Ejercicios: Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva

Un dado se ha lanzado $200$ veces y se han obtenido estos resultados:

• a) Calcula la frecuencia relativa de cada cara.

• b) Estima la probabilidad de sacar un número par con este dado.

• c) ¿Coinciden tus estimaciones con las probabilidades que daría la regla de Laplace? Comenta la diferencia.

Verdadero o falso, razonando la respuesta: «He lanzado una moneda $10$ veces y han salido $7$ caras; por tanto, la probabilidad de cara en esa moneda ya no es $0,5$, sino $0,7$».

Asigna una probabilidad subjetiva, entre $0$ y $1$, a cada uno de estos sucesos y justifica tu elección:

• a) «Mañana lloverá en tu ciudad».

• b) «Aprobarás el próximo examen de matemáticas».

• c) Explica por qué en estos casos no puedes usar ni la regla de Laplace ni las frecuencias relativas.

En una ruleta europea ($37$ casillas: $18$ rojas, $18$ negras y el cero verde) se han registrado $5.000$ lanzamientos, y la bola cayó en rojo $2.560$ veces.

• a) ¿Qué probabilidad de «rojo» asigna la interpretación clásica (regla de Laplace)?

• b) ¿Qué probabilidad asigna la interpretación frecuentista a partir de los datos?

• c) Comenta a cuál de las dos darías más credibilidad y por qué.

La gráfica muestra la evolución de la frecuencia relativa del suceso «cara» al lanzar repetidamente una moneda, como se muestra en la figura.

• a) Describe lo que ocurre con las oscilaciones de la frecuencia relativa a medida que aumenta el número de lanzamientos.

• b) ¿Qué ley enuncia este comportamiento? Escríbela con tus palabras.

• c) ¿Qué cabe esperar de la frecuencia relativa si se llega a $10.000$ lanzamientos?

Se sospecha que un dado de un juego de mesa está desequilibrado. Se lanza $1.000$ veces y se obtiene:

• a) Estima la probabilidad de cada cara por frecuencias relativas.

• b) Calcula las probabilidades estimadas de «par», «menor que $6$» y «sacar $1$ o $2$».

• c) A la vista de las estimaciones, ¿parece el dado equilibrado? Justifícalo.

Una aplicación de simulación lanza virtualmente dos dados equilibrados $5.000$ veces. En $1.389$ de las simulaciones la suma de los dados fue $7$.

• a) Estima la probabilidad de que la suma sea $7$ a partir de la simulación.

• b) Calcula la probabilidad teórica exacta de ese suceso con la regla de Laplace.

• c) Explica a qué se debe la pequeña diferencia entre ambos valores.

En un instituto se ha preguntado a $400$ estudiantes elegidos al azar y $268$ afirman practicar deporte al menos dos veces por semana.

• a) Estima la probabilidad de que un estudiante de ese instituto practique deporte semanalmente.

• b) Si el instituto tiene $1.200$ estudiantes, ¿cuántos esperarías que practicaran deporte?

• c) Explica qué interpretación de la probabilidad has usado y por qué la interpretación clásica no es aplicable aquí.

Una aseguradora fija el precio del seguro antirrobo de bicicletas a partir de sus registros: de $20.000$ bicicletas aseguradas el año pasado, $340$ sufrieron un robo.

• a) ¿Qué interpretación de la probabilidad utiliza la aseguradora? Razona por qué las otras dos interpretaciones (clásica y subjetiva) no le servirían.

• b) Calcula la probabilidad estimada de robo.

• c) Si una bicicleta vale $800\ \text{€}$, calcula la «prima pura» (el precio que cubriría exactamente el riesgo) y explica por qué la prima real será mayor.

Razona si cada una de estas afirmaciones sobre un dado equilibrado es verdadera o falsa:

• a) «Llevo $20$ tiradas sin sacar ningún $5$; por la ley de los grandes números, en la siguiente tirada es muy probable que salga un $5$».

• b) «Aunque en $20$ tiradas no haya salido ningún $5$, la probabilidad de sacar $5$ en la siguiente tirada sigue siendo $\frac{1}{6}$».

• c) «Si lanzo el dado $6.000$ veces, saldrán exactamente $1.000$ cincos».

La figura muestra dos simulaciones de un experimento aleatorio cuyo suceso de interés tiene probabilidad $0,3$: la del panel A con $100$ repeticiones y la del panel B con $10.000$, como se muestra en la figura.

• a) Explica por qué la frecuencia relativa final del panel A se aleja más de $0,3$ que la del panel B.

• b) Enuncia con precisión la ley de los grandes números.

• c) ¿Garantiza esa ley que la frecuencia relativa llegue a valer exactamente $0,3$ en algún momento? Razona la respuesta.

Se quiere estimar experimentalmente la probabilidad de que, al repartir $4$ cartas de una baraja española de $40$ cartas, haya al menos un as, usando una hoja de cálculo con su generador de números aleatorios.

• a) Describe con detalle el procedimiento de simulación: cómo codificar las cartas, cómo simular un reparto sin repetición y cuántas repeticiones realizarías.

• b) Explica cómo obtendrías la estimación y qué harías para comprobar que tu simulación es fiable.