Ejercicios: Límite de una función cuando x → ∞

Calcula el valor de los siguientes límites polinómicos cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 - x + 7)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (4x^4 - 3x^3 + 2)$

Determina el valor de los siguientes límites de funciones racionales donde el grado del numerador y del denominador son iguales:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{-5x^3 + x}{4x^3 - 2x^2 + 1}$

Halla el límite de las siguientes funciones racionales sabiendo que el grado del denominador es mayor que el del numerador:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 8}{x^2 - 4x + 2}$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 1}{x^3 + x^2 - 5}$

Calcula los límites de las siguientes funciones exponenciales cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^x$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} 4^x$

Obtén el valor de los siguientes límites donde el grado del numerador es mayor que el del denominador:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 2x^2 + 1}{5x^2 - 3}$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{-2x^4 + x}{x^2 + 3x - 1}$

La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, en miligramos por litro, $t$ horas después de ser administrado viene dada por la función $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 4}$. Calcula el límite de la concentración cuando $t \to +\infty$ e interpreta el resultado en el contexto del problema médico.

Encuentra la ecuación de la asíntota horizontal de la función $f(x) = \frac{8x - 5}{2x + 3}$ calculando los límites correspondientes cuando $x \to +\infty$ y $x \to -\infty$.

Calcula el siguiente límite que involucra una raíz cuadrada en el numerador:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4x - 1}}{3x + 2}$

Resuelve el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ mediante la resta previa de las fracciones algebraicas:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 2x}{x - 1} - \frac{x^2 - 3}{x + 2} \right)$

Calcula el valor del siguiente límite con radicales, resolviendo la indeterminación $\infty - \infty$ al multiplicar y dividir por la expresión conjugada:

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 6x} - x)$

Halla el valor del siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$, expresando el resultado final en función del número $e$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x - 3} \right)^{4x}$

La población de una especie de aves introducida en una reserva natural se modeliza mediante la función $P(t) = 200 + \frac{1500t}{2t + 5}$, donde $t$ es el tiempo en años desde su introducción. Calcula el límite de la población a largo plazo (cuando $t \to +\infty$) y explica qué significa este valor para el equilibrio del ecosistema.

Determina el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 2x^2 + x}{5x^3 + 4x - 1} = -3$

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina visualmente los límites $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. A partir de ellos, escribe las ecuaciones de las asíntotas horizontales de la función.

Calcula el límite de la siguiente función que combina términos exponenciales y polinómicos. Ten en cuenta qué términos crecen más rápido cuando $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{5 \cdot 3^x - x^4}{2 \cdot 3^{x+1} + x^2}$

Calcula el siguiente límite cuando $x \to -\infty$, prestando especial atención al signo de la variable al extraerla de la raíz cuadrada:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 - 3x + 2}}{5x - 1}$

Determina el valor del parámetro $a$ para que el siguiente límite, que presenta una indeterminación $\infty - \infty$, tenga como resultado $4$:

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + ax + 5} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}) = 4$

Halla el valor del parámetro $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad, correspondiente a un límite del tipo $1^\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + bx}{x^2 + 3} \right)^{2x} = e^6$

La temperatura $T$ (en grados Celsius) de un componente electrónico en funcionamiento después de $t$ minutos de encendido sigue la ley de enfriamiento de Newton adaptada al calentamiento: $T(t) = 20 + 65(1 - e^{-0,1t})$. Calcula el límite de la temperatura cuando $t \to +\infty$. ¿Qué sentido físico tiene este valor si se sabe que el componente se destruye irreversiblemente al alcanzar los $90^\circ C$?

Dada la función definida a trozos $f(x)$, que vale $\frac{3x^2 - 1}{x^2 + 2}$ si $x \le 0$, y vale $\frac{2e^x + 5}{e^x - 1}$ si $x > 0$. Calcula las asíntotas horizontales de la función determinando los límites $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Calcula el siguiente límite aplicando las propiedades de los logaritmos para resolver previamente la indeterminación $\infty - \infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (\ln(3x^2 + 5x) - 2\ln(x + 2))$

El coste total de producción de $x$ unidades de un dispositivo tecnológico avanzado viene dado por la función $C(x) = 25000 + 150x + 0,05x^2$ euros. El coste medio por unidad se define como $C_m(x) = \frac{C(x)}{x}$. Calcula $\lim_{x \to +\infty} C_m(x)$ y razona, en términos económicos, por qué este modelo matemático deja de ser realista para niveles de producción extremadamente altos.

Encuentra los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que la gráfica de la función $f(x) = \frac{2x^2 - x + 3}{x + 1}$ tenga como asíntota oblicua la recta $y = mx + n$. Para ello, plantea y resuelve los límites $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m$ y $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = n$.

Calcula el siguiente límite en el infinito negativo, que requiere racionalización y un análisis cuidadoso de los signos al tratar con el valor absoluto implícito en la raíz cuadrada:

$\lim_{x \to -\infty} x \left( \sqrt{x^2 + 4} + x \right)$

Sea la función racional $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Calcula su límite $L$ cuando $x \to +\infty$. A continuación, plantea y resuelve una inecuación para averiguar a partir de qué valor de $x > 0$ se cumple que la distancia entre $f(x)$ y su límite $L$ es estrictamente menor que $0,01$.