Ejercicios: Ejercicios de derivadas

Calcula la primera y la segunda derivada de la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7$.

Obtén la derivada de la función $f(x) = (2x^2 + 3) e^x$.

Determina la derivada de la función racional $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$.

Calcula la derivada de la función $f(x) = (5x^3 - 2x)^4$ aplicando la regla de la cadena.

Halla la derivada de la función trigonométrica $f(x) = \cos(x^3 - 4x)$.

Calcula la derivada de la función $f(x) = \ln(7x^2 + 5) + 3^{2x}$.

Obtén la derivada de la función irracional $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}$.

Calcula la derivada de la función $f(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$. Expresa el resultado en forma de potencia fraccionaria o raíz.

La carga eléctrica que atraviesa un circuito en función del tiempo viene dada por la expresión $q(t) = 5t e^{-0,2t}$ culombios. Calcula la intensidad de corriente $I(t) = q'(t)$ y determina en qué instante exacto la intensidad es nula.

Calcula la derivada de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x+2}$ y simplifica el resultado lo máximo posible, expresándolo con un único denominador.

La población de una especie de alga marina en millones de individuos sigue la función $P(t) = \ln(t^2 + 4t + 1) + 5$, donde $t$ es el tiempo en semanas. Determina la tasa de crecimiento instantánea de la población en la tercera semana ($t=3$).

El coste total en euros de producir $x$ sudaderas personalizadas para el viaje de fin de curso viene dado por $C(x) = \frac{150x}{\sqrt{x^2+100}} + 200$. Calcula la función de coste marginal $C'(x)$.

Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin^3(e^{2x} + 1)$, prestando atención a la aplicación sucesiva de la regla de la cadena.

Dada la función $f(x) = \ln\left(\cos(3x^2)\right)$, calcula su derivada y evalúala en el punto $x = \sqrt{\frac{\pi}{12}}$.

La intensidad de la corriente en un circuito de corriente alterna fluctúa según la función $I(t) = \frac{\sin(3t)}{t^2 + 2}$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula la derivada $I'(t)$ aplicando la regla del cociente y la regla de la cadena.

Demuestra, utilizando las propiedades de los logaritmos y las reglas de derivación, que la derivada de la función $f(x) = \ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ es $f'(x) = \frac{1}{\cos x}$.

Calcula la derivada enésima de la función $f(x) = \frac{1}{2x-1}$. Expresa el resultado $f^{(n)}(x)$ mediante una fórmula general que dependa de $n$.

Dadas dos funciones derivables $g(x)$ y $h(x)$, se define una nueva función $f(x) = g(h(x^2))$. Sabiendo que $h(1) = 2$, $h'(1) = 3$, $g(2) = 5$ y $g'(2) = -4$, calcula el valor exacto de $f'(1)$ detallando los pasos de la regla de la cadena.

Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que la función $f(x) = a e^{bx}$ cumpla simultáneamente que $f(0) = 3$ y que su derivada segunda evaluada en el origen sea $f''(0) = 12$.

Calcula la derivada de la función $f(x) = \arcsin\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ para $x > 0$ y simplifica la expresión resultante al máximo.

La ley de enfriamiento de un material cerámico en un horno industrial sigue la función $T(t) = 20 + 800 e^{-0,05t}$, donde $T$ es la temperatura en grados Celsius y $t$ el tiempo en minutos. Calcula la tasa de variación de la temperatura con respecto al tiempo, $T'(t)$, y determina cuánto tiempo debe transcurrir para que la temperatura descienda a un ritmo exacto de $10^\circ \text{C/min}$.

Calcula la derivada de la siguiente función, aplicando la regla del producto y la regla de la cadena: $f(x) = e^{x\sin(x)} \cdot \ln(x^2 + 4)$.

Demuestra, calculando la derivada y estudiando su signo, que la función $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ es estrictamente creciente en todo su dominio.