Exercicis: Variable tipificada

En una comunitat de creadors de contingut, el nombre de visualitzacions diàries dels vídeos segueix una distribució normal amb una mitjana $\mu = 1200$ i una desviació típica $\sigma = 300$. Si un "influencer" ha aconseguit avui $1650$ visualitzacions, calcula el valor de la variable tipificada $Z$ corresponent a aquesta dada.

La durada de la bateria d'un model de smartphone en ús intensiu es distribueix segons una normal $N(8; 1,5)$, on la mitjana són $8$ hores. Un usuari nota que el seu telèfon només dura $5$ hores després de l'última actualització. Tipifica aquest valor i indica si el resultat és positiu o negatiu. Quin significat té el signe en aquest context?

Dos estudiants de diferents instituts volen comparar les seves notes en l'examen d'Economia.

• Nerea va obtenir un $8,2$ al seu centre, on la mitjana va ser $\mu = 6,5$ i la desviació típica $\sigma = 1,1$.

• Youssef va obtenir un $8,5$ al seu centre, on la mitjana va ser $\mu = 7,2$ i la desviació típica $\sigma = 1,4$.

Calcula la variable tipificada per a tots dos i determina quin dels dos va obtenir una nota millor en relació amb el seu propi grup.

Donada una variable aleatòria contínua $X$ que segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 50$ i desviació típica $\sigma = 8$, troba el valor de la variable original $X$ sabent que el seu valor tipificat és $Z = 2,25$.

En una competició d'e-sports, el temps de reacció dels jugadors segueix una distribució normal amb mitjana $210$ mil·lisegons i desviació típica $15$ mil·lisegons. Tipifica els temps de reacció següents i interpreta els resultats:

1. a) $195$ mil·lisegons.
2. b) $210$ mil·lisegons.
3. c) $240$ mil·lisegons.

El pes dels paquets de crispetes d'un cinema segueix una distribució normal $N(150, 12)$ en grams. Si seleccionem un paquet a l'atzar i sabem que el seu valor tipificat és $Z = -1,5$, pesa aquest paquet més o menys que la mitjana? Calcula el seu pes exacte en grams.

Si una variable tipificada $Z$ segueix una distribució normal estàndard $N(0, 1)$, utilitza la simetria de la campana de Gauss per explicar per què la probabilitat $P(Z < -1)$ és la mateixa que $P(Z > 1)$. Dibuixa tu mateix un esquema de la situació: la campana de Gauss, el seu eix de simetria, els valors $-1$, $0$ i $1$ sobre l'eix horitzontal i les dues regions les àrees de les quals representen aquestes probabilitats.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha mesurat el temps que triguen els joves d'una ciutat a arribar a l'institut. Les dades segueixen una normal amb $\mu = 25$ minuts i $\sigma = 5$ minuts. Tipifica el valor $X = 35$ minuts. Si la taula de la normal estàndard ens diu que $P(Z < 2) = 0,9772$, quin percentatge d'alumnes triga menys de $35$ minuts a arribar-hi?

En Marcos té una variable aleatòria $X \sim N(70, 8)$ que modelitza el temps (en minuts) que triga l'alumnat d'un centre a completar un examen. Per calcular la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar trigui menys de $58$ minuts, en Marcos escriu al seu quadern:

«Tipifico: $z = \dfrac{70 - 58}{8} = \dfrac{12}{8} = 1,5$. Com que a la taula $P(Z \le 1,5) = 0,9332$, la probabilitat demanada és del $93,32\,\%$.»

1. a) Sense necessitat de fer comptes, raona per què el resultat final d'en Marcos no té sentit a partir del valor de la mitjana.
2. b) Identifica l'error conceptual i algebraic que ha comès en Marcos en aplicar la fórmula de la tipificació.
3. c) Corregeix el procediment i troba la probabilitat correcta sabent que $P(Z \le 1,5) = 0,9332$.

Segons dades climàtiques històriques, la precipitació acumulada durant el mes de novembre en una comarca segueix una distribució normal $X \sim N(80, 15)$ mesurada en litres per metre quadrat ($l/m^2$). En l'últim mes de novembre es van registrar $115\text{ l/m}^2$.

1. a) Estima raonadament, abans de fer cap càlcul analític, el signe de la variable tipificada $Z$ corresponent a aquest registre i entre quins dos nombres enters consecutius s'ha de situar.
2. b) Calcula amb precisió el valor de $Z$ i comprova si la teva estimació prèvia ha estat encertada.
3. c) Explica el significat del valor obtingut de $Z$ en termes de desviacions típiques respecte a la mitjana de pluges de la zona.

En una plataforma de jocs en línia, la puntuació dels jugadors en el nivell "Llegenda" segueix una distribució normal amb una mitjana $\mu = 4500$ punts i una desviació típica $\sigma = 600$ punts. D'altra banda, en el nivell "Mestre", les puntuacions segueixen una distribució normal amb $\mu = 3800$ punts i $\sigma = 450$ punts.

Un jugador ha obtingut $5200$ punts en el nivell "Llegenda" i el seu amic ha obtingut $4400$ punts en el nivell "Mestre". Utilitza la variable tipificada per determinar quin dels dos amics ha obtingut una millor puntuació en relació amb el seu grup de joc.

S'ha realitzat un estudi sobre el temps diari que els adolescents de 17 anys dediquen a veure contingut en plataformes de streaming. Els resultats mostren que aquest temps segueix una distribució normal $X \sim N(110, 25)$, on el temps es mesura en minuts.

1. a) Calcula la probabilitat que un jove triat a l'atzar passi més de $135$ minuts al dia en aquestes plataformes.
2. b) Quina és la probabilitat que el temps dedicat estigui comprès entre $90$ i $120$ minuts?

Les notes finals de l'examen d'accés a la universitat (EBAU) en una determinada comunitat autònoma segueixen una distribució normal amb mitjana $6,8$ i desviació típica $1,2$.

La universitat ha decidit atorgar una beca especial d'excel·lència al $5\%$ dels alumnes que hagin obtingut les millors qualificacions. Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard $N(0,1)$, calcula la nota mínima necessària per obtenir aquesta beca.

El pes de les motxilles dels estudiants de Batxillerat d'un institut segueix una distribució normal amb mitjana $6,5$ kg i desviació típica $1,4$ kg.

1. a) Determina el valor de la variable tipificada $Z$ que correspon a una motxilla de $8$ kg.
2. b) El metge del centre recomana que el pes de la motxilla no superi els $9$ kg. Quin percentatge d'alumnes està incomplint aquesta recomanació?

La durada de la bateria d'un nou model de smartphone en ús intensiu es distribueix segons una normal de mitjana $\mu$ hores i desviació típica $\sigma = 1,5$ hores.

Se sap que el $25,14\%$ dels telèfons tenen una bateria que dura menys de $8$ hores. Troba el valor de la mitjana $\mu$ d'aquesta distribució utilitzant el procés de destipificació.

En una competició d'atletisme, el temps en segons que triguen els participants a completar els 400 metres llisos segueix una distribució $X \sim N(52, \sigma)$.

Si se sap que el $84,13\%$ dels corredors triga menys de $55$ segons a finalitzar la prova, calcula la desviació típica $\sigma$ del temps dels corredors.

Un creador de contingut en una xarxa social analitza el nombre de "m'agrada" que reben les seves publicacions. Ha observat que el nombre de "m'agrada" segueix una distribució normal amb mitjana $1200$.

1. a) Si la desviació típica és $\sigma = 150$, calcula l'interval simètric respecte de la mitjana que enclogui el $90\%$ de les publicacions.
2. b) Quina és la probabilitat que una publicació escollida a l'atzar tingui exactament $1300$ "m'agrada"? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats de les variables contínues.

Es vol comparar l'agilitat mental de dos grups d'estudiants mitjançant un test de lògica. El Grup A obté resultats que segueixen una $N(75, 8)$ i el Grup B una $N(70, 5)$.

1. a) Si un alumne del Grup A obté $85$ punts i un del Grup B obté $78$ punts, quin dels dos es troba en una millor posició relativa dins del seu propi grup?
2. b) En el Grup B, a partir de quina puntuació es troba el $20\%$ dels estudiants amb resultats més baixos?

A partir de les estadístiques del mercat de l'habitatge, el preu del metre quadrat de lloguer en una gran capital ($X$) es modelitza com una distribució normal $N(18, 4)$ en euros, mentre que en una ciutat intermèdia ($Y$) segueix una distribució normal $N(9; 1,5)$ en euros. Un portal immobiliari destaca dos immobles: un a la gran capital a $24\text{ euros/m}^2$ i un altre a la ciutat intermèdia a $12\text{ euros/m}^2$.

1. a) Tipifica tots dos preus i determina raonadament quin dels dos pisos és relativament més car en comparació amb el seu propi mercat local.
2. b) Si una empresa de reubicació només recomana immobles situats per sota del percentil $75$ de la seva respectiva ciutat, calcula el preu màxim per metre quadrat admisible en cadascuna de les dues ciutats sabent que en la normal estàndard $P(Z \le 0,67) \approx 0,75$.

En un procés selectiu per a una entitat pública, les qualificacions segueixen una distribució normal $X \sim N(\mu, \sigma)$. El tribunal examinador no publica directament els paràmetres $\mu$ i $\sigma$, però facilita dues dades tècniques sobre les puntuacions:

• La nota de tall de $65$ punts es troba exactament a $0,75$ desviacions típiques per sota de la mitjana.

• Només el $2,28\,\%$ dels opositors ha superat els $86$ punts (en la distribució normal estàndard es compleix $P(Z > 2) = 0,0228$).

1. a) Escriu l'equació que relaciona directament $65$ amb $\mu$ i $\sigma$ traduint la informació sobre la seva posició relativa tipificada.
2. b) Dedueix el valor de la variable tipificada $Z$ que correspon a la qualificació de $86$ punts i planteja la segona equació del sistema.
3. c) Resol el sistema plantejat per calcular la mitjana $\mu$ i la desviació típica $\sigma$ de l'examen.

En una acadèmia de preparació per a les proves d'accés a la universitat, s'ha observat que les qualificacions d'un simulacre de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials segueixen una distribució normal $N(\mu, \sigma)$. Se sap que el $15,87\%$ dels alumnes va obtenir una nota superior a $8$ punts, mentre que el $2,28\%$ no va assolir els $3$ punts. Calcula el valor de la mitjana $\mu$ i de la desviació típica $\sigma$ d'aquesta distribució utilitzant la taula de la normal tipificada $Z \sim N(0, 1)$.

Tres estudiants de diferents instituts volen comparar els seus resultats en una prova d'aptitud lingüística. A causa del fet que els exàmens eren diferents, les puntuacions segueixen distribucions normals diferents:

• Ana va obtenir $72$ punts en un examen amb $N(60, 8)$.

• Beto va obtenir $80$ punts en un examen amb $N(70, 12)$.

• Carla va obtenir $65$ punts en un examen amb $N(55, 5)$.

Determina, mitjançant la tipificació de les variables, quin dels tres estudiants es troba en una millor posició relativa respecte al seu grup de referència. Justifica la teva resposta comparant els valors de la variable tipificada $Z$.

Una empresa que fabrica components electrònics garanteix que la vida útil de les seves bateries segueix una distribució normal amb una mitjana de $800$ dies. Després d'un estudi de qualitat, es determina que la probabilitat que una bateria duri més de $1000$ dies és de només $0,0062$.

1. a) Troba el valor de la desviació típica $\sigma$ de la producció.
2. b) Si l'empresa decideix substituir totes les bateries que durin menys de $k$ dies, quin valor ha de tenir $k$ perquè només hagin de reposar el $5\%$ de les bateries venudes?

El temps que els adolescents d'una ciutat dediquen diàriament a xarxes socials segueix una distribució normal $X \sim N(120, 20)$, on el temps es mesura en minuts.

Calcula la probabilitat que un adolescent triat a l'atzar dediqui a les xarxes socials entre $100$ i $150$ minuts, sabent d'antemà que en dedica més de $110$ minuts. (Nota: utilitza la definició de probabilitat condicionada juntament amb la tipificació de la variable).

Se sap que el pes dels paquets de cafè envasats automàticament per una màquina segueix una distribució normal amb desviació típica $\sigma = 15$ grams. S'ha ajustat la màquina perquè el $97,5\%$ dels paquets tinguin un pes superior a $470,6$ grams.

1. a) Calcula el pes mitjà $\mu$ al qual ha estat programada la màquina.
2. b) Amb aquest ajust, quina és la probabilitat que un paquet triat a l'atzar pesi més de $510$ grams?

En un estudi sobre la despesa mensual en oci de les famílies d'una província, s'ha comprovat que aquesta segueix una distribució normal. Se sap que la despesa mitjana és de $250$ euros. Si el $20\%$ de les famílies gasta més de $320$ euros:

1. a) Calcula la desviació típica de la distribució.
2. b) Determina l'interval de despesa, simètric respecte a la mitjana, en què es troba el $90\%$ central de les famílies de la província.

Les alçades dels estudiants de segon de batxillerat d'un centre escolar es distribueixen segons una normal $X \sim N(172, 9)$. El director del centre vol seleccionar el $5\%$ dels estudiants més alts per a l'equip de bàsquet i el $5\%$ dels estudiants més baixos per a un estudi ergomètric.

1. a) A partir de quina alçada es seleccionen els alumnes per a l'equip de bàsquet?
2. b) Quina és l'alçada màxima per formar part de l'estudi ergomètric?
3. c) Quina és la probabilitat que un alumne mesuri exactament $172$ cm? Raona la resposta basant-te en la naturalesa de les variables contínues.

Sigui $X$ una variable aleatòria contínua que segueix una distribució normal $N(\mu, \sigma)$. Si definim la variable tipificada com a $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, demostra analíticament, utilitzant les propietats de la tipificació i la simetria de la campana de Gauss, que les probabilitats següents són equivalents:

1. $P(\mu - \sigma < X < \mu + 2\sigma)$

2. $P(-1 < Z < 2)$

Calcula aquest valor utilitzant la taula de la distribució $N(0, 1)$.

Per analitzar el consum energètic en una comunitat autònoma durant la temporada d'hivern, es modelitza la demanda elèctrica diària mitjançant una variable $X \sim N(3200, 400)$ en megawatts (MW). Es vol calcular el percentatge de dies en què la demanda se situa en l'interval de consum moderat, comprès entre $2600\text{ MW}$ i $3800\text{ MW}$. Dos analistes proposen procediments diferents:

• Mètode 1 (Simetria central): Observar que els extrems disten el mateix de la mitjana $\mu = 3200$, tipificar l'extrem superior $z_2$ i calcular la probabilitat com a $2 \cdot [P(Z \le z_2) - 0,5]$.

• Mètode 2 (Resta estàndard de funcions de distribució): Tipificar tots dos extrems $z_1$ i $z_2$ i aplicar de manera directa $P(z_1 \le Z \le z_2) = P(Z \le z_2) - P(Z \le z_1)$, transformant després la cua esquerra amb $P(Z \le z_1) = 1 - P(Z \le -z_1)$.

1. a) Desenvolupa completament tots dos mètodes numèricament sabent que $P(Z \le 1,5) = 0,9332$ i comprova que tots dos condueixen a la mateixa probabilitat.
2. b) Justifica quin dels dos mètodes minimitza el risc de cometre errors amb els signes negatius en treballar amb taules que només inclouen valors positius de $Z$.
3. c) Si l'interval d'estudi canviés a $[2800, 4000]\text{ MW}$, raona si el Mètode 1 continuaria sent vàlid o si obligatòriament caldria recórrer al Mètode 2.

El temps de trajecte en minuts d'una línia de tren d'alta velocitat a Espanya segueix una distribució normal $X \sim N(\mu, 12)$. L'empresa operadora manté un compromís de puntualitat: si el viatge supera els $165$ minuts, indemnitza els passatgers tornant-los l'import del bitllet. La direcció fixa com a objectiu de qualitat que com a màxim l'$1\,\%$ dels combois requereixi indemnització, per a la qual cosa es pren el valor crític $P(Z \le 2,33) \approx 0,99$.

1. a) Modela la situació mitjançant la variable tipificada i calcula quin ha de ser el temps mitjà de viatge $\mu$ programat per complir aquest compromís amb la dispersió actual ($\sigma = 12$ minuts).
2. b) L'equip d'enginyeria proposa dos projectes alternatius de modernització:

• Projecte A: Rebaixar el temps mitjà a $\mu_A = 140$ minuts, encara que la dispersió augmentaria a $\sigma_A = 11$ minuts a causa de noves parades.

• Projecte B: Mantenir la mitjana $\mu$ obtinguda a l'apartat a), però invertir en tecnologia de via per reduir la desviació típica a $\sigma_B = 9$ minuts.

Compara les variables tipificades associades al límit d'indemnització ($165$ minuts) en totes dues propostes i raona quin dels dos projectes aconsegueix una reducció més gran del percentatge de trens indemnitzats.

1. c) Explica quina implicació pràctica té, des del punt de vista de l'usuari, que dues línies ferroviàries amb mitjanes i desviacions típiques diferents presentin exactament el mateix valor tipificat $Z$ respecte al seu llindar de retard.

Repte del tema. S'ajusta el clima de la teva ciutat a una campana de Gauss? Ho comprovaràs analitzant temperatures reals.

1. Presa de dades i paràmetres: Entra a l'AEMET (o al portal meteorològic de la teva comunitat) i descarrega les temperatures màximes diàries dels últims $30$ dies. Introdueix les dades en un full de càlcul i obtén la mitjana $\mu$ i la desviació típica $\sigma$ per definir el teu model $X \sim N(\mu, \sigma)$.

2. Tipificació i probabilitats: Fixa un llindar de calor significatiu (per exemple, $x = 28,5\,^\circ\text{C}$). Tipifica la variable mitjançant $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ i utilitza la taula de la $N(0,1)$ per calcular $P(X \ge x)$. Compara aquesta probabilitat teòrica amb la freqüència relativa real que has obtingut a la teva mostra.

3. Visualització i conclusions: A GeoGebra, representa la funció de densitat de la teva $N(\mu, \sigma)$ ombrejant l'àrea calculada. Redacta un breu informe (una cara) analitzant si la distribució normal modelitza adequadament el comportament tèrmic de la teva zona.

Es valorarà:

• Precisió en l'estimació dels paràmetres $\mu$ i $\sigma$ amb el full de càlcul.

• Correcció analítica en tipificar i calcular probabilitats amb la taula $N(0,1)$.

• Qualitat de la representació gràfica a GeoGebra i contrast crític entre el model teòric i les dades empíriques.