Exercicis: Exercicis de derivades

Calcula la primera i la segona derivada de la funció polinòmica $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7$.

Obtén la derivada de la funció $f(x) = (2x^2 + 3) e^x$.

Determina la derivada de la funció racional $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$.

Calcula la derivada de la funció $f(x) = (5x^3 - 2x)^4$ aplicant la regla de la cadena.

Troba la derivada de la funció trigonomètrica $f(x) = \cos(x^3 - 4x)$.

Calcula la derivada de la funció $f(x) = \ln(7x^2 + 5) + 3^{2x}$.

Obtén la derivada de la funció irracional $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}$.

Calcula la derivada de la funció $f(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$. Expressa el resultat en forma de potència fraccionària o arrel.

En un examen d'1r de Batxillerat, l'Alba ha de calcular la funció derivada de $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 4}$. El seu desenvolupament escrit és el següent:

Tot seguit, l'Alba ratlla els termes $x^4$ del numerador i del denominador i conclou que el resultat final és $f'(x) = \frac{12x^2}{16} = \frac{3x^2}{4}$.

1. a) Identifica i explica detalladament els dos errors algebraics greus que ha comès l'Alba: un en desenvolupar el denominador i un altre en simplificar la fracció.
2. b) Corregeix l'exercici fent la derivada de manera adequada, traient factor comú al numerador i deixant l'expressió com una fracció irreductible amb el denominador factoritzat.

Per derivar la funció $f(x) = \frac{5x^4 - 10x^2 + 3}{5}$, dos estudiants proposen camins diferents:

• En Javier vol aplicar la regla del quocient, tractant el numerador com a $u(x) = 5x^4 - 10x^2 + 3$ i el denominador com la funció constant $v(x) = 5$.

• La Nerea proposa reescriure prèviament la funció separant el denominador comú en una suma de monomis: $f(x) = x^4 - 2x^2 + \frac{3}{5}$, i derivar terme a terme.

1. a) Deriva la funció seguint el mètode d'en Javier i simplifica el resultat.
2. b) Deriva la funció seguint el mètode de la Nerea.
3. c) Compara tots dos mètodes: quin requereix menys operacions algebraiques i presenta menys risc d'error? Justifica quina regla general sobre constants multiplicatives fa innecessari fer servir la regla del quocient quan el denominador és un nombre fix.

La càrrega elèctrica que travessa un circuit en funció del temps ve donada per l'expressió $q(t) = 5t e^{-0,2t}$ coulombs. Calcula la intensitat de corrent $I(t) = q'(t)$ i determina en quin instant exactament la intensitat és nul·la.

Calcula la derivada de la funció $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x+2}$ i simplifica el resultat tant com sigui possible, expressant-lo amb un únic denominador.

La població d'una espècie d'alga marina en milions d'individus segueix la funció $P(t) = \ln(t^2 + 4t + 1) + 5$, on $t$ és el temps en setmanes. Determina la taxa de creixement instantània de la població en la tercera setmana ($t=3$).

El cost total en euros de produir $x$ dessuadores personalitzades per al viatge de fi de curs ve donat per $C(x) = \frac{150x}{\sqrt{x^2+100}} + 200$. Calcula la funció de cost marginal $C'(x)$.

Calcula la derivada de la funció composta $f(x) = \sin^3(e^{2x} + 1)$, tenint en compte l'aplicació successiva de la regla de la cadena.

Donada la funció $f(x) = \ln\left(\cos(3x^2)\right)$, calcula la seva derivada i avalua-la en el punt $x = \sqrt{\frac{\pi}{12}}$.

La intensitat del corrent en un circuit de corrent altern fluctua segons la funció $I(t) = \frac{\sin(3t)}{t^2 + 2}$, on $t$ és el temps en segons. Calcula la derivada $I'(t)$ aplicant la regla del quocient i la regla de la cadena.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{8x}{x^2 + 4}$:

1. a) Observa que $f(0) = 0$ i que per a un valor proper a la dreta, com ara $x = 0,5$, la funció pren el valor $f(0,5) \approx 0,94 > 0$. A partir d'aquest comportament, estima raonadament el signe que hauria de tenir la derivada $f'(0)$ i indica si esperes que la funció sigui creixent o decreixent en aquest entorn.
2. b) Aplica la regla del quocient per obtenir l'expressió algebraica de $f'(x)$. Simplifica al màxim el numerador traient factor comú numèric i factoritzant la diferència de quadrats resultant.
3. c) Avalua $f'(0)$ a l'expressió obtinguda i comprova si coincideix amb la teva estimació de l'apartat a).
4. d) Resol l'equació $f'(x) = 0$ utilitzant la forma factoritzada del numerador i interpreta quin significat geomètric tenen els punts corresponents sobre la gràfica de $f$.

Es considera la funció amb paràmetre real $a$: $f(x) = (x^2 + a) \cdot e^{2x}$.

1. a) Mirant la funció «de fora cap a dins», identifica l'operació exterior principal i aplica la regla corresponent combinada amb la regla de la cadena per calcular $f'(x)$. Expressa el resultat traient factor comú a l'exponencial $e^{2x}$ de manera que quedi en la forma $f'(x) = (2x^2 + 2x + 2a) \cdot e^{2x}$.
2. b) Sabent que la recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 1$ és horitzontal (és a dir, el seu pendent és nul), planteja una equació que involucri $f'(1)$ i dedueix raonadament el valor del paràmetre $a$.
3. c) Amb el valor d'$a$ trobat, factoritza completament el polinomi que multiplica $e^{2x}$ a $f'(x)$ i troba tots els punts on el pendent de la recta tangent a la corba s'anul·la.

Demostra, utilitzant les propietats dels logaritmes i les regles de derivació, que la derivada de la funció $f(x) = \ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ és $f'(x) = \frac{1}{\cos x}$.

Calcula la derivada enèsima de la funció $f(x) = \frac{1}{2x-1}$. Expressa el resultat $f^{(n)}(x)$ mitjançant una fórmula general que depengui de $n$.

Dades dues funcions derivables $g(x)$ i $h(x)$, es defineix una nova funció $f(x) = g(h(x^2))$. Sabent que $h(1) = 2$, $h'(1) = 3$, $g(2) = 5$ i $g'(2) = -4$, calcula el valor exacte de $f'(1)$ detallant els passos de la regla de la cadena.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ (amb $b > 0$) perquè la funció $f(x) = a e^{bx}$ compleixi simultàniament que $f(0) = 3$ i que la seva derivada segona avaluada a l'origen sigui $f''(0) = 12$.

Calcula la derivada de la funció $f(x) = \arcsin\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ per a $x > 0$ i simplifica l'expressió resultant al màxim.

La llei de refredament d'un material ceràmic en un forn industrial segueix la funció $T(t) = 20 + 800 e^{-0,05t}$, on $T$ és la temperatura en graus Celsius i $t$ el temps en minuts. Calcula la taxa de variació de la temperatura respecte del temps, $T'(t)$, i determina quant de temps ha de transcórrer perquè la temperatura disminueixi a un ritme exacte de $10^\circ \text{C/min}$.

Calcula la derivada de la funció següent, aplicant la regla del producte i la regla de la cadena: $f(x) = e^{x\sin(x)} \cdot \ln(x^2 + 4)$.

Demostra, calculant la derivada i estudiant-ne el signe, que la funció $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ és estrictament creixent en tot el seu domini.

Segons registres de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), durant una jornada d'onada de calor a Sevilla, la temperatura $T$ (en graus Celsius) registrada entre les 8:00 h i les 22:00 h es pot aproximar mitjançant el model:

on $t$ és l'hora del dia ($8 \le t \le 22$).

1. a) Calcula la funció derivada $T'(t)$ aplicant la regla del quocient i la regla de la cadena. Simplifica el numerador factoritzant l'expressió resultant fins a obtenir $T'(t)$ com una única fracció irreductible amb el numerador totalment factoritzat.
2. b) La derivada $T'(t)$ mesura la taxa de variació instantània de la temperatura en °C/h. Calcula $T'(11)$ i interpreta el resultat en el context real: la temperatura augmenta o disminueix a les 11:00 h, i a quin ritme exacte?
3. c) Determina a quina hora exacta del dia s'assoleix la temperatura màxima resolent l'equació $T'(t) = 0$ i calcula quin és el valor d'aquesta temperatura rècord.

Es vol calcular la funció derivada de $f(x) = \ln\left(\frac{x^2}{\sqrt{2x + 1}}\right)$, definida per a $x > 0$.

1. a) La Marta intenta derivar aplicant directament la regla de la cadena a l'expressió completa: primer la derivada del logaritme natural $\frac{u'}{u}$, i després la regla del quocient amb una arrel al denominador per trobar $u'$. Descriu quines dificultats i complexitat algebraica presenta aquest camí.
2. b) L'Hugo proposa una estratègia alternativa: abans de derivar, reescriure $f(x)$ aplicant les propietats dels logaritmes (logaritme d'un quocient, d'una potència i d'una arrel) per descompondre la funció en una suma i resta de logaritmes senzills. Aplica l'estratègia de l'Hugo per transformar $f(x)$.
3. c) Deriva terme a terme l'expressió simplificada per l'Hugo, redueix les fraccions a un únic denominador comú i comprova com de directe resulta el procés.
4. d) A partir de la derivada obtinguda a l'apartat c), analitza si hi ha cap punt amb tangent horitzontal ($f'(x) = 0$) dins del domini de definició ($x > 0$) i justifica la teva resposta.