Exercicis: Límit d'una funció quan x → ∞

Calcula el valor dels límits polinòmics següents quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 - x + 7)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (4x^4 - 3x^3 + 2)$

Determina el valor dels límits següents de funcions racionals on el grau del numerador i del denominador són iguals:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{-5x^3 + x}{4x^3 - 2x^2 + 1}$

Troba el límit de les funcions racionals següents sabent que el grau del denominador és més gran que el del numerador:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 8}{x^2 - 4x + 2}$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 1}{x^3 + x^2 - 5}$

Calcula els límits de les funcions exponencials següents quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^x$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} 4^x$

Obtén el valor dels límits següents on el grau del numerador és més gran que el del denominador:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 2x^2 + 1}{5x^2 - 3}$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{-2x^4 + x}{x^2 + 3x - 1}$

La concentració d'un fàrmac en el torrent sanguini, en mil·ligrams per litre, $t$ hores després de ser administrat ve donada per la funció $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 4}$. Calcula el límit de la concentració quan $t \to +\infty$ i interpreta el resultat en el context del problema mèdic.

Troba l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció $f(x) = \frac{8x - 5}{2x + 3}$ calculant els límits corresponents quan $x \to +\infty$ i $x \to -\infty$.

Calcula el límit següent que involucra una arrel quadrada al numerador:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4x - 1}}{3x + 2}$

Resol el límit següent que presenta una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ mitjançant la resta prèvia de les fraccions algebraiques:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 2x}{x - 1} - \frac{x^2 - 3}{x + 2} \right)$

Calcula el valor del límit següent amb radicals, resolent la indeterminació $\infty - \infty$ en multiplicar i dividir per l'expressió conjugada:

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 6x} - x)$

Troba el valor del límit següent que dona lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$, expressant el resultat final en funció del nombre $e$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x - 3} \right)^{4x}$

La població d'una espècie d'ocells introduïda en una reserva natural es modelitza mitjançant la funció $P(t) = 200 + \frac{1500t}{2t + 5}$, on $t$ és el temps en anys des de la seva introducció. Calcula el límit de la població a llarg termini (quan $t \to +\infty$) i explica què significa aquest valor per a l'equilibri de l'ecosistema.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè es compleixi la igualtat següent:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 2x^2 + x}{5x^3 + 4x - 1} = -3$

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i determina visualment els límits $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ i $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. A partir d'aquests, escriu les equacions de les asímptotes horitzontals de la funció.

Calcula el límit de la funció següent que combina termes exponencials i polinòmics. Tingues en compte quins termes creixen més ràpid quan $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{5 \cdot 3^x - x^4}{2 \cdot 3^{x+1} + x^2}$

Calcula el límit següent quan $x \to -\infty$, parant especial atenció al signe de la variable en extreure-la de l'arrel quadrada:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 - 3x + 2}}{5x - 1}$

Determina el valor del paràmetre $a$ perquè el límit següent, que presenta una indeterminació $\infty - \infty$, tingui com a resultat $4$:

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + ax + 5} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}) = 4$

Troba el valor del paràmetre $b$ perquè es compleixi la igualtat següent, corresponent a un límit del tipus $1^\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + bx}{x^2 + 3} \right)^{2x} = e^6$

La temperatura $T$ (en graus Celsius) d'un component electrònic en funcionament després de $t$ minuts des d'encendre'l segueix la llei de refredament de Newton adaptada a l'escalfament: $T(t) = 20 + 65(1 - e^{-0,1t})$. Calcula el límit de la temperatura quan $t \to +\infty$. Quin sentit físic té aquest valor si es sap que el component es destrueix irreversiblement quan arriba als $90^\circ C$?

Donada la funció definida a trossos $f(x)$, que val $\frac{3x^2 - 1}{x^2 + 2}$ si $x \le 0$, i val $\frac{2e^x + 5}{e^x - 1}$ si $x > 0$. Calcula les asímptotes horitzontals de la funció determinant els límits $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ i $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Calcula el límit següent aplicant les propietats dels logaritmes per resoldre prèviament la indeterminació $\infty - \infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (\ln(3x^2 + 5x) - 2\ln(x + 2))$

El cost total de producció de $x$ unitats d'un dispositiu tecnològic avançat ve donat per la funció $C(x) = 25000 + 150x + 0,05x^2$ euros. El cost mitjà per unitat es defineix com a $C_m(x) = \frac{C(x)}{x}$. Calcula $\lim_{x \to +\infty} C_m(x)$ i raona, en termes econòmics, per què aquest model matemàtic deixa de ser realista per a nivells de producció extremadament alts.

Troba els valors dels paràmetres $m$ i $n$ perquè la gràfica de la funció $f(x) = \frac{2x^2 - x + 3}{x + 1}$ tingui com a asímptota obliqua la recta $y = mx + n$. Per fer-ho, planteja i resol els límits $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m$ i $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = n$.

Calcula el límit següent a l'infinit negatiu, que requereix racionalització i un anàlisi acurat dels signes en tractar amb el valor absolut implícit a l'arrel quadrada:

$\lim_{x \to -\infty} x \left( \sqrt{x^2 + 4} + x \right)$

Sigui la funció racional $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Calcula el seu límit $L$ quan $x \to +\infty$. A continuació, planteja i resol una inequació per esbrinar a partir de quin valor de $x > 0$ es compleix que la distància entre $f(x)$ i el seu límit $L$ és estrictament menor que $0,01$.