova $DM$ per comprovar la teva predicció.

d) Suposa ara que, partint dels $5$ pacients originals, volem afegir un sisè pacient de manera que el rang dels temps augmenti exactament a $35\text{ ms}$. Dedueix els dos possibles valors que podria tenir el temps d'aquest sisè pacient perquè això passi.

Repte del tema. Com ha variat la temperatura màxima a la teva província durant les darreres dues setmanes? Converteix-te en analista climàtic per elaborar un informe meteorològic real.

1. Recollida de dades: Accedeix al web d'AEMET (o històric meteorològic oficial) i anota la temperatura màxima diària ($T$) de la teva localitat en els darrers $14$ dies. Defineix amb precisió la població, la mostra i el tipus de variable estadística.

2. Organització: Construeix en un full de càlcul (o GeoGebra) una taula de freqüències completa: freqüències absolutes, relatives, percentatges i freqüències acumulades.

3. Tractament estadístic: Genera el gràfic més representatiu (diagrama de barres o poligonal) i calcula els paràmetres de centralització i dispersió: mitjana ($\bar{x}$), mediana ($Me$), moda ($Mo$) i rang. Expressa els decimals amb coma (per exemple, $18,5$ °C).

4. Informe final: Redacta un breu informe raonat (mitja pàgina) on analitzis si la mitjana és representativa enfront de valors extrems i proposis una mesura pràctica d'estalvi energètic per a les llars en funció de les dades obtingudes.

Es valorarà:

• Rigor en la definició de conceptes i exactitud a la taula de freqüències.

• Càlcul correcte dels paràmetres estadístics ($\bar{x}$, $Me$, $Mo$, rang) i pertinència del gràfic.

• Capacitat crítica per interpretar els resultats i justificar la proposta final.