Ejercicios: Variable tipificada

En una comunidad de creadores de contenido, el número de visualizaciones diarias de los vídeos sigue una distribución normal con una media $\mu = 1200$ y una desviación típica $\sigma = 300$. Si un "influencer" ha conseguido hoy $1650$ visualizaciones, calcula el valor de la variable tipificada $Z$ correspondiente a ese dato.

La duración de la batería de un modelo de smartphone en uso intensivo se distribuye según una normal $N(8; 1,5)$, donde la media son $8$ horas. Un usuario nota que su teléfono solo dura $5$ horas tras la última actualización. Tipifica este valor e indica si el resultado es positivo o negativo. ¿Qué significado tiene el signo en este contexto?

Dos estudiantes de diferentes institutos quieren comparar sus notas en el examen de Economía.

• Marta obtuvo un $8,2$ en su centro, donde la media fue $\mu = 6,5$ y la desviación típica $\sigma = 1,1$.

• Pablo obtuvo un $8,5$ en su centro, donde la media fue $\mu = 7,2$ y la desviación típica $\sigma = 1,4$.

Calcula la variable tipificada para ambos y determina cuál de los dos obtuvo una nota mejor en relación con su propio grupo.

Dada una variable aleatoria continua $X$ que sigue una distribución normal con media $\mu = 50$ y desviación típica $\sigma = 8$, encuentra el valor de la variable original $X$ sabiendo que su valor tipificado es $Z = 2,25$.

En una competición de e-sports, el tiempo de reacción de los jugadores sigue una distribución normal con media $210$ milisegundos y desviación típica $15$ milisegundos. Tipifica los siguientes tiempos de reacción e interpreta los resultados:

1. a) $195$ milisegundos.
2. b) $210$ milisegundos.
3. c) $240$ milisegundos.

El peso de los paquetes de palomitas de un cine sigue una distribución normal $N(150, 12)$ en gramos. Si seleccionamos un paquete al azar y sabemos que su valor tipificado es $Z = -1,5$, ¿pesa este paquete más o menos que la media? Calcula su peso exacto en gramos.

Si una variable tipificada $Z$ sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$, utiliza la simetría de la campana de Gauss para explicar por qué la probabilidad $P(Z < -1)$ es la misma que $P(Z > 1)$. Dibuja un esquema de la situación.

Se ha medido el tiempo que tardan los jóvenes de una ciudad en llegar al instituto. Los datos siguen una normal con $\mu = 25$ minutos y $\sigma = 5$ minutos. Tipifica el valor $X = 35$ minutos. Si la tabla de la normal estándar nos dice que $P(Z < 2) = 0,9772$, ¿qué porcentaje de alumnos tarda menos de $35$ minutos en llegar?

En una plataforma de juegos online, la puntuación de los jugadores en el nivel "Leyenda" sigue una distribución normal con una media $\mu = 4500$ puntos y una desviación típica $\sigma = 600$ puntos. Por otro lado, en el nivel "Maestro", las puntuaciones siguen una distribución normal con $\mu = 3800$ puntos y $\sigma = 450$ puntos.

Un jugador ha obtenido $5200$ puntos en el nivel "Leyenda" y su amigo ha obtenido $4400$ puntos en el nivel "Maestro". Utiliza la variable tipificada para determinar cuál de los dos amigos ha obtenido una puntuación mejor en relación con su grupo de juego.

Se ha realizado un estudio sobre el tiempo diario que los adolescentes de 17 años dedican a ver contenido en plataformas de streaming. Los resultados muestran que este tiempo sigue una distribución normal $X \sim N(110, 25)$, donde el tiempo se mide en minutos.

1. a) Calcula la probabilidad de que un joven elegido al azar pase más de $135$ minutos al día en estas plataformas.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo dedicado esté comprendido entre $90$ y $120$ minutos?

Las notas finales del examen de acceso a la universidad (EBAU) en una determinada comunidad autónoma siguen una distribución normal con media $6,8$ y desviación típica $1,2$.

La universidad ha decidido otorgar una beca especial de excelencia al $5\%$ de los alumnos que hayan obtenido las mejores calificaciones. Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, calcula la nota mínima necesaria para obtener dicha beca.

El peso de las mochilas de los estudiantes de Bachillerato de un instituto sigue una distribución normal con media $6,5$ kg y desviación típica $1,4$ kg.

1. a) Determina el valor de la variable tipificada $Z$ que corresponde a una mochila de $8$ kg.
2. b) El médico del centro recomienda que el peso de la mochila no supere los $9$ kg. ¿Qué porcentaje de alumnos está incumpliendo esta recomendación?

La duración de la batería de un nuevo modelo de smartphone en uso intensivo se distribuye según una normal de media $\mu$ horas y desviación típica $\sigma = 1,5$ horas.

Se sabe que el $25,14\%$ de los teléfonos tienen una batería que dura menos de $8$ horas. Halla el valor de la media $\mu$ de esta distribución utilizando el proceso de destipificación.

En una competición de atletismo, el tiempo en segundos que tardan los participantes en completar los 400 metros lisos sigue una distribución $X \sim N(52, \sigma)$.

Si se sabe que el $84,13\%$ de los corredores tarda menos de $55$ segundos en finalizar la prueba, calcula la desviación típica $\sigma$ del tiempo de los corredores.

Un creador de contenido en una red social analiza el número de "likes" que reciben sus publicaciones. Ha observado que el número de "likes" sigue una distribución normal con media $1200$.

1. a) Si la desviación típica es $\sigma = 150$, calcula el intervalo simétrico respecto a la media que encierre al $90\%$ de las publicaciones.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una publicación elegida al azar tenga exactamente $1300$ "likes"? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de las variables continuas.

Se desea comparar la agilidad mental de dos grupos de estudiantes mediante un test de lógica. El Grupo A obtiene resultados que siguen una $N(75, 8)$ y el Grupo B una $N(70, 5)$.

1. a) Si un alumno del Grupo A obtiene $85$ puntos y uno del Grupo B obtiene $78$ puntos, ¿cuál de los dos se encuentra en una mejor posición relativa dentro de su propio grupo?
2. b) En el Grupo B, ¿a partir de qué puntuación se encuentra el $20\%$ de los estudiantes con resultados más bajos?

En una academia de preparación para las pruebas de acceso a la universidad, se ha observado que las calificaciones de un simulacro de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales siguen una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $15,87\%$ de los alumnos obtuvo una nota superior a $8$ puntos, mientras que el $2,28\%$ no alcanzó los $3$ puntos. Calcula el valor de la media $\mu$ y de la desviación típica $\sigma$ de esta distribución utilizando la tabla de la normal tipificada $Z \sim N(0, 1)$.

Tres estudiantes de diferentes institutos quieren comparar sus resultados en una prueba de aptitud lingüística. Debido a que los exámenes eran distintos, las puntuaciones siguen distribuciones normales diferentes:

• Ana obtuvo $72$ puntos en un examen con $N(60, 8)$.

• Beto obtuvo $80$ puntos en un examen con $N(70, 12)$.

• Carla obtuvo $65$ puntos en un examen con $N(55, 5)$.

Determina, mediante la tipificación de las variables, cuál de los tres estudiantes se encuentra en una mejor posición relativa respecto a su grupo de referencia. Justifica tu respuesta comparando los valores de la variable tipificada $Z$.

Una empresa que fabrica componentes electrónicos garantiza que la vida útil de sus baterías sigue una distribución normal con una media de $800$ días. Tras un estudio de calidad, se determina que la probabilidad de que una batería dure más de $1000$ días es de tan solo $0,0062$.

1. a) Halla el valor de la desviación típica $\sigma$ de la producción.
2. b) Si la empresa decide sustituir todas las baterías que duren menos de $k$ días, ¿qué valor debe tener $k$ para que solo tengan que reponer el $5\%$ de las baterías vendidas?

El tiempo que los adolescentes de una ciudad dedican diariamente a redes sociales sigue una distribución normal $X \sim N(120, 20)$, donde el tiempo se mide en minutos.

Calcula la probabilidad de que un adolescente elegido al azar dedique a las redes sociales entre $100$ y $150$ minutos, sabiendo de antemano que dedica más de $110$ minutos. (Nota: utiliza la definición de probabilidad condicionada junto con la tipificación de la variable).

Se sabe que el peso de los paquetes de café envasados automáticamente por una máquina sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma = 15$ gramos. Se ha ajustado la máquina para que el $97,5\%$ de los paquetes tengan un peso superior a $470,6$ gramos.

1. a) Calcula el peso medio $\mu$ al que ha sido programada la máquina.
2. b) Con ese ajuste, ¿cuál es la probabilidad de que un paquete elegido al azar pese más de $510$ gramos?

En un estudio sobre el gasto mensual en ocio de las familias de una provincia, se ha comprobado que este sigue una distribución normal. Se sabe que el gasto medio es de $250$ euros. Si el $20\%$ de las familias gasta más de $320$ euros:

1. a) Calcula la desviación típica de la distribución.
2. b) Determina el intervalo de gasto, simétrico respecto a la media, en el que se encuentra el $90\%$ central de las familias de la provincia.

Las estaturas de los estudiantes de segundo de bachillerato de un centro escolar se distribuyen según una normal $X \sim N(172, 9)$. El director del centro desea seleccionar al $5\%$ de los estudiantes más altos para el equipo de baloncesto y al $5\%$ de los estudiantes más bajos para un estudio ergométrico.

1. a) ¿A partir de qué estatura se seleccionan los alumnos para el equipo de baloncesto?
2. b) ¿Cuál es la estatura máxima para formar parte del estudio ergométrico?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno mida exactamente $172$ cm? Razona la respuesta basándote en la naturaleza de las variables continuas.

Sea $X$ una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Si definimos la variable tipificada como $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, demuestra analíticamente, utilizando las propiedades de la tipificación y la simetría de la campana de Gauss, que las siguientes probabilidades son equivalentes:

1. $P(\mu - \sigma < X < \mu + 2\sigma)$

2. $P(-1 < Z < 2)$

Calcula dicho valor utilizando la tabla de la distribución $N(0, 1)$.