Ejercicios: Teorema de Bayes

En una plataforma de streaming, el $60\,\%$ de las series son de producción propia, mientras que el resto son de productoras externas. Se sabe que el $15\,\%$ de las series de producción propia son del género de ciencia ficción, mientras que en las externas este porcentaje sube al $25\,\%$. Si elegimos una serie al azar y resulta ser de ciencia ficción, ¿cuál es la probabilidad de que sea una producción propia de la plataforma?

Una marca de zapatillas fabrica sus modelos en dos fábricas diferentes: el $70\,\%$ en la fábrica $A$ y el $30\,\%$ en la fábrica $B$. El control de calidad ha detectado que el $2\,\%$ de las zapatillas de la fábrica $A$ tienen algún defecto de costura, mientras que en la fábrica $B$ los defectos aparecen en el $5\,\%$ de la producción. Un cliente compra unas zapatillas y descubre que tienen un defecto de costura. Calcula la probabilidad de que hayan sido fabricadas en la fábrica $B$.

En un instituto, el $40\,\%$ de los alumnos de 2º de Bachillerato son de la opción de Ciencias y el $60\,\%$ de Ciencias Sociales. Se ha observado que aprueban la asignatura de Inglés el $85\,\%$ de los alumnos de Ciencias y el $90\,\%$ de los de Ciencias Sociales. Si elegimos un alumno al azar que sabemos que ha aprobado Inglés, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la modalidad de Ciencias?

Un influencer reparte sus publicaciones entre dos redes sociales: Instagram ($75\,\%$) y TikTok ($30\,\%$). Se sabe que el $40\,\%$ de sus fotos en Instagram reciben más de 10.000 "likes", mientras que en TikTok solo el $20\,\%$ de sus vídeos superan esa cifra. Si recibimos una notificación de que una de sus publicaciones ha superado los 10.000 "likes", ¿qué probabilidad hay de que sea un vídeo de TikTok?

Un filtro de correo electrónico clasifica automáticamente los mensajes como spam. El filtro marca correctamente como spam el $98\,\%$ de los correos que realmente lo son. Sin embargo, también envía a la carpeta de spam el $4\,\%$ de los correos legítimos. Se estima que el $10\,\%$ del correo que llega a un buzón es spam. Si un correo elegido al azar ha sido marcado como spam, calcula la probabilidad de que realmente lo sea.

Una tienda de videojuegos vende consolas de dos marcas: "N-Switch" y "PlayPro". El $65\,\%$ de las ventas son de PlayPro y el resto de N-Switch. El servicio técnico informa de que el $3\,\%$ de las PlayPro se devuelven por fallo de fábrica, mientras que en las N-Switch el porcentaje de devolución es del $2\,\%$. Si un cliente devuelve una consola defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea una PlayPro?

Para llegar al centro, un estudiante puede ir en autobús ($80\,\%$ de las veces) o en bicicleta ($20\,\%$). Cuando va en autobús, llega tarde el $10\,\%$ de los días debido al tráfico. Cuando va en bicicleta, solo llega tarde el $5\,\%$ de las veces. Si un día el estudiante llega tarde a clase, calcula la probabilidad de que haya ido en autobús.

En una empresa de desarrollo de software, el $70\,\%$ de los programadores utiliza el lenguaje Python y el $30\,\%$ utiliza Java. Se estima que el $10\,\%$ de los códigos escritos en Python contienen errores de sintaxis críticos, mientras que en Java este porcentaje es del $15\,\%$. Si se detecta un error de sintaxis crítico en un fragmento de código, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido programado en Python?

En un centro de salud se está realizando un estudio sobre la eficacia de un test de diagnóstico para una alergia alimentaria que afecta al $8\,\%$ de la población juvenil. Los datos clínicos indican que, si una persona padece la alergia, el test da positivo en el $95\,\%$ de los casos. Por otro lado, si la persona no padece la alergia, el test da un "falso positivo" (resultado positivo sin estar enfermo) en el $4\,\%$ de las ocasiones. Si se elige a un joven al azar y su resultado en el test es positivo, calcula la probabilidad de que realmente padezca dicha alergia.

Una red social utiliza un algoritmo de inteligencia artificial para detectar comentarios de odio. Se sabe que el $5\,\%$ de los comentarios publicados son realmente inapropiados. El algoritmo identifica correctamente como "inapropiado" el $98\,\%$ de los comentarios que realmente lo son. Sin embargo, etiqueta erróneamente como "inapropiado" el $3\,\%$ de los comentarios que son respetuosos. Si el sistema acaba de bloquear un comentario por marcarlo como "inapropiado", ¿cuál es la probabilidad de que el comentario fuera realmente respetuoso?

Una empresa de logística de última milla distribuye paquetes en una ciudad utilizando tres tipos de vehículos: furgonetas eléctricas ($60\,\%$), motocicletas ($30\,\%$) y bicicletas de carga ($10\,\%$). La probabilidad de que un paquete llegue con retraso es del $2\,\%$ si se entrega en furgoneta, del $5\,\%$ si es en motocicleta y del $8\,\%$ si es en bicicleta. Si un cliente llama para quejarse porque su paquete ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que el repartidor fuera en bicicleta de carga?

En una academia de preparación para la EvAU, el $40\,\%$ de los alumnos está matriculado en el grupo de Ciencias, el $35\,\%$ en el de Ciencias Sociales y el $25\,\%$ en el de Humanidades. Al finalizar el curso, han superado la prueba de acceso el $92\,\%$ de los alumnos de Ciencias, el $88\,\%$ de los de Ciencias Sociales y el $80\,\%$ de los de Humanidades. Elegido un alumno del centro al azar que sabemos que ha aprobado la EvAU, calcula la probabilidad de que pertenezca al grupo de Ciencias Sociales.

Un fabricante de componentes electrónicos para smartphones tiene tres líneas de producción: A, B y C. La línea A produce el $45\,\%$ de los componentes, la B el $30\,\%$ y la C el $25\,\%$. Se sabe que la probabilidad de que un componente sea defectuoso es del $1\,\%$ en la línea A, del $2\,\%$ en la línea B y del $3\,\%$ en la línea C. Si se selecciona un componente al azar y resulta ser defectuoso, determina razonadamente qué línea de producción es más probable que lo haya fabricado.

En una ciudad, el $70\,\%$ de los ciudadanos utiliza una aplicación móvil para pagar el transporte público, mientras que el resto usa tarjeta física. Se observa que el $15\,\%$ de los que usan la aplicación tienen problemas de lectura en el validador, frente al $5\,\%$ de los que usan tarjeta física. Si un validador emite una señal de error de lectura, ¿cuál es la probabilidad de que el usuario esté intentando pagar con la aplicación móvil?

Un centro de reciclaje procesa envases que provienen de dos distritos de la ciudad, Norte y Sur. El $60\,\%$ de los envases provienen del distrito Norte. En la planta de procesado se detecta que el $10\,\%$ de los envases del Norte están mal clasificados por los ciudadanos, mientras que en el distrito Sur este porcentaje asciende al $15\,\%$. Si el operario de la cinta selecciona un envase al azar y comprueba que está correctamente clasificado, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del distrito Norte?

Un equipo de e-sports juega sus partidas de un torneo bajo dos condiciones climáticas de red: "Latencia Baja" ($P=0,75$) y "Latencia Alta" ($P=0,25$). Cuando la latencia es baja, el equipo gana el $80\,\%$ de sus enfrentamientos. Sin embargo, si la latencia es alta, su probabilidad de victoria cae al $40\,\%$. Sabiendo que el equipo acaba de ganar una partida, ¿cuál es la probabilidad de que estuvieran jugando con latencia alta?

Una multinacional tecnológica utiliza tres proveedores distintos para los microchips de sus nuevos portátiles para gaming. El proveedor $A$ suministra el $45\%$ de los chips, el proveedor $B$ el $35\%$, y el resto proceden del proveedor $C$. Se sabe por controles de calidad previos que el $1\%$ de los chips de $A$ son defectuosos, mientras que para $B$ y $C$ estos porcentajes son del $2\%$ y el $3\%$, respectivamente. Un usuario compra un portátil y, al mes de uso, sufre un fallo crítico debido al microchip. Calcula la probabilidad de que el chip defectuoso haya sido suministrado por el proveedor $B$.

El algoritmo de una red social clasifica el contenido en tres categorías: "Viral" ($15\%$), "Tendencia" ($35\%$) y "Estándar" ($50\%$). La probabilidad de que un usuario detenga su scroll y vea un video completo es del $80\%$ si es Viral, del $40\%$ si es Tendencia y de tan solo el $10\%$ si es Estándar. Si observamos que un usuario acaba de terminar de ver un video por completo, ¿cuál es la probabilidad de que el algoritmo no lo hubiera clasificado originalmente como Viral?

Una fábrica de piezas de precisión utiliza una máquina de visión artificial para controlar la calidad de su producción. Se sabe que solo el $0,5\%$ de las piezas fabricadas presenta algún defecto. La máquina detecta correctamente el $96\%$ de las piezas defectuosas, pero también marca erróneamente como defectuosa el $2\%$ de las piezas correctas. Si la máquina acaba de marcar una pieza como defectuosa, calcula la probabilidad de que la pieza esté realmente en perfecto estado.

Una empresa de mensajería utiliza furgonetas eléctricas ($60\%$) y de combustión ($40\%$). Se ha observado que el $5\%$ de los trayectos realizados por furgonetas eléctricas sufren retrasos debido a la necesidad de recarga intermedia, mientras que el retraso en las de combustión ocurre en el $8\%$ de los casos por problemas de tráfico. Sabiendo que un paquete ha llegado con retraso, determina la probabilidad de que haya sido transportado por una furgoneta eléctrica.

Tres canales de streaming ($N$, $H$ y $D$) se reparten el mercado de suscriptores en una ciudad en proporciones del $40\%$, $30\%$ y $30\%$, respectivamente. La probabilidad de que un suscriptor de $N$ cancele su suscripción este mes es del $0,05$; para $H$ es del $0,08$ y para $D$ es del $0,12$. Si elegimos al azar un ciudadano que acaba de cancelar su suscripción a uno de estos canales, ¿cuál es la probabilidad de que fuera cliente de $D$?

Un sistema de seguridad biométrica utiliza reconocimiento facial o huella dactilar. El $70\%$ de las veces se usa la cara y el $30\%$ la huella. El sistema falla al identificar a un usuario autorizado el $2\%$ de las veces con la cara y el $1\%$ con la huella. Por otro lado, permite el acceso a un intruso el $0,5\%$ de las veces con la cara y el $0,1\%$ con la huella. Sabiendo que el sistema ha denegado el acceso a un usuario autorizado, calcula la probabilidad de que estuviera intentando entrar mediante reconocimiento facial.

En un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes, se dividió a la muestra en tres grupos según el tiempo diario frente a pantallas: Bajo ($20\%$), Medio ($50\%$) y Alto ($30\%$). La probabilidad de que un joven del grupo Bajo lea al menos un libro al mes es de $0,7$; para el grupo Medio es de $0,4$ y para el grupo Alto es de $0,15$. Si seleccionamos a un adolescente al azar y afirma no haber leído ningún libro el último mes, calcula la probabilidad de que pertenezca al grupo de consumo de pantallas "Alto".

Una factoría tiene dos máquinas, $M_1$ y $M_2$, que producen la misma pieza. $M_1$ produce el triple de piezas que $M_2$. El porcentaje de piezas defectuosas de $M_1$ es del $k\%$ y el de $M_2$ es del $4\%$. Se sabe que si se elige una pieza al azar y resulta ser defectuosa, la probabilidad de que proceda de la máquina $M_2$ es de $4/13$. Calcula el valor de $k$ y, a continuación, la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.